初等模型與數(shù)據(jù)處理-初等模型（數(shù)學建模課件）

包湯圓初等模型與數(shù)據(jù)處理知識點問題的提出與分析模型的建立與求解一、問題的提出與分析通常來講，1公斤的面搭配1公斤的餡料，剛好包100個湯圓?，F(xiàn)在，1公斤的面不變，但餡比1公斤多了，問應多包幾個(每個湯圓包小一些)，每種包法湯圓的大小一樣、面皮厚度一樣、面和餡料的比例一樣方案一：包小湯圓，總數(shù)將大于100個方案二：包大湯圓，總數(shù)將小于100個包湯圓問題還是少包幾個(每個湯圓包大一些)?一、問題的提出與分析分析：若將一個大湯圓的面皮分成兩份，做成兩個小湯圓面皮。那是一個大湯圓面皮用掉的餡料多?還是兩個小湯圓面皮用掉的餡料多?一個大湯圓=兩個小湯圓一個大湯圓<兩個小湯圓一個大湯圓>兩個小湯圓包大包小都一樣包小湯圓會用掉更多的餡料（方案一）包大湯圓會用掉更多的餡料（方案二）一、問題的提出與分析分析：若將一個大湯圓的面皮分成兩份，做成兩個小湯圓面皮。那是一個大湯圓面皮用掉的餡料多?還是兩個小湯圓面皮用掉的餡料多?一個大湯圓的體積大，還是兩個小湯圓的體積大?一、問題的提出與分析分析：若將一個大湯圓的面皮分成兩份，做成兩個小湯圓面皮。觀察：那是一個大湯圓面皮用掉的餡料多?還是兩個小湯圓面皮用掉的餡料多?一、問題的提出與分析歸結(jié)為數(shù)學上面積和體積的問題圓面積公式球表面積公式面皮的面積即為湯圓的球表面積。

球體積公式二、模型的建立與求解

假設大面皮的半徑為R，則其面積湯圓的體積

k

為常數(shù)，則面皮的面積即為湯圓（球形）的球表面積。

，加入餡料后包成湯圓。解得不妨令假定球形湯圓的半徑為，則二、模型的建立與求解思考：小面皮的面積s

與小湯圓餡料的體積v

之間是怎樣的關系式?解答：小面皮的面積

s

與小湯圓餡料的體積

v之間的關系也是:其中，為常數(shù)。二、模型的建立與求解現(xiàn)在來比較V

和nv

的大小。當時，.結(jié)論：為了包上更多餡，應該少包幾個，每個湯圓包大一些。因故：小結(jié)包湯圓問題歸結(jié)為數(shù)學上面積和體積的問題。1面皮一定的情況下，包大湯圓所需的餡料更多。2

原本1公斤面搭配1公斤餡料，可包100個湯圓?，F(xiàn)在仍然用這1公斤面，每個湯圓包大一些，只包50個湯圓，那需要多少餡料呢？思考題交通管理黃燈問題初等模型與數(shù)據(jù)處理知識點問題提出問題分析模型的建立與求解一、問題提出背景一、問題提出背景綠燈黃燈紅燈黃燈時間亮多久呢？問題二、問題分析分析1、黃燈的作用是什么？（警示和提醒）黃燈提醒司機將要由綠燈變?yōu)榧t燈，注意速度，及時停車。2、主要考慮的是什么車輛？機動車輛。

駛近交叉路口的駕駛員在看到黃色信號燈后要立即做出決定：是停車還是通過路口。如果他決定停車，必須有足夠的距離能讓他能停得住車。二、問題分析分析：汽車過馬路的模擬畫面二、問題分析分析：情況一：當黃燈亮起時車子到路口的距離小于L時不能停車，否則會沖出路口.情況二：大于L時必須停車，情況三：等于L時可以停車也可以通過路口。LDl假設停車線到路口的距離L，路口寬度D，車身長度為l二、問題分析分析：根據(jù)上述分析，確定停車線到街口的距離L(1)法定速度v0，(2)反應時間t1，在這段時間里，駕駛員尚未剎車。（3）駕駛員剎車后，車還需要繼續(xù)行駛一段距離，我們把這段距離稱為剎車距離。L1L2三、模型建立與求解模型建立：

設汽車質(zhì)量為m,剎車摩擦系數(shù)為f，x(t)為剎車后在t時刻內(nèi)行駛的距離，根據(jù)剎車規(guī)律，可假設剎車制動力為fmg（g為重力加速度）。由牛頓第二定律，剎車過程中車輛應滿足下列運動方程摩檫力三、模型建立與求解模型求解：積分

積分三、模型建立與求解模型求解：將代入，即可求得停車距離為據(jù)此可知，停車線到路口的距離應為：

等式右邊的第一項為反應時間里駛過的路程，第二項為剎車距離。三、模型建立與求解模型求解：

記街道的寬度為D（D容易測得），平均車身長度為l，這些車輛應通過的路程最長可達到L+D+l，因而，為保證過線的車輛全部順利通過，黃燈持續(xù)時間至少應當為：小結(jié)黃燈的作用是提醒司機交通燈即將變成紅燈，注意速度及時停車。同時，黃燈也可確保已經(jīng)越過停止線的汽車順利通過路口。1根據(jù)物理學知識，建立微分方程并求解。2

在一些比較繁華的路口，即使有交通燈，但因紅、綠燈時間設置不合理，導致一邊沒有車通過，而另一邊卻排了很長的隊伍。現(xiàn)假定車流均勻，如何安排交通燈時間，才能使路口的交通達到最大限度的暢通？

思考題路障間距的設計初等模型與數(shù)據(jù)處理知識點問題的提出與分析模型假設模型的建立與求解一、問題的提出與分析

校園、居民小區(qū)的道路中間，常常設置用于限制汽車速度的路障。背景問題如果要限制車速不超過40km/h，應該相距多遠設置一個路障？一、問題的提出與分析問題

如果要限制車速不超過40km/h，應該相距多遠設置一個路障？分析

汽車通過路障時速度近于零，過路障后加速。

車速達到40km/h時因為前面有下一個路障而減速，至路障處車速又近于零。

如此循環(huán)達到限速目的。二、模型假設假設：1．假設空氣阻力、天氣情況、除去地面摩擦力其他形式的摩擦力都不影響車速；3．將汽車看作為一個質(zhì)點，經(jīng)過路障時速度為0；2．相鄰路障之間，汽車先做等加速運動，再做等減速運動；三、模型的建立與求解建模準備：需要得到汽車的加速度和減速度加速行駛的測試數(shù)據(jù)方法一：查閱資料方法二：進行測試速度(km/h)010203040時間(s)01.63.24.05.0減速行駛的測試數(shù)據(jù)速度(km/h)403020100時間(s)02.24.05.56.8三、模型的建立與求解模型建立：相鄰路障間行駛總距離三、模型的建立與求解模型求解：利用測試數(shù)據(jù)求加速度a1，a21m/s=3.6km/hx=[010203040];y=[01.63.24.05.0];x1=x./3.6;A=polyfit(x1,y,1)z=polyval(A,x1);plot(x1,y,'k+',x1,z,'r')title('加速行駛')xlabel('速度v(單位m/s)')ylabel('時間t(單位s)')結(jié)論：設計路障間距為65m小結(jié)建模過程中的基本、關鍵步驟：合理的簡化假設；利用問題中蘊含的物理關系；根據(jù)測試數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)。1設計路障間距為65m。2

考慮路障高度的設計(太高車子太顛簸，太低又起不到限速效果).思考題雙層玻璃窗的功效初等模型與數(shù)據(jù)處理知識點問題的提出與分析模型假設模型的建立與求解一、問題的提出與分析

東北地區(qū)大部分建筑物的窗戶都是雙層的，即窗戶上裝有兩層玻璃且中間留有一定的空隙。據(jù)說可以減少熱量損失，起到保暖和節(jié)省燃料的作用？背景問題

雙層玻璃窗與相同材料、厚度、面積的單層玻璃窗相比，可以減少多少熱量損失？一、問題的提出與分析分析

雙層玻璃窗與相同材料、厚度、面積的單層玻璃窗相比，可以減少多少熱量損失？雙層玻璃厚度之和等于單層玻璃厚度雙層玻璃窗與單層玻璃窗的室內(nèi)、室外溫度相同二、模型假設假設：1．熱量的傳播過程中只有傳導沒有對流，即假定房間的密封性能很好；3．玻璃材料均勻，熱傳導系數(shù)是常數(shù).

2．熱傳導過程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，室內(nèi)溫度和室外溫度保持不變，即沿著熱傳導方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)；雙層玻璃每層厚度d，空隙厚度l；單層玻璃厚度2d，玻璃熱傳導系數(shù)，干燥空氣熱傳導系數(shù).雙層窗和單層窗單位時間、單位面積傳導的熱量分別為,.三、模型的建立與求解模型建立：物理學中穩(wěn)定狀態(tài)下的熱傳導定律：此即牛頓熱傳導方程。單位時間、單位面積由高溫端向低溫端傳導的熱量其中d表示材料厚度，ΔT表示兩端溫度差，k是材料的熱傳導系數(shù)三、模型的建立與求解模型建立：

根據(jù)牛頓熱傳導方程，雙層玻璃在單位時間里通過單位面積傳導的熱量（即熱量流失）為牛頓熱傳導方程（其中表示內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度，表示外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度）三、模型的建立與求解模型建立：

雙層玻璃在單位時間里通過單位面積傳導的熱量為消去，得到單層玻璃在單位時間里通過單位面積傳導的熱量為結(jié)論：雙層與單層玻璃傳導的熱量之比取決于各參數(shù)。三、模型的建立與求解模型求解：

雙層與單層玻璃傳導的熱量之比為，顯然

普通玻璃的熱傳導系數(shù)為

不流通的干燥空氣的熱傳導系數(shù)為結(jié)論：材料一定，雙層與單層玻璃傳導的熱量之比取決于空隙與玻璃厚度之比。三、模型的建立與求解模型求解：結(jié)論：雙層玻璃窗與相同材質(zhì)的單層玻璃窗相比，可減少94%以上的熱量損失。小結(jié)在合理、簡化的假設下運用基本的物理規(guī)律和初等數(shù)學方法，得到了非常簡單的數(shù)量結(jié)果。1雙層玻璃窗與相同材質(zhì)的單層玻璃窗相比，可減少94%以上的熱量損失。2

實際上房間通過墻壁、天花板、地板損失的熱量更多，于是人們常使用隔熱墻等減少熱量損失，試建立數(shù)學模型分析隔熱墻減少熱量損失的原理。思考題銀行存款初等模型與數(shù)據(jù)處理知識點問題的提出與分析定期存儲的利息計算活期存儲的利息計算一、問題的提出與分析背景無需任何事先通知，存款戶可隨時存取和轉(zhuǎn)讓活期存儲銀行與存款人雙方在存款時事先約定期限、利率，到期后支取本金和利息定期存儲一、問題的提出與分析背景利率是指一定時期內(nèi)利息額與借貸資金額即本金的比率。根據(jù)計量的期限標準不同，表示方法有年利率、月利率、日利率三種。年利率1.75%月利率1.458‰日利率0.486‰o一、問題的提出與分析問題五萬元本金放銀行存儲一年，采用何種存儲方式可獲最高利息？分析

利息=本金×利率二、定期存儲的利息計算定期存儲：定期存儲時間三個月半年一年利率1.351.551.75五萬本金，定期存儲一年五萬本金，定期存儲半年，結(jié)算利息后，本息再存儲半年二、定期存儲的利息計算定期存儲：定期存儲時間三個月半年一年利率1.351.551.75五萬本金，定期存儲三個月，結(jié)算利息后，本息再存儲三個月，如此反復四次三、活期存儲的利息活期存儲：中國銀行2020年的活期存儲利率為0.3%，結(jié)息方式為：

按季結(jié)息，每季度末月20日結(jié)息一次，以結(jié)息日掛牌公告的活期存款利率計息，利息并入本金。未到結(jié)息日清戶者，按清戶日掛牌公告的活期存款利率算到清戶前一日止。五萬本金，活期存儲一年三、活期存儲的利息活期存儲：每月去柜臺辦理一次存取每天去柜臺辦理一次存取三、活期存儲的利息活期存儲：

對此問題做如下改進：假設在一年中等間隔地存取有限次，不妨計為n次，然后再令n趨向于無窮大，利息是否也會無窮大？等間隔存取n次，n趨向于無窮大結(jié)論：定期存儲中增加存取次數(shù)，利息越來越少；但是活期存儲中增加存取次數(shù)，利息卻越來越高，但也不會無限增大。小結(jié)利用數(shù)學知識解析銀行存款問題1本息結(jié)算公式為：本金

(1+利率)2×

現(xiàn)在有本金50000，期限是從現(xiàn)在開始到一年后的今天，同學們考慮下，怎樣理財能獲得最大收益，不限制理財平臺，但必須合法，遠離非法借貸平臺。思考題住房貸款--等額本金初等模型與數(shù)據(jù)處理知識點問題的提出與分析等額本金還款法一、問題的提出與分析背景

當前商品房價格一漲再漲，居高不下，動輒上百萬元。對大部分的年輕人來講，要想安家買房，全款購買壓力太大，可以考慮個人住房貸款。一、問題的提出與分析背景等額本金等本不等息，遞減還款。每月等額償還貸款本金，貸款利息隨本金逐月遞減，直至期滿還清等額本息每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清一、問題的提出與分析問題

現(xiàn)在為購買住房必須向銀行申請個人住房貸款20萬元，并分30年還清，選擇等額本金的還款方式，每月需還多少？分析每月還款額=貸款本金/貸款期月數(shù)+（本金-已歸還本金累計額）×月利率二、等額本金還款法模型準備：貸款期限貸款一年以內(nèi)（含一年）貸款一致五年（含五年）貸款五年以上年利率4.35%4.75%4.90%截止2020年1月13日，央行貸款基準利率是：二、等額本金還款法模型建立：本金總額/還款月數(shù)每月本金每月利息（本金總額-累計已還本金）×月利率二三一二、等額本金還款法模型建立：貸款年利率r(月利率r/12)貸款本金總額m貸款期年數(shù)n(貸款期月數(shù)12n)辦理按揭之后第k月，應付本息xk每月應付本金辦理按揭之后第k月應付利息二、等額本金還款法模型求解：fork=1:360;m=200000;n=30;r=0.049;x(k)=m/(12*n)+(m-m*(k-1)/(12*n))*(r/12);x=x'end總結(jié)：累計還款總額為347408.33元，累計支付利息147408.33元，累計支付利息占本金總額的比例為73.7%。小結(jié)等額本金還款法的數(shù)學模型,關于第k月應付本息金額xk,是一個遞減的等差數(shù)列。1累計支付利息占本金總額的比例為73.7%。2

某城市居民購買一套住房，申請商業(yè)性個人貸款40萬，年利率4.9%，貸款期限25年。若在整個貸款期內(nèi)年利率不變，用等額本金還款法，每月需還多少錢？思考題住房貸款--等額本息初等模型與數(shù)據(jù)處理知識點問題的提出與分析等額本息還款法一、問題的提出與分析背景等額本金等本不等息，遞減還款。每月等額償還貸款本金，貸款利息隨本金逐月遞減，直至期滿還清等額本息每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清一、問題的提出與分析問題

現(xiàn)在為購買住房必須向銀行申請個人住房貸款20萬元，并分30年還清，選擇等額本息的還款方式，每月需還多少？分析貸款年利率r(月利率r/12)貸款本金總額x0貸款期年數(shù)n(貸款期月數(shù)12n)每月支付本息b辦理按揭之后第k月剩余本金xk每月利息=本月剩余本金×貸款月利率每月本金=本月剩余本金-下月剩余本金每月月供額=每月本金+每月利息二、等額本息還款法模型建立：1234辦理按揭之后第一月辦理按揭之后第二月辦理按揭之后第k月二、等額本息還款法模型求解：總結(jié)：累計還款總額為1061.5×360=382123.23元，累計支付利息182123.23元，累計支付利息占本金總額的比例為91.06%。當k=12n時，有x2n=0成立，即利用MATLAB求解，解得b=1061.5元。symsbx=200000;r=0.049;n=30;solve((x-(12*b)/r)*((1+r/12)^(12*n))+(12*b)/r)double(ans)ans=1.0615e+03小結(jié)等額本息還款法的數(shù)學模型是關于第k月剩余本金xk的一階線性常系數(shù)非齊次差分方程，本質(zhì)上是等比數(shù)列。1等額本息還款法比等額本金法支付的利息更多。2

某城市居民購買一套住房，申請商業(yè)性個人貸款40萬，年利率4.9%，貸款期限25年。若在整個貸款期內(nèi)年利率不變，用等額本息還款法，每月需還多少錢？思考題桌子能否放平？初等模型與數(shù)據(jù)處理知識點問題的提出與分析模型假設模型的建立與求解一、問題的提出與分析將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn)，問是否總