抽象函數(shù)專(zhuān)題

抽象函數(shù)專(zhuān)題一、定義域問(wèn)題1、若函數(shù)$y=f(x)$的定義域是$[-2,2]$，則函數(shù)$y=f(x+1)+f(x-1)$的定義域?yàn)?[-3,1]$。2、已知函數(shù)$f(x)$的定義域是$[-1,2]$，求函數(shù)$f\left(\log_2\frac{1}{3-x}\right)$的定義域。3、已知函數(shù)$f\left(\log_3x\right)$的定義域?yàn)?[3,27]$，求函數(shù)$f(x)$的定義域。4、若函數(shù)$f(2x+1)$的定義域?yàn)?(-1,\infty)$，求函數(shù)$f(x)$的定義域。二、賦值問(wèn)題1、已知定義域?yàn)?\mathbb{R}$的函數(shù)$f(x)$，同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①$f(2)=1$，$f(6)=2$，求$f(9)$的值；②$f(x\cdoty)=f(x)+f(y)$，求$f(3)$。2、對(duì)任意實(shí)數(shù)$x,y$，均滿(mǎn)足$f(x+y)=f(x)+2f(y)$且$f(1)\neq0$，則$f(2001)=4002$。3、若$f(n+1)=f(n)+1(n\in\mathbb{N})$，且$f(1)=2$，則$f(100)=101$的值是$101$。4、定義$\mathbb{R}$上的函數(shù)$f(x)$滿(mǎn)足：$f(xy)=f(x)+f(y)$，且$f(9)=8$，則$f(3)=\frac{4}{3}$。5、對(duì)任意整數(shù)$x,y$函數(shù)$y=f(x)$滿(mǎn)足：$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1$，若$f(1)=1$，則$f(-8)=-46$。三、解析式問(wèn)題1、設(shè)對(duì)滿(mǎn)足$x\neq0,x\neq1$的所有實(shí)數(shù)$x$，函數(shù)$f(x)$滿(mǎn)足$f(x)+f(x-1)=1+x^2$，求$f(x)$的解析式。2、已知滿(mǎn)足$2f(x)-f(1)=x+1$的函數(shù)$f(x)$，求$f(x)$。3、設(shè)$f(x)$為偶函數(shù)，$g(x)$為奇函數(shù)，又$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$，試求$f(x)$和$g(x)$的解析式。4、若一次函數(shù)$f(x)$滿(mǎn)足：$f\{f[f(x)]\}=8x+7$，求$f(x)$的解析式。四、單調(diào)性問(wèn)題1、設(shè)$f(x)$定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)$x>0$時(shí)，$f(x)>1$，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，有$f(x+y)=f(x)\cdotf(y)$，求證：$f(x)$在$\mathbb{R}$上為增函數(shù)。2、$f(x)$對(duì)任意實(shí)數(shù)$x$與$y$都有$f(x)-f(y)=f(x-y)-2$，當(dāng)$x>0$時(shí)，$f(x)>2$，求證：$f(x)$在$\mathbb{R}$上是增函數(shù)。3、已知函數(shù)$f(x)+f(y)=2+