2023學年九年級數(shù)學上冊單元題型精練（基礎題型+強化題型）（人教版）一元二次方程與動點問題（強化）（解析版）

一元二次方程與動點問題【例題精講】如圖所示在中．點從點開始沿邊向點以的速度移動點從點開始沿邊向點以的速度移動．（1）如果、分別從、同時出發(fā)那么幾秒后的面積為．（2）如果、分別從、同時出發(fā)那么幾秒后的長度等于．（3）在（1）中的面積能否等于？說明理由．【解答】解：（1）設秒后的面積為此時由得整理得：解得：或（舍去）．當時說明此時點越過點不合要求舍去．答：1秒后的面積為．（2）由得整理得解方程得：（舍去）．所以2秒后的長度等于；（3）不可能．設整理得方程沒有實數(shù)根所以的面積為的面積不可能等于．【題組訓練】一．選擇題（共5小題）1．如圖中點從點開始出發(fā)向點以的速度移動點從點出發(fā)向點以的速度移動若、分別同時從出發(fā)秒后四邊形是面積的．A．2 B．4.5 C．8 D．7【解答】解：中是直角三角形由勾股定理得．設秒后四邊形是面積的則秒后．根據(jù)題意知即解得或（舍去）．故選：．2．在中動點從點沿線段向點移動一動點從點沿線段向點移動兩點同時開始移動點的速度為點的速度為當?shù)竭_點時兩點同時停止運動．若使的面積為則點運動的時間是A． B． C．或 D．或【解答】解：設點運動的時間為則依題意得：整理得：解得：當?shù)竭_點時兩點同時停止運動．故選：．3．如圖所示為矩形的四個頂點動點分別從點同時出發(fā)點以的速度向移動一直到達為止；點以的速度向移動．當兩點從出發(fā)開始幾秒時點和點的距離是．（若一點到達終點另一點也隨之停止運動）A．或 B．或 C． D．或【解答】解：設當、兩點從出發(fā)開始秒時點和點的距離是此時根據(jù)題意得：解得：．答：當、兩點從出發(fā)開始到2秒或秒時點和點的距離是．故選：．4．如圖在中．動點分別從點同時開始移動點的速度為秒點的速度為秒點移動到點后停止點也隨之停止運動．下列時間瞬間中能使的面積為的是A．2秒鐘 B．3秒鐘 C．4秒鐘 D．5秒鐘【解答】解：設動點運動秒后能使的面積為則為為由三角形的面積計算公式列方程得解得（當時不合題意舍去）．動點運動3秒時能使的面積為．故選：．5．如圖在矩形中點從點沿邊向點以的速度移動；同時點從點沿邊向點以的速度移動經(jīng)過秒后的面積等于則的值為A．1或4 B．1或6 C．2或4 D．2或6【解答】解：設出發(fā)秒時的面積等于．化簡整理得解得答：2秒或4秒后的面積等于．故選：．二．填空題（共5小題）6．如圖中點從點開始沿向點以的速度移動點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果、分別從、同時出發(fā)經(jīng)過3秒鐘的面積等于面積的．【解答】解：根據(jù)題意知．的面積等于面積的則根據(jù)三角形的面積公式得解得．故經(jīng)過3秒鐘的面積等于面積的．故答案是：3．7．如圖在中動點從點出發(fā)沿方向運動速度是；同時動點從點出發(fā)沿方向運動速度是則經(jīng)過10后兩點之間相距．【解答】解：設秒后、兩點相距則由題意得解得（舍去）則10秒后、兩點相距．故答案是：10．8．如圖中一動點從點出發(fā)沿著方向以的速度運動另一動點從出發(fā)沿著邊以的速度運動兩點同時出發(fā)運動2秒時的面積是面積的．【解答】解：整理得解得．即：運動2秒時的面積為面積的．故答案是：2．9．在平面直角坐標系中過原點及點、作矩形的平分線交于點．點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線方向移動；同時點從點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿軸正方向移動．設移動時間為秒當為2或或時為直角三角形．【解答】解：作于點在中點又根據(jù)勾股定理可得：①若則有即：整理得：解得：（舍去）②若則有整理得：解得：．當或或時為直角三角形．故答案為：2或或．10．如圖在矩形中點從點出發(fā)沿以的速度向點運動同時點從點出發(fā)沿以的速度向點運動點到達終點后、兩點同時停止運動則2或3秒時的面積是．【解答】解：設運動時間為秒則依題意得：整理得：解得：．或3秒時的面積是．故答案為：2或3．三．解答題（共30小題）11．如圖所示在等邊三角形中射線點從點出發(fā)沿射線以的速度運動同時點從點出發(fā)沿射線以的速度運動設運動時間為．（1）連接當經(jīng)過邊的中點時求證：四邊形是平行四邊形；（2）①當為何值時四邊形是菱形；②當為為何值時的面積是的面積的2倍．【解答】（1）證明：如圖1經(jīng)過邊的中點四邊形是平行四邊形；（2）解：①如圖2是等邊三角形四邊形是菱形且點在延長線上由運動知解得：將代入中得符合題意即當時四邊形是菱形；②設平行線與的距離為邊上的高為的邊上的高為的面積是的面積的2倍當點在線段上時解得：；當點在的延長線上時解得：即當為或時的面積是的面積的2倍．12．如圖、、、為矩形的四個頂點動點、分別從點、同時出發(fā)點以的速度向點移動一直到達為止點以的速度向移動．（1）、兩點從出發(fā)開始到幾秒時四邊形的面積為；（2）、兩點從出發(fā)開始到幾秒時點和點的距離是．【解答】解：（1）設、兩點從出發(fā)開始到秒時四邊形的面積為則根據(jù)梯形的面積公式得解之得（2）設兩點從出發(fā)經(jīng)過秒時點間的距離是作垂足為則由勾股定理得解得．答：（1）、兩點從出發(fā)開始到5秒時四邊形的面積為；（2）從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時點和點的距離是．13．如圖在長方形中點以的速度從頂點出發(fā)沿折線向點運動同時點以的速度從頂點出發(fā)沿向點運動當其中一個動點到達終點時另一點也隨之停止運動．（1）兩動點運動幾秒時四邊形的面積是長方形面積的？（2）是否存在某一時刻使得點與點之間的距離為？若存在求出該時刻；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）設兩動點運動秒使四邊形的面積是矩形面積的．根據(jù)題意得矩形的面積是12．則有解得；（2）設兩動點經(jīng)過秒使得點與點之間的距離為．①當時如圖1則有解得或；②當時如圖2則有得方程此時△此方程無解．綜上所述當或時點與點之間的距離．14．如圖在中動點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動同時動點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動當運動到點時、兩點同時停止運動設運動時間為．（1）；；（用的代數(shù)式表示）（2）是的中點連接、為何值時的面積為？【解答】解：（1）根據(jù)題意得：所以故答案是：；；（2）如圖過點作于即．．又是的中點是的中位線．．根據(jù)題意得整理得．解得：即當或4時的面積是．15．如圖在中點從點開始沿向點以的速度運動點從點開始沿向點以的速度運動同時出發(fā)各自到達終點后停止運動．在整個運動過程中設它們的運動時間為．（1）下列說法正確的是②．（填寫所有正確結(jié)論的序號）①可以平分的周長；②可以平分的面積．（2）當為何值時的面積等于？【解答】解：（1）由勾股定理得：當時（舍當時解得或（舍時可以平分的面積故答案為：②；（2）①由題意知：解得：或7（舍去）當時的面積等于．當點停止時綜上：或．16．如圖中點從沿邊向點以的速度移動在點停止點從點開始沿邊向點以的速度移動在點停止．（1）如果點分別從、同時出發(fā)經(jīng)過2秒鐘后8；（2）如果點從點先出發(fā)點再從點出發(fā)問點移動幾秒鐘后？（3）如果點、分別從、同時出發(fā)經(jīng)過幾秒鐘后？【解答】解：（1）由題意得答：、同時出發(fā)經(jīng)過．故答案是：8；（2）設出發(fā)時則運動的時間為秒由題意得：解得：因此經(jīng)4秒點離點點離點符合題意．答：先出發(fā)再從出發(fā)后．（3）設經(jīng)過秒鐘后則解得（不合題意舍去）答：經(jīng)過秒鐘后．17．如圖在中點從點開始沿射線向點以的速度移動與此同時點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果、分別從、同時出發(fā)運動的時間為當點運動到點時兩點停止運動．（1）當點在線段上運動時、兩點之間的距離．（用含的代數(shù)式表示）（2）在運動的過程中是否存在某一時刻使得的面積是面積的．若存在求的值；若不存在說明理由．【解答】解：（1）中中又點從點開始沿射線向點以的速度移動當點在線段上運動時、兩點之間的距離；故答案為：；（2）的面積為①當時即△該一元二次方程無實數(shù)根該范圍下不存在；②當時即解得或（舍去）綜上所述存在當時的面積是面積的．18．如圖已知正方形的邊長為動點從點出發(fā)以的速度沿方向向點運動動點從點出發(fā)以的速度沿方向向點運動若、兩點同時出發(fā)運動時間為．（1）連接、、求當為何值時的面積為？（2）當點在上運動時是否存在這樣的使得是以為一腰的等腰三角形？若存在請求出符合條件的的值；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）當在上時如圖：根據(jù)題意得整理得解得．當在上時此時答：當為1秒或秒時的面積為．（2）①當時根據(jù)勾股定理得解得（不符合題意舍去）．②當時根據(jù)勾股定理得整理得：解得（不符合題意舍去）．答：存在這樣的秒或秒使得是以為一腰的等腰三角形．19．如圖在矩形中動點從點出發(fā)以的速度沿向點移動同時點從點出發(fā)以的速度沿向點移動（點到達點停止時點也隨之停止運動）設點運動時間為秒．（1）試求當為何值時四邊形為矩形；（2）、兩點出發(fā)多長時間線段的長度為．【解答】解：（1）四邊形為矩形．（2）過點作于點四邊形是矩形．在中即解得答：當出發(fā)或時線段的長度為．20．如圖在中．現(xiàn)有動點從點出發(fā)沿向點方向運動動點從點出發(fā)沿線段向點方向運動如果點的速度是點的速度是它們同時出發(fā)當有一點到達所在線段的端點時就停止運動．設運動的時間為的面積．（1）用含的代數(shù)式表示．（2）當運動多少秒時的面積等于？【解答】解：（1）由題意得：；（2）當時解得：即當或時的面積等于．21．如圖已知等邊三角形的邊長為點從點出發(fā)沿的方向以的速度向終點運動同時點從點出發(fā)沿的方向以的速度向終點運動．當點運動到點時兩點均停止運動．運動時間記為請解決下列問題：（1）若點在邊上當為何值時為直角三角形？（2）是否存在這樣的值使的面積為？若存在請求出的值若不存在請說明理由．【解答】解：（1）是等邊三角形當點在邊上時由題意知當時即解得當時即解得所以點在邊上當為或時為直角三角形；（2）存在①當點在邊上時此時過點作于點在中即由得；②當點在邊上時此時如圖過點作于點在中即由得（不合題意舍去）因此當?shù)闹凳腔驎r的面積為．22．如圖1在中現(xiàn)有動點從點出發(fā)沿射線方向運動動點從點出發(fā)沿射線方向運動已知點的速度是點的速度是它們同時出發(fā)設運動時間是．（1）當時求的面積．（2）經(jīng)過多少秒時的面積是面積的一半．【解答】解：（1）點的速度是點的速度是當時．（2）設經(jīng)過秒的面積是面積的一半．根據(jù)題意得：當時如圖整理得解得（舍去）或．當時如圖整理得△無解．當時如圖整理得解得或（舍去）．綜上所述：經(jīng)過2秒或12秒的面積是面積的一半．23．我們已經(jīng)學習了利用配方法解一元二次方程其實配方法還有其他重要應用．例：已知可取任何實數(shù)試求二次三項式最小值．解：無論取何實數(shù)總有．即的最小值是．即無論取何實數(shù)的值總是不小于的實數(shù)．問題：（1）已知求證是正數(shù)．知識遷移：（2）如圖在中點在邊上從點向點以的速度移動點在邊上以的速度從點向點移動．若點同時出發(fā)且當一點移動到終點時另一點也隨之停止設的面積為運動時間為秒求的最大值．【解答】證明：（1）．．．．是正數(shù)．（2）由題意：．．．．當時有最大值．24．如圖在中．點從點出發(fā)沿邊以的速度向點移動；點從點同時出發(fā)沿邊以的速度向點移動．規(guī)定其中一個動點到達終點時另一個動點也隨之停止運動．問經(jīng)過幾秒后兩點的距離是？【解答】解：設經(jīng)過秒后兩點的距離是根據(jù)題意得整理得解得．當時符合題意答：秒或2秒后兩點間的距離等于．25．如圖在邊長為的等邊三角形中點從點開始沿邊向點以每秒鐘的速度移動點從點開始沿邊向點以每秒鐘的速度移動．若、分別從、同時出發(fā)其中任意一點到達目的地后兩點同時停止運動求：（1）經(jīng)過6秒后6；（2）經(jīng)過幾秒后是直角三角形？（3）經(jīng)過幾秒的面積等于？【解答】解：（1）由題意得．是等邊三角形．故答案為：6、12．（2）是等邊三角形當時．當時答6秒或秒時是直角三角形；（3）作于在中由勾股定理得解得；時故舍去．答：經(jīng)過2秒的面積等于．26．已知：如圖是邊長為的等邊三角形動點、同時從、兩點出發(fā)分別沿、方向勻速移動它們的速度都是當點到達點時、兩點停止運動設點的運動時間解答下列各問題：（1）經(jīng)過秒時求的面積；（2）當為何值時是直角三角形？（3）是否存在某一時刻使四邊形的面積是面積的三分之二？如果存在求出的值；不存在請說明理由．【解答】解：（1）經(jīng)過秒時是邊長為的等邊三角形的面積；（2）設經(jīng)過秒是直角三角形則中中若是直角三角形則或當時即（秒當時（秒答：當秒或秒時是直角三角形．（3）過作于中與的關系式為假設存在某一時刻使得四邊形的面積是面積的則方程無解無論取何值四邊形的面積都不可能是面積的．27．如圖在矩形中點從點出發(fā)沿線段、以的速度向終點運動；同時點從點出發(fā)沿線段、以的速度向終點運動、兩點中只要有一點到達終點則另一點運動立即停止）．（1）運動停止后哪一點先到終點？另一點離終點還有多遠？（2）在運動過程中的面積能否等于？若能需運動多長時間？若不能請說明理由．【解答】解：（1）點從開始到運動停止用的時間為：點從開始到運動停止用的時間為：只要有一點到達終點則另一點運動立即停止點先到終點此時點離終點的距離是：答：點先到終點此時點離終點的距離是；（2）在運動過程中的面積能等于當從點運動到點的過程中設點運動時間為的面積能否等于解得此方程無解；當點從到的過程中設點運動的時間為的面積能否等于解得（舍去）即需運動的面積能等于．28．如圖①在矩形中．點從點出發(fā)沿運動速度為每秒2個單位長度；點從點出發(fā)向點運動速度為每秒1個單位長度．、兩點同時出發(fā)點運動到點時兩點同時停止運動設點的運動時間為（秒．連接、、、．（1）點到點時6；當點到終點時的長度為；（2）用含的代數(shù)式表示的長；（3）當三角形的面積為9時求的值．【解答】解：（1）在矩形中點到點時所走路程為當點到終點時點回到中點；（2）當時；當時；當時；（3）當時（舍去）當時當時（舍棄）綜上所述當三角形的面積為9時或．29．如圖已知直線的函數(shù)解析式為點從點開始沿方向以1個單位秒的速度運動點從點開始沿方向以2個單位秒的速度運動．如果、兩點分別從點、點同時出發(fā)經(jīng)過多少秒后能使的面積為8個平方單位？【解答】解：直線的函數(shù)解析式為點點．設運動時間為則根據(jù)題意得：解得：（舍去）．經(jīng)過2秒、4秒或秒后能使的面積為8個平方單位30．如圖所示在中（1）點從點開始沿邊向點以的速度移動點從點開始沿邊向點以的速度移動如果點分別從同時出發(fā)經(jīng)過幾秒鐘后的面積等于？（2）如果點分別從同時出發(fā)并且點在邊上沿的路線以的速度移動點在邊上沿的路線以的速度移動求經(jīng)過幾秒鐘后的面積等于．【解答】解：（1）設經(jīng)過秒后的面積等于．由題意得：解得：答：經(jīng)過2秒或4秒后的面積等于．（2）設經(jīng)過秒后的面積等于．分三種情況：①當時則由題意得：解得：或（不合題意舍去）；②當時則由題意得：整理得：此方程無解；③當時則由題意得：解得：（不合題意舍去）或；綜上所述經(jīng)過2秒或8秒鐘后的面積等于．31．如圖在梯形中．動點從點出發(fā)沿線段的方向以每秒2個單位長度的速度運動動點從點出發(fā)在線段上以每秒1個單位長度的速度向點運動．點分別從點同時出發(fā)當點運動到點時點隨之停止運動．設運動時間為當為何值時以三點為頂點的三角形為等腰三角形？【解答】解：如圖1當時作于．．解得：．如圖2當時作于四邊形是矩形．在中由勾股定理得．解得：；如圖3當時作于在中△故方程無解．綜上所述或時以三點為頂點的三角形為等腰三角形．32．如圖正方形的邊長為點從開始沿折線以的速度移動點從開始沿邊以的速度移動如果點、分別從、同時出發(fā)當其中一點到達時另一點也隨之停止運動．設運動時間為．（1）為何值時為直角三角形；（2）①設面積為寫出與的函數(shù)關系式；②為何值時面積為正方形面積的？【解答】解：（1）要使為直角三角形則需或即或或或．（2）①當時；當時②時面積為正方形面積的．33．如圖已知、、、為矩形的四個頂點動點、分別從點、同時出發(fā)點以的速度向點移動一直到點為止點以的速度向點移動．設移動時間為問（1）當為何值時、兩點間的距離是？（2）當為何值時、兩點間距離最小？最小距離為多少？（3）、兩點間距離能否是？若能求出的值；若不能請說明理由．【解答】解：（1）設出發(fā)秒后、兩點間的距離是10厘米．則作于則解得：或答：、出發(fā)1.6和4.8秒時間的距離是10厘米；（2）當時即時最小最小為6；（3）、兩點間距離不能是．34．如圖所示在中．點從點開始沿邊向點以的速度移動點從點開始沿邊向點以的速度移動．當、兩點中有一點到達終點則同時停止運動．（1）如果、分別從、同時出發(fā)那么幾秒后的面積為．（2）如果、分別從、同時出發(fā)那么幾秒后的長度等于．（3）在（1）中的面積能否等于？說明理由．【解答】解：（1）設秒后的面積為此時由得整理得：解得：或（舍去）．當時說明此時點越過點不合要求舍去．答：1秒后的面積為．（2）由得整理得解方程得：（舍去）．所以2秒后的長度等于；（3）不可能．設整理得方程沒有實數(shù)根所以的面積為的面積不可能等于．35．（A）如圖1在中點、、同時由、兩點出發(fā)分別沿、方向向點勻速移動它們的速度都是幾秒后的面積為面積的一半？（B）如圖2中一動點從出發(fā)沿著方向以的速度運動另一動點從出發(fā)沿著方向以的速度運動、兩點同時出發(fā)運動時間為．（1）當為幾秒時的面積是面積的？（2）的面積能否為面積的一半？若能求出的值；若不能說明理由．【解答】解：（A）設經(jīng)過秒后的面積是面積的一半則：解得（舍去）．答：秒后的面積是面積的一半；（B）（1）整理得解得．答：當時的面積為面積的；（2）當時整理得△此方程沒有實數(shù)根的面積不可能是面積的一半．36．如圖在中點從出發(fā)沿射線以的速度做直線運動點從出發(fā)沿邊的延長線以的速度做直線運動．如果分別從