第八章-數(shù)學(xué)悖論及其意義課件

第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義1悖論的起源已久，至今是一個(gè)涉及自然與社會(huì)科學(xué)中許多學(xué)科的論題．由于數(shù)學(xué)的發(fā)展是充滿著矛盾的歷史，因此，數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論是不可避免的，甚至還可以這樣說(shuō)，數(shù)學(xué)也正是在不斷消除悖論，解決矛盾中向前發(fā)展的，這體現(xiàn)了矛盾是事物發(fā)展的基本動(dòng)力這一原理．這里，首先給出悖論的定義并列舉歷史上重要的悖論，然后對(duì)數(shù)學(xué)史上所謂三次危機(jī)作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹。第八章--數(shù)學(xué)悖論及其意義ppt課件2§1悖論的定義和常見(jiàn)的悖論值得注意的是，我們所說(shuō)的悖論與通常的詭辯或謬論的含義是不同的，詭辯或謬論不僅從公認(rèn)的理論明顯看出它的錯(cuò)誤，而且一般地還可以運(yùn)用已有的理論、邏輯論述其錯(cuò)誤的原因；而悖論就與此不同了，悖論雖然感到它是不妥的，但是從它所在的理論體系中，卻不能自圓其說(shuō)。§1悖論的定義和常見(jiàn)的悖論值得注意的是，我們所說(shuō)的悖論與3一、悖論的定義我們采用徐利治教授主張的弗蘭克爾和巴-希勒爾的說(shuō)法“如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個(gè)理論中卻推出了兩個(gè)互相礦矛盾的命題，或是證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式，那么，我們就說(shuō)，這個(gè)理論包含了一個(gè)悖論?！币?、悖論的定義4簡(jiǎn)言之，

簡(jiǎn)言之，5在這個(gè)定義中，首先指明了任何一個(gè)悖論總是相對(duì)于某一理論系統(tǒng)而言的。

比如，著名的羅素悖論是一個(gè)被包含在古典集合論系統(tǒng)中的悖論。其次又指出一個(gè)悖論可以表現(xiàn)為某一理論系統(tǒng)中兩個(gè)互相矛盾的命題的形式。不過(guò)從悖論的起源以及歷史上一些著名的悖論來(lái)說(shuō)，不一定都符合我們這個(gè)定義，它們有的是由于新概念的引入而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念，例如希帕索斯無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。有的是在推理過(guò)程看上去是合理的，但推理的結(jié)果卻又違背客觀實(shí)際。例如芝諾悖論。在這個(gè)定義中，首先指明了任何一個(gè)悖論總是相對(duì)于某一理論系統(tǒng)而6二、常見(jiàn)的悖論二、常見(jiàn)的悖論71、理發(fā)師悖論

李家村上所有有理發(fā)習(xí)慣的人分為兩類，一類是自己給自己理發(fā)的，另一類是由別人給他理發(fā)的。這個(gè)村上有一位有理發(fā)習(xí)慣的理發(fā)師自己約定：“給且只給村里自己不給自己理發(fā)的人理發(fā)?！爆F(xiàn)在問(wèn)：這位理發(fā)師屬于哪一類的人？1、理發(fā)師悖論8第八章--數(shù)學(xué)悖論及其意義ppt課件92、羅素悖論（集合論悖論）這是羅素在1903年提出的悖論。敘述如下：2、羅素悖論（集合論悖論）10第八章--數(shù)學(xué)悖論及其意義ppt課件11第八章--數(shù)學(xué)悖論及其意義ppt課件123、康托悖論這個(gè)悖論是康托1899年發(fā)現(xiàn)的?，F(xiàn)敘述如下：3、康托悖論13第八章--數(shù)學(xué)悖論及其意義ppt課件14第八章--數(shù)學(xué)悖論及其意義ppt課件154、說(shuō)謊者悖論“我在說(shuō)這句話時(shí)正在說(shuō)謊”，試問(wèn)這句話是真話還是假話？4、說(shuō)謊者悖論16分析如下：若設(shè)它是真話，則因這句話（它是真話）也是出自我之口，故按此話（我在說(shuō)這句話時(shí)正在說(shuō)謊）的論斷，可知這句話（它是真話）也是說(shuō)謊，即這句話是假話；若設(shè)它是假話，則因這句話（它是假話）也是出自我之口，故按此話的論斷，可知這句話（它是假話）也是說(shuō)謊，即這句話是真話。故由它的真（假）導(dǎo)致它的假（真），總是矛盾的，這就是悖論。分析如下：若設(shè)它是真話，則因這句話（它是真話）也是出自我之口171947年設(shè)計(jì)出了世界上第一臺(tái)用于解決邏輯問(wèn)題的計(jì)算機(jī)，當(dāng)用它來(lái)判斷這個(gè)“說(shuō)謊者悖論”，即判斷：語(yǔ)句：“我在說(shuō)這句話時(shí)正在說(shuō)謊”是真，是假時(shí)，這時(shí)只見(jiàn)“計(jì)算機(jī)發(fā)狂”了似的反復(fù)不斷地打出：對(duì)、錯(cuò)、對(duì)、錯(cuò)……。第八章--數(shù)學(xué)悖論及其意義ppt課件18關(guān)于這個(gè)悖論的由來(lái)是這樣的：

公元前6世紀(jì)，希臘的克里特人發(fā)現(xiàn)一個(gè)實(shí)際上沒(méi)有構(gòu)成現(xiàn)代意義下的悖論的悖論。其原始命題是：一個(gè)克里特人說(shuō)：“所有的克里特人所說(shuō)的每一句話都是謊話?！庇捎趶募僭O(shè)這句話為真會(huì)導(dǎo)出它的假，而由它的假并導(dǎo)不出矛盾來(lái)。這樣構(gòu)不成現(xiàn)代意義下的悖論，不過(guò)它的確是古代著名的悖論，連西方的圣經(jīng)《新約》中也用這個(gè)悖論。它是悖論的歷史起源的典型例子。關(guān)于這個(gè)悖論的由來(lái)是這樣的：公元前6世紀(jì)，希臘的克里特人發(fā)19以上所舉是邏輯（集合論）悖論和語(yǔ)義學(xué)悖論的典型例子。由于科學(xué)的發(fā)展，各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)許多思維的、推理不清的問(wèn)題，過(guò)去人們都稱之為悖論，現(xiàn)在看來(lái)可能不一定是悖論。第八章--數(shù)學(xué)悖論及其意義ppt課件205、梵學(xué)者的預(yù)言印度預(yù)言家的女兒要想捉弄父親，一天在紙上寫(xiě)下一句話（一件事），讓她的父親預(yù)言這件事在下午3時(shí)以前是否發(fā)生，并在一個(gè)卡片上寫(xiě)“是”或“不”。這位預(yù)言家果然在卡片上寫(xiě)了一個(gè)“是”字。他女兒在紙上寫(xiě)的一句話是：“在下午3點(diǎn)鐘之前，你將寫(xiě)一個(gè)‘不’字在卡片上”。5、梵學(xué)者的預(yù)言印度預(yù)言家的女兒要想捉弄父親，一天在紙上寫(xiě)下21事實(shí)上：

他在卡片上寫(xiě)“是”或“不”都是錯(cuò)誤的，他根本不可能預(yù)言對(duì)。因?yàn)槿绻麑?xiě)個(gè)“是”字，這就與他的女兒在紙上說(shuō)她的父親將寫(xiě)一個(gè)“不”字不相符合，也就是說(shuō)他預(yù)言不對(duì)；如果他寫(xiě)個(gè)“不”字，也就是說(shuō)，在下午3點(diǎn)鐘以前，你的確寫(xiě)了一個(gè)“不”字在卡片上，那怎么能說(shuō)“不”呢？而應(yīng)該說(shuō)“是”才對(duì)?。∈聦?shí)上：他在卡片上寫(xiě)“是”或“不”都是錯(cuò)誤的，他根本不可能226、蠕蟲(chóng)爬橡皮繩一條蠕蟲(chóng)在一km長(zhǎng)的橡皮繩一端以1cm/s的勻速向另一端爬行，而橡皮繩卻以每秒（均勻）伸長(zhǎng)1km,如此下去，試問(wèn)蠕蟲(chóng)會(huì)不會(huì)看到橡皮繩的另一端點(diǎn)？6、蠕蟲(chóng)爬橡皮繩237、上帝全能悖論7、上帝全能悖論248、芝諾悖論公元前496—430年間埃利亞（意大利南部一個(gè)城市）學(xué)派中心人物芝諾，他反對(duì)畢氏學(xué)派企圖用“單子說(shuō)”來(lái)解決“線段不可通約”的問(wèn)題。（畢氏對(duì)不可通約的線段用一種如此之小的度量單位，以致本身是不可度量的（即長(zhǎng)度為0）卻又要保持為一種單位，稱作單子。用單子來(lái)度量它們，也就是以無(wú)窮小線段去公度正方形的邊和對(duì)角線）。芝諾提出“單子本身是否有長(zhǎng)度”的問(wèn)題，并認(rèn)為無(wú)窮小若有長(zhǎng)度，則無(wú)限個(gè)相連接為無(wú)限大；無(wú)窮小若無(wú)長(zhǎng)度，則無(wú)限個(gè)相連接仍是沒(méi)有長(zhǎng)度。芝諾還提出了著名的幾個(gè)悖論。8、芝諾悖論25（1）阿（基）里斯悖論阿里斯是荷馬（公元前1000年）史詩(shī)《伊里亞特》中一位善跑的英雄。假設(shè)阿里斯跑的速度是烏龜?shù)?0倍，而烏龜在阿里斯前面100米。當(dāng)阿追到100米時(shí)，烏龜前進(jìn)了10米，阿又追上10米，烏龜又前進(jìn)1米。阿又追上1米，烏龜又前進(jìn)了0.1米。如此下去，阿里斯只是越追越近，但始終追不上烏龜。

（1）阿（基）里斯悖論阿里斯是荷馬（公元前1000年）史詩(shī)《26（2）箭的悖論（飛矢不動(dòng)）“飛矢在每一個(gè)瞬間都占有一個(gè)特定位置，它在這一瞬間是不動(dòng)的。每個(gè)瞬間都不動(dòng)，無(wú)限個(gè)不動(dòng)的瞬間總和還是不動(dòng)的。所以飛矢不動(dòng)”。

（2）箭的悖論（飛矢不動(dòng)）27

§2悖論的意義數(shù)學(xué)擁有美的內(nèi)容，也存在著“丑”的東西，數(shù)學(xué)悖論就是一種“丑”的表現(xiàn)，追求數(shù)學(xué)美能促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展，同樣地，為了消除它的“丑”也必能推動(dòng)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，數(shù)學(xué)三次危機(jī)的克服對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，就是歷史的事實(shí)?！?悖論的意義28一、數(shù)學(xué)第一次危機(jī)公元前5世紀(jì)左右為古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的興盛時(shí)期，他們認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”。他們發(fā)現(xiàn)并證明了勾股定理。一、數(shù)學(xué)第一次危機(jī)29約公元前400年一個(gè)希臘人，畢氏學(xué)派的弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)了“等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約”。這個(gè)發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時(shí)成為荒謬和違背常識(shí)的事，不僅觸犯了畢氏學(xué)派的信條，而且也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的普遍見(jiàn)解。因此在當(dāng)時(shí)要求人們接受這種“荒謬”、違背常識(shí)的事實(shí)是多么困難的事??！于是也看作是一種悖論。這個(gè)事實(shí)以及芝諾疑難就成為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。危機(jī)的消除：約公元前400年一個(gè)希臘人，畢氏學(xué)派的弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)了“等30二、數(shù)學(xué)第二次危機(jī)在希臘的后期，除了研究直線、折線的長(zhǎng)度、直線形的面積外，還討論過(guò)曲線的長(zhǎng)度和曲線形的面積問(wèn)題。經(jīng)過(guò)中世紀(jì)和文藝復(fù)興，直到十七、八世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)下列問(wèn)題需要處理：①已知路程函數(shù)，求速度以及它的逆問(wèn)題；②求一曲線的切線；③求一函數(shù)的極值。

二、數(shù)學(xué)第二次危機(jī)在希臘的后期，除了研究直線、折線的長(zhǎng)度、直31在研究上述問(wèn)題過(guò)程中逐步產(chǎn)生了微積分，特別是牛頓和萊布尼茨的功績(jī)，使得微積分理論和應(yīng)用得以飛速發(fā)展。但是另一方面，微積分理論卻建立在當(dāng)時(shí)還是含糊不清的無(wú)窮小概念上。比如牛頓的流數(shù)（流數(shù)是指流量生成的速度——變化率）法。在牛頓的流數(shù)法的整個(gè)過(guò)程中，人們到底把自變量的增量看作零還是不看作零？怎么能用它去作除法運(yùn)算呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的項(xiàng)去掉呢？所以在牛頓的這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中存在著邏輯上的自相矛盾。

第八章--數(shù)學(xué)悖論及其意義ppt課件32這樣由于微積分當(dāng)時(shí)缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，英國(guó)在主教貝克萊便對(duì)微積分大肆攻擊：

“既不是有限量，也不是無(wú)窮小，但又不是無(wú)”、“是消失了的量的鬼魂”。貝克萊是出于恐懼當(dāng)時(shí)自然科學(xué)發(fā)展所造成對(duì)宗教信仰的威脅，確也是由于當(dāng)時(shí)的微積分理論缺乏牢固基礎(chǔ)，所以當(dāng)時(shí)的微積分遭到攻擊和非難在所難免。

歷史上，人們就把微積分自誕生以來(lái)數(shù)學(xué)界出現(xiàn)的混亂情形叫做第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，也把貝克萊的攻擊稱為貝克萊悖論。危機(jī)的消除：這樣由于微積分當(dāng)時(shí)缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，英國(guó)在主教貝克萊便對(duì)微33三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)①實(shí)數(shù)理論是微積分的理論基礎(chǔ)；②實(shí)數(shù)理論是建立在集合論的基礎(chǔ)上。③集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。人們對(duì)19世紀(jì)末德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾提出的集合論深信不疑。在1900年于巴黎召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上，法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊宣布：“現(xiàn)在，我們能夠說(shuō)數(shù)學(xué)完全嚴(yán)格性達(dá)到了”。

三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)①實(shí)數(shù)理論是微積分的理論基礎(chǔ)；34可是時(shí)隔三年，卻傳出了驚人的消息：集合論有矛盾