2022-2023學(xué)年河南省商丘重點(diǎn)中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知全集，集合，滿足，，則()

A.B.C.D.

2.命題：，的否定是()

A.，B.，

C.，D.，

3.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，時(shí)，，則()

A.B.C.D.

4.下列函數(shù)中，值域是的函數(shù)是()

A.B.C.D.

5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

6.已知為奇函數(shù)，則()

A.B.C.D.

7.若則()

A.B.C.D.

8.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.若，則下列不等式成立的是()

A.B.C.D.

10.設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是()

A.若，則

B.若，則

C.若，則

D.若且，，則

11.某同學(xué)根據(jù)著名數(shù)學(xué)家牛頓的物體冷卻模型：若物體原來的溫度為單位：，環(huán)境溫度為，單位，物體的溫度冷卻到，單位：需用時(shí)單位：分鐘，推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系為，為正的常數(shù)現(xiàn)有一壺開水放在室溫為的房間里，根據(jù)該同學(xué)推出的函數(shù)關(guān)系研究這壺開水冷卻的情況，則參考數(shù)據(jù)：()

A.函數(shù)關(guān)系也可作為這壺外水的冷卻模型

B.當(dāng)時(shí)，這壺開水冷卻到大約需要分鐘

C.若，則

D.這壺水從冷卻到所需時(shí)間比從冷卻到所需時(shí)間短

12.若函數(shù)同時(shí)滿足：

對于定義域上的任意，恒有；

對于定義域上的任意，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．

下列四個(gè)函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有()

A.B.

C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知：或，：，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是______．

14.若函數(shù)同時(shí)具有下列性質(zhì)：

；

當(dāng)時(shí)，．

請寫出的一個(gè)解析式．

15.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．

16.定義在上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)有______個(gè)零點(diǎn)．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

若二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，最小值為，且．

求的解析式；

若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

18.本小題分

設(shè)，若，求的取值范圍．

19.本小題分

求不等式的解集；

求關(guān)于的不等式的解集，其中．

20.本小題分

設(shè)為實(shí)數(shù)，已知．

若函數(shù)，求的值；

當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)；

若對于一切，不等式恒成立，求的取值范圍．

21.本小題分

已知函數(shù)是偶函數(shù)．

求的值；

若函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．

22.本小題分

已知函數(shù)和．

若存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

當(dāng)函數(shù)和有相同的最小值時(shí)，求．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因?yàn)槿希瑵M足，，

則；；

故A；

故選：．

先求出，進(jìn)而求得結(jié)論．

本題考查補(bǔ)集、交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意補(bǔ)集、交集的定義的合理運(yùn)用．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了含有量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．

利用含有一個(gè)量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，求解即可．

【解答】

解：由含有一個(gè)量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，

可得命題：，的否定是：，．

故選A．

3.【答案】

【解析】解：，由于是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，

所以．

故選：．

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：的值域?yàn)?；的值域?yàn)?；的值域?yàn)?；，的值域?yàn)椋?/p>

故選：．

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和的值域求每個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的值域即可．

本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和的值域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：設(shè)，對稱軸為，拋物線開口向上，

是的增函數(shù)，

要使在區(qū)間單調(diào)遞減，

則在區(qū)間單調(diào)遞減，

即，即，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

故選：．

利用換元法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由于函數(shù)為奇函數(shù)，

則，

即，

解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．

故選：．

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，，由此可得的值．

本題考查奇函數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：令，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，

即．

故選：．

令，則，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可得出．

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

8.【答案】

【解析】解：令，

當(dāng)時(shí)，，易知在上單調(diào)遞增，

由于，，

由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得；

當(dāng)時(shí)，，

則，解得，，

作出、、、的圖象，如圖所示：

由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；

直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；

直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；

綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．

故選：．

令，根據(jù)、分別求出函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間，再作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求出函數(shù)的零點(diǎn)．

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于：當(dāng)時(shí)，，成立；

對于：當(dāng)時(shí)，，不成立；

對于：當(dāng)時(shí)，，即，成立；

對于：，，，，即，不成立．

故選：．

利用不等式的性質(zhì)判斷，利用作差法判斷．

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：若，則，所以，故A正確；

若，則，所以，故B不正確；

若，則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；

設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，

若，且，，則，故D正確．

故選：．

根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤，根據(jù)基本不等式即可判斷C正確，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)D正確，

本題考查了不等式的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：對于：，則，

，整理得，故A錯(cuò)誤；

對于：由題意得，

則當(dāng)時(shí)，，故B正確；

對于：，

，解得，

，故C正確；

對于：設(shè)這壺水從冷卻到所需時(shí)間為分鐘，

則，

設(shè)這壺水從冷卻到所需時(shí)間為分鐘，

則，

，

，故D正確．

故選：．

根據(jù)函數(shù)，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案．

本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查函數(shù)思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的判斷，熟練掌握基本初等函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

由已知新定義知，函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，結(jié)合各選項(xiàng)分別檢驗(yàn)即可判斷．

【解答】

解：對于定義域上的任意，恒有，則為奇函數(shù)；

對于定義域上的任意，，當(dāng)時(shí)，恒有，則單調(diào)遞減，

選項(xiàng)，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

選項(xiàng)為奇函數(shù)且為減函數(shù)，所以選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)為增函數(shù)，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；

選項(xiàng)，通過圖像可以發(fā)現(xiàn)為奇函數(shù)且為減函數(shù)，所以選項(xiàng)正確

故選：．

13.【答案】

【解析】解：條件：或，條件：，

且是的充分而不必要條件

集合是集合的真子集，

即，

故答案為：．

把充分性問題，轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系求解．

本題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用、充分條件及必要條件的含義．

14.【答案】答案不唯一

【解析】

【分析】

本題主要考查求函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題．

直接由已知函數(shù)的性質(zhì)，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，從而求出函數(shù)解析式．

【解答】

解：根據(jù)；

當(dāng)時(shí)，．

所以滿足的函數(shù)關(guān)系式為．

故答案為：，答案不唯一．

15.【答案】

【解析】解：根據(jù)冪函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

且滿足，

函數(shù)為偶函數(shù)．

又由冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

根據(jù)不等式，可得，解得或且．

實(shí)數(shù)的取值范圍．

故答案為：．

由冪函數(shù)的定義域與單調(diào)性即可解出不等式．

本題主要考查冪函數(shù)的定義域與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，

所以是以為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以的圖象如圖所示，

由，得，

所以將問題轉(zhuǎn)化為的圖象與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

因?yàn)?，?/p>

，，

所以的圖象與的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，

所以有個(gè)零點(diǎn)，

故答案為：．

由題意可得的周期為，畫出的圖象，由，得，所以將問題轉(zhuǎn)化為的圖象與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖象可得答案．

本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：由為二次函數(shù)，可設(shè)，

圖象的對稱軸為，最小值為，且，

，，

．

，即在上恒成立，

又當(dāng)時(shí)，有最小值，

，

實(shí)數(shù)的取值范圍為．

【解析】根據(jù)已知條件列方程組來求得，，，也即求得．

由分離常數(shù)，進(jìn)而求得的取值范圍．

本題主要考查函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：，

，，．

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，，滿足題意；

當(dāng)集合中只有一個(gè)元素時(shí)，，

此時(shí)，滿足題意；

當(dāng)集合中有兩個(gè)元素時(shí)，

；

綜上的取值范圍或．

【解析】本題考查了交集的定義及其運(yùn)算，考查了分類討論思想，熟練掌握分類討論解答問題的步驟是解題的關(guān)鍵．

由，得，先求得集合，利用分類討論方法分別求得集合，集合中只有一個(gè)元素和集合中有兩個(gè)元素時(shí)的范圍，再綜合．

19.【答案】解：可化為，即，

解得或，

所以不等式的解集為或；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，

當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不等式的解集為，

當(dāng)時(shí)，不等式可化為，

當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為，

當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為或，

當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為或，

綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或，

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或．

【解析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解不等式即可；

分類討論的范圍解不等式即可．

本題主要考查了分式不等式及含參二次不等式的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

20.【答案】解：，

，可得，解得．

證明：．

，

當(dāng)時(shí)，解析式可化簡為：，

設(shè)，是上任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，則有

，

因?yàn)?，，所以?/p>

因此有，即，所以函數(shù)是上的遞增函數(shù)；

解：當(dāng)時(shí)，而，所以，

因?yàn)?，所以有，即?/p>

化為在恒成立，

設(shè)，

對稱軸為：，，，故在上是增函數(shù)，要想恒成立，

只需該不等式恒成立，故；

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，要想在上恒成立，只需這與矛盾，故不成立；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由可知函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以函數(shù)在時(shí)，最小值為，

要想在上恒成立，只需，而，所以，

綜上所述：的取值范圍為：．

【解析】利用函數(shù)的解析式求解即可．

化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明即可．

推出，設(shè)，說明在上是增函數(shù)，要想恒成立，

只需恒成立，然后轉(zhuǎn)化求解即可．

本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．

21.【答案】解：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，

所以，

所以，

即，

得對任意實(shí)數(shù)恒成立，

所以，解得；

由題意，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則方程只有一解，

即，

即有且只有一個(gè)實(shí)根，

令，則，

所以方程有且只有一個(gè)正實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，舍去；

當(dāng)時(shí)，若判別式，則，

即，解得或，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，舍去；

當(dāng)時(shí)，，滿足條件；

若，即，解得或，

則方程的兩根異號，

所以，即，

所以；

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【解析】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)圖象的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想和運(yùn)算求解能力．

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程進(jìn)行求解．

根據(jù)函數(shù)和的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，可得方程只有一解，利用換元法，令，可得方程有且只有一個(gè)正實(shí)根，對的范圍進(jìn)行分類討論，即可求出結(jié)果．

22.【答案】解：因?yàn)椋裕?/p>

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，

，所以在存在唯一零點(diǎn)，

所以在存在唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，所以在無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

所以，