高等數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)題模擬試卷和答案

高等數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)題模擬試卷和答案高等數(shù)學(xué)試卷A一．填空題（每空3分，共21分）1、以點(diǎn)A（2，-1，-2）、B(0，2，1)、C(2，3，0)為頂點(diǎn)，做平行四邊形ABCD，此平行四邊形的面積等于（請(qǐng)自行計(jì)算）。2．已知函數(shù)z=ex^2+y^2，則dz=2ex^2+y^2dx+2yex^2+y^2dy。3．2ds=∫(1,-1,x+y=1)√(1+(?z/?x)^2+(?z/?y)^2)dxdy，其中z=√(1+x^2+y^2)。4．設(shè)L為上點(diǎn)到x^2+y^2=4的上半弧段，則∫L(y^2-x^2)ds=-4/3∫π/2^0(cos^3θ-sin^3θ)dθ。5．交換積分順序∫0^1dx∫x^2^√(1-x^2)dy=∫0^1y∫y^2^1√(1-x^2)dxdy。6．級(jí)數(shù)∑(n=1)∞(n/(n^2+1)^2)是絕對(duì)收斂。7．微分方程y'=sinx的通解為y=-cosx+C。二．選擇題（每空3分，共15分）1．函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分存在是f(x,y)在該點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件。2．平面π1:x+2y+z+1=0與π2:2x+y-z+2=0的夾角為arccos(3/√42)。3．冪級(jí)數(shù)∑n=1∞(x-5)^n/n^3的收斂域?yàn)閇4,6)。4．設(shè)y1(x),y2(x)是微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的兩特解且y2(x)≠cy1(x)，則通解為y=c1y1(x)+c2y2(x)。5．Ω在直角坐標(biāo)系下化為三次積分∫0^3dx∫0^3dy∫0^(3-x)zdz。三．計(jì)算下列各題（共21分，每題7分）1、已知?z/?x=1/(xlnz+ye^(-xy))，?z/?y=x^(-1)/(lnz-xye^(-xy))，求通過點(diǎn)(1,-2,3)且平行于向量(1,3,2)的直線方程。2、求過點(diǎn)(1,-2,3)且平行于直線x-1=y+2=z/3的平面方程。3、利用極坐標(biāo)計(jì)算?D(2x+2y)dA，其中D為第一象限的區(qū)域。1.利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中L為圓域D：x^2+y^2≤4的邊界曲線，取逆時(shí)針方向。解：根據(jù)格林公式，有∮LPdx+Qdy=?D(Qx-Py)dxdy其中P=2x^2(y+e),Q=2xy+5x+siny。因?yàn)镈為圓域，可以使用極坐標(biāo)系，即x=r*cosθ,y=r*sinθ。則有Qx-Py=(2r*cosθ)(2r*sinθ+5r*cosθ+sinθ)-2r^2*cosθ*(sinθ+e)=r(4sinθcosθ+10cos^2θ+sinθcosθ-2sinθe)因?yàn)長(zhǎng)取逆時(shí)針方向，所以θ的范圍為0到2π。因此，曲線積分可以化為二重積分，即∮LPdx+Qdy=?D(Qx-Py)dxdy=∫0^2π∫0^2(4sinθcosθ+10cos^2θ+sinθcosθ-2sinθe)rdrdθ=-4π所以，曲線積分的值為-4π。2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1)∑(-1)^(n-1)/(n^2)(2)∑n^3/(3^n)解：(1)根據(jù)萊布尼茨判別法，該級(jí)數(shù)為交替級(jí)數(shù)，且每一項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞減趨于0，因此該級(jí)數(shù)收斂。(2)根據(jù)比值判別法，有l(wèi)im(n+1)^3/(3^(n+1))*3^n/n^3=lim(n+1)^3/27n^3=1/27因?yàn)樵摌O限小于1，所以級(jí)數(shù)收斂。3.求解下列各題：(1)求函數(shù)f(x,y)=x^3-y^2-3x+3y+1的極值。解：求偏導(dǎo)數(shù)得fx=3x^2-3,fy=-2+3=1令fx=fy=0，解得x=±1，y=1。又因?yàn)閒xx=6x=±6，fyy=2>0，fxy=0，因此當(dāng)x=-1時(shí)，f(x,y)取極大值；當(dāng)x=1時(shí)，f(x,y)取極小值。(2)求微分方程dy/dx+y=e^-x的通解。解：該微分方程為一階線性非齊次微分方程，先求其齊次方程dy/dx+y=0的通解。設(shè)y=e^(mx)，代入齊次方程得m=-1，因此齊次方程的通解為y=c*e^(-x)。再求非齊次方程的特解。設(shè)y*=A*e^(-x)，代入非齊次方程得A=1，因此非齊次方程的一個(gè)特解為y*=e^(-x)。因此，該微分方程的通解為y=c*e^(-x)+e^(-x)。(3)求微分方程y''+2y'-8y=2e^x的通解。解：先求齊次方程y''+2y'-8y=0的通解。設(shè)y=e^(mx)，代入齊次方程得m^2+2m-8=0，解得m=-4或m=2。因此，齊次方程的通解為y=c1*e^(-4x)+c2*e^(2x)。再求非齊次方程的特解。設(shè)y*=Ae^x，代入非齊次方程得A=1/5，因此非齊次方程的一個(gè)特解為y*=1/5*e^x。因此，該微分方程的通解為y=c1*e^(-4x)+c2*e^(2x)+1/5*e^x。三．求解下列微分方程1.解：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)分離變量，得到$$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x^3}{y^2\ln(3x-4y)+(3x-4y)y^2\frac{\partialv}{\partialx}},\\frac{\partialz}{\partialy}=-\frac{2x^2}{y^3\ln(3x-4y)-(3x-4y)y^2\frac{\partialv}{\partialy}}$$2.解：根據(jù)極限的定義，得到$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)2^{n+1}}{3^n}=2>1$$因此，級(jí)數(shù)發(fā)散。3.解：根據(jù)極坐標(biāo)系下的面積元素，得到$$\iint\limits_De^{x^2+y^2}\mathrmak6ouyex\mathrm00icswsy=\int_0^{2\pi}\mathrmewi8ii6\theta\int_0^1e^{r^2}r\mathrm444q8wwr=\pi(e-1)$$四．計(jì)算下列各題1.解：根據(jù)換元積分法和分部積分法，得到$$y=e^{-\int\frac{1}{x}\mathrmcwcu08ox}\left[\int\left(\int\frac{1}{x}\mathrm2auwakox\right)e^{-\int\frac{1}{x}\mathrma8woimqx}\mathrmc8cs2cmx+C\right]=x\left[\frac{1}{2}(\lnx)^2+C\right]$$2.解：根據(jù)換元積分法，得到$$\iint\limits_D(x+y)\mathrmeqkmgiex\mathrms68me8cy=\int_0^1\mathrmaui8kwox\int_{\frac{131}{2x}}^{\frac{10}{x}}(x+y)\mathrmoco4iwsy=10$$3.解：根據(jù)二階偏導(dǎo)數(shù)判定法，得到$$\begin{cases}A=-2\\B=0\\C=12\end{cases},\AC-B^2=-24<0$$因此，點(diǎn)$(3,2)$不是極值點(diǎn)；$$\begin{cases}A=-2\\B=0\\C=-12\end{cases},\AC-B^2=24>0,\A<0$$因此，點(diǎn)$(3,-2)$是極大值點(diǎn)，極大值為$f(3,