2021年河北省石家莊市河北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021年河北省石家莊市河北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)（a∈R），若函數(shù)y=|f（x）|﹣a有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣2 B．a(chǎn)＞2 C．0＜a＜1 D．1≤a＜2參考答案：B【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】作出|f（x）|的函數(shù)圖象，根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)判斷a的范圍．【解答】解：（1）若a＜0，|f（x）|≥0，顯然|f（x）|=a無解，不符合題意；（2）若a=0，則|f（x）|=0的解為x=1，不符合題意；（3）若a＞0，作出y=|f（x）|的哈數(shù)圖象如圖所示：∵|f（x）|=a有三個解，∴a＞2，故選B．2.在鈍角△ABC中，c=，b=1，B=，則△ABC的面積等于（）A． B． C．或 D．或參考答案：B【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinC，結(jié)合C范圍，可求C的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】解：∵c=，b=1，B=，∴sinC===，又∵C∈（0，π），∴C=或，又∵△ABC為鈍角三角形，∴S△ABC=bcsinA=．故選：B．3.一個樣本容量為8的樣本數(shù)據(jù)，它們按一定順序排列可以構(gòu)成一個公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3=5，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：C【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】設(shè)公差為d，則（5﹣d）2=（5﹣2d）×（5+2d），由公差d不為0，解得d=2，a1=5﹣2d=1，由此能求出此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【解答】解：一個樣本容量為8的樣本數(shù)據(jù)，它們按一定順序排列可以構(gòu)成一個公差不為0的等差數(shù)列{an}，a3=5，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，設(shè)公差為d，則，即（5﹣d）2=（5﹣2d）×（5+2d），又公差d不為0，解得d=2，a1=5﹣2d=1，∴此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：==8．故答案為：8．4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是

A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，e)

D．(3，4)參考答案：B5.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意有，則（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：B6.銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用余弦定理、正弦定理邊角互化思想、兩角差的正弦公式，并結(jié)合條件得出，根據(jù)為銳角三角形得出角的取值范圍，可得出的取值范圍.【詳解】，即，化簡得.由正弦定理邊角互化思想得，即，所以，，，，，，，，是銳角三角形，且，所以，解得，則，所以，，因此，的取值范圍是，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，同時(shí)也考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7.過點(diǎn)作圓的兩條切線，，為切點(diǎn)，則（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：D設(shè)切線斜率為，則切線方程為，即，圓心到直線的距離，即，所以，，,所以，選D8.已知集合A={x|2﹣3x﹣2x2＞0}，B={x|y=ln（x2﹣1）}，則A∩B=（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣1，） D．（﹣2，﹣1）∪（l，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出A中不等式的解集確定集合A，求出B中x的范圍確定集合B，計(jì)算A、B的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x+2）（2x﹣1）＜0，解得：﹣2＜x＜，即A=（﹣2，）；由B中y=ln（x2﹣1），得到x2﹣1＞0，即x＜﹣1，x＞1∴B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）則A∩B=（﹣2，﹣1）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．9.復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)等于(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則下列關(guān)系一定不成立的是（）A．a(chǎn)=c B．b=c C．2a=c D．a(chǎn)2+b2=c2參考答案：B【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosA，將已知第一個等式代入求出cosA的值，確定出A度數(shù)，再利用正弦定理化簡第二個等式，求出sinB的值，確定出B的度數(shù)，進(jìn)而求出C的度數(shù)，確定出三角形ABC形狀，即可做出判斷．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=30°，由正弦定理化簡b=a，得到sinB=sinA=，∴B=60°或120°，當(dāng)B=60°時(shí)，C=90°，此時(shí)△ABC為直角三角形，得到a2+b2=c2，2a=c；當(dāng)B=120°時(shí)，C=30°，此時(shí)△ABC為等腰三角形，得到a=c，綜上，b=c不一定成立，故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形與等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，，給出下列結(jié)論：①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋虎诤瘮?shù)g(x)在[0，1]上是增函數(shù)；③對任意a〉0，方程f(x)=g(x)在[0，1]內(nèi)恒有解；④若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的番號是__________.參考答案：略12.平面直角坐標(biāo)系xoy中，不等式所表示的區(qū)域的面積為

．參考答案：13.若曲線f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a＞0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】由曲線f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y軸的切線，故f′（x）=0有實(shí)數(shù)解，運(yùn)用參數(shù)分離，根據(jù)函數(shù)的定義域即可解出a的取值范圍．【解答】解：∵曲線f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y軸的切線，（x＞0）∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解，∵x＞0，∴＞0，即a＞0．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞0．故答案為：a＞0．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)零點(diǎn)等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．14.雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的夾角的正切值等于參考答案：略15.F為橢圓

的一個焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A使為正三角形，那么橢圓的離心率為

參考答案：略16.設(shè)函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則__________.參考答案：2由函數(shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù)知，，從而，令，可得，可得，故2。17.已知圓的方程（x﹣2）2+y2=1，過圓外一點(diǎn)P（3，4）作一條直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，那么=

．參考答案：16【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】求出圓心為（2，0），半徑r=1，圓與x軸交于（1，0），C（3，0），從而PC與圓相切，且||=4，由此利用切割線定理能求出的值．【解答】解：∵圓的方程（x﹣2）2+y2=1，∴圓心為（2，0），半徑r=1，∴圓與x軸交于（1，0），C（3，0），過圓外一點(diǎn)P（3，4）作一條直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則PC與圓相切，且||=4，由切割線定理得：==42=16，故答案為：16．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，PC⊥底面ABCD，E為PB上一點(diǎn)，G為PO中點(diǎn).（1）若PD∥平面ACE，求證：E為PB的中點(diǎn)；（2）若，求證：CG⊥平面PBD.參考答案：（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，又為中點(diǎn)，可證得結(jié)論；（2）利用線面垂直的性質(zhì)可知，正方形可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)可知，根據(jù)等腰三角形三線合一可知，根據(jù)線面垂直判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）連接，由四邊形是正方形知，為中點(diǎn)平面，面，面面為中點(diǎn)

為的中點(diǎn)（2）在四棱錐中，四邊形是正方形

為中點(diǎn)

又底面，底面

而四邊形是正方形

平面，

平面又平面

平面，平面【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的證明問題，涉及到線面平行性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于常規(guī)題型.

19.

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．

（1）求曲線C的普通方程；

（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l方程為，已知直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．參考答案：（1）由已知，由，消去得：普通方程為，化簡得（5分）（2）由sin(-)+=0知，化為普通方程為x-y+=0圓心到直線的距離=，由垂徑定理（10分）20.（本小題滿分14分）已知橢圓：（）的離心率，左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為定點(diǎn)，當(dāng)△的面積最大時(shí)，求l的方程.參考答案：見解析考點(diǎn)：圓錐曲線綜合，橢圓（Ⅰ）由得：，①

由得，②

由①②得：，，，

橢圓的方程為．

（Ⅱ）過右焦點(diǎn)斜率為的直線：，

聯(lián)立方程組：

消元得：

設(shè)交點(diǎn)

則，

點(diǎn)到直線的距離，

所以△的面積

令，則，

記，單調(diào)遞增，

，所以最大值為，

此時(shí)，，l的方程：．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)=(sinωx+cosωx)2+(sin2ωx?cos2ωx),(ω>0)的最小正周期為π。（1）求ω的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角ΔABC中，角ABC所對的邊分別為abc，f(A)=+1，a=2，且b+c=4，求ΔABC的面積．參考答案：(1),單調(diào)遞增區(qū)間為；(2).試題分析：(1)將平方展開，得用二倍角公式進(jìn)行平方降次，再利用兩角和與差的正弦公式化為一個三角函數(shù)得用三角函數(shù)性質(zhì)求之即可；(2)由,可求得，由余弦定理可求得，