利用兩點之間線段最短課件

1、如圖，在一個廣場上的點A和點B處，分別有一只小狗和一塊骨頭，小狗想要最快吃到骨頭，它應該沿哪條路線跑？①②③BA依據(jù)是___________________兩點之間,線段最短1、如圖，在一個廣場上的點A和點B處，分別有一只12、直線l是一條公路，公路的兩側(cè)有C、D兩個村子，現(xiàn)在想在公路邊建一個車站，使這兩個村子的人到車站的路線之和最短.車站應建在什么位置，請畫一畫．lCD依據(jù)是___________________兩點之間,線段最短P2、直線l是一條公路，公路的兩側(cè)有C、D兩個村子，現(xiàn)23、爺爺要從A處的家中出發(fā)到河邊l去釣魚，他怎樣走路程最短？請把最近的路線畫出來．Al依據(jù)是___________________垂線段最短P3、爺爺要從A處的家中出發(fā)到河邊l去釣魚，他怎樣走路程最3AlP①②③BAlCDP實際問題求A、B的最短路線.數(shù)學問題在l上取一點P，使PC+PD最短.在l上取一點P，使PA最短轉(zhuǎn)化AlP①②③BAlCDP實際問題求A、B的最短路線.數(shù)學問題4lCDP13.4課題學習lCDP13.4課題學習5線段公理：兩點之間，線段最短垂線段性質(zhì)：

垂線段最短AB最短路徑問題BAl整理舊知，內(nèi)化己有線段公理：垂線段性質(zhì)：AB最短BAl整理舊知，內(nèi)化己有6ABl遷移舊知，解決新疑問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路徑最短？精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題，這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？ABl遷移舊知，解決新疑問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞7lABCC在直線l上取一點C，使AC+BC最短？ABl轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題lABCC在直線l上取一點C，使AC+BC最短？ABl轉(zhuǎn)8（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？（2）我們能否把A、B兩點轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？轉(zhuǎn)化需要遵循的原則是什么？（3）利用什么知識可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標？lCDPlABC遷移舊知，解決新疑（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？lCDPlABC9lABCB′如下左圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′.當點C在直線l的什么位置時，AC+CB′最?。咳缟嫌覉D,在連接AB′兩點的線中,線段AB′最短.因此,線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求lABCB′

lABCB′如下左圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′.10在直線l上任取另一點P

，∴AC+CB=AC+CB′=AB′lABCB′P證明：如圖.你能用所學的知識證明AC+CB最短嗎？∵直線l是點B、B′的對稱軸，∴CB=CB′連接AP、PB、PB′則PB=PB′∴AP+PB=AP+PB′在△AB′P中，AB′<AP+PB′，∴AC+CB<AP+PB，即AC+BC最?。谥本€l上任取另一點P，∴AC+CB=AC+CB′=A11問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題ABl問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學問題用舊121.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB邊上的中點，點E是BC邊上的動點，請問點E在BC的什么位置,可使AE+DE的值最小.新知運用DABC1.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB邊上的132.如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上的一點，點P是對角線AC上一動點，請問點P在什么位置,可使EP+BP的值最小.你能找到嗎?新知運用--考點鏈接ABCDE2.如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上的一點，點P是143.如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄.請你幫他畫出這一天的最短路線.草地小河A課堂練習3.如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊15已知：如圖，在l1、l2之間有一點A.求作：分別在l1、l2上確定一點M、N，使AM+MN+NA最小.l1l2AMN已知：如圖，在l1、l2之間有一點A.求作：分別在l1、l216l1l2如圖，作點A關(guān)于l1和l2的對稱點A1、A2，連接A1A2，交l1于M點，交l2于N點.連接AM和AN，則AM+MN+NA最小.因此，那天這樣走路線最短.MNA1AA2l1l2如圖，作點A關(guān)于l1和l2的對稱點A17書P93第15題4.如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑。ABMNlA’B’PQAPQB為最短路線書P93第15題4.如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處18問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題嗎？問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河19如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？分析：aBAbMN由于河寬是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，20lABCaBAbMNA'如左圖，如果將點A沿與河岸垂直的方向平移到點A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問題轉(zhuǎn)化為：當點N在直線b的什么位置時，A′N+NB最??？參考右圖，利用“兩點之間，線段最短”可以解決.lABCaBAbMNA'如左圖，如果將點A沿21如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA22另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.證明：aBAbMNA'N′M′另任意造橋M′N′，由平移性質(zhì)可知，∴AM+MN+BN＝AA23問題2歸納抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題lABC問題2歸納抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實lA24小結(jié)歸納lABCl