函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式課件

第五節(jié)兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)第十三章第五節(jié)兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開本節(jié)內(nèi)容:一、泰1一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)

其中(在x與x0之間)稱為拉格朗日余項(xiàng).則在復(fù)習(xí):

f(x)的n階泰勒公式若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),該鄰域內(nèi)有:一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)其中(在x2為f(x)

的泰勒級(jí)數(shù).則稱當(dāng)x0=0時(shí),泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù).1)對此級(jí)數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),為f(x)的泰勒級(jí)數(shù).則稱當(dāng)x0=0時(shí),泰勒3函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式ppt課件4函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式ppt課件5函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式ppt課件6定理1

.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式余項(xiàng)滿足:證明:令設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)具有定理1.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒7定理2.若f(x)能展成x的冪級(jí)數(shù),唯一的,且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證:

設(shè)f(x)所展成的冪級(jí)數(shù)為則顯然結(jié)論成立.則這種展開式是定理2.若f(x)能展成x的冪級(jí)數(shù),唯一的,且8二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

1.直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級(jí)數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級(jí)數(shù)展開式0.的函數(shù)展開二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1.直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,9函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式ppt課件10例1.

將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù).解:

其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項(xiàng)滿足(在0與x之間)故得級(jí)數(shù)例1.將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù).解:其收斂半徑為對11對任何實(shí)數(shù)x,都有對任何實(shí)數(shù)x,都有12例2.

將展開成x的冪級(jí)數(shù).解:

得級(jí)數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)x,其余項(xiàng)滿足例2.將展開成x的冪級(jí)數(shù).解:得級(jí)數(shù):其收斂半徑為13函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式ppt課件14對上式兩邊求導(dǎo)可推出:對上式兩邊求導(dǎo)可推出:15例3.

將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù),其中m為任意常數(shù).解:易求出于是得級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對任意常數(shù)m,例3.將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù),其中m為任意常數(shù).16推導(dǎo)推導(dǎo)則為避免研究余項(xiàng),設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為推導(dǎo)推導(dǎo)則為避免研究余項(xiàng),設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為17稱為二項(xiàng)展開式.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m有關(guān).(2)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí),級(jí)數(shù)為x的m次多項(xiàng)式,上式就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.由此得稱為二項(xiàng)展開式.說明：(1)在x＝±1處的收斂性與18論如下:

對于收斂區(qū)間端點(diǎn)的情形,與的取值有關(guān),其結(jié)論如下:對于收斂區(qū)間端點(diǎn)的情形,與的取值有19對應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為對應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為20例3附注例3附注21函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式ppt課件22利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4.將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù).解:因?yàn)榘褁

換成,得將所給函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4.將函數(shù)23例5.

將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù).解:從0到x積分,得定義且連續(xù),域?yàn)槔么祟}可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在x＝1收斂,所以展開式對x＝1也是成立的,于是收斂例5.將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù).解:從0到x積24例6.

將展成解:

的冪級(jí)數(shù).例6.將展成解:的冪級(jí)數(shù).25函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式ppt課件26-11-2-112-11-2-11227例7.

將展成x－1的冪級(jí)數(shù).解:

例7.將展成x－1的冪級(jí)數(shù).解:28函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式ppt課件29內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開2.常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式式的函數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰30當(dāng)m=–1時(shí)當(dāng)m=–1時(shí)31思考與練習(xí)1.函數(shù)處“有泰勒級(jí)數(shù)”與“能展成泰勒級(jí)數(shù)”有何不同?提示:后者必需證明前者無此要求.2.如何求的冪級(jí)數(shù)?提示:思考與練習(xí)1.函數(shù)處“有泰勒級(jí)數(shù)”與“能展成泰勒級(jí)數(shù)32備用題1.將下列函