第11講：全稱命題與特稱命題講義 高三藝考數(shù)學一輪復習

第11講：全稱命題與特稱命題【課型】復習課【教學目標】1.了解全稱量詞和存在量詞的概念2.掌握全稱命題與特稱命題的形成、否定及真假判斷【預習清單】【基礎(chǔ)知識梳理】1.全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等存在量詞存在一個、至少有一個、有些、某些等2.全稱命題與特稱命題命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡記全稱命題對M中任意一個x，有p(x)成立對任意的x∈M，p(x)特稱命題存在M中的元素x，使p(x)成立存在x∈M，p(x)3.全稱命題與特稱命題的否定命題命題的否定對任意的x∈M，p(x)存在x∈M，﹁p(x)存在x∈M，p(x)對任意的x∈M，﹁p(x)否定兩步走：一改量詞，二否定結(jié)論。4．一些常用的正面敘述的詞語及它們的否定詞語表：正面詞語等于(＝)大于(＞)小于(＜)是都是否定詞語不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面詞語至多有一個至少有一個任意的所有的一定否定詞語至少有兩個一個也沒有某個某些不一定【引導清單】考向一：全稱命題、特稱命題的否定例1：(1)已知命題p：存在的x∈R，2x－x2≥1，則﹁p為(2)命題p：對任意的x∈(0，＋∞)，，則﹁p為【解析】(1)特稱命題的否定是全稱命題，所以﹁p：對于任意x∈R，2x－x2＜1.(2)由全稱命題的否定為特稱命題知，﹁p為存在x∈(0，＋∞)，，考向二：全稱命題、特稱命題的真假判斷例2：(1)下列命題中的假命題是()A．對任意的x∈R，x2≥0B．對任意的x∈R，2x－1＞0C．存在x∈R，lgx＜1D．存在x∈R，sinx＋cosx＝2(2)下列命題中的假命題是()A．對任意的x∈R，ex＞0 B．對任意的x∈N，x2＞0C．存在x∈R，lnx＜1 D．存在x∈N＋，sineq\f(π,2)x＝1【解析】(1)A顯然正確；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知2x－1＞0恒成立，所以B正確；當0＜x＜10時，lgx＜1，所以C正確；因為sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以－eq\r(2)≤sinx＋cosx≤eq\r(2)，所以D錯誤．(2)對于B.當x＝0時，x2＝0，因此B中命題是假命題．考向三：由命題的真假確定參數(shù)的取值范圍例3：若命題“存在t∈R，t2－2t－a<0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是______．【解析】因為命題“存在t∈R，t2－2t－a<0”為假命題，所以命題“對任意的t∈R，t2－2t－a≥0”為真命題，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.【訓練清單】【變式訓練1】（1）下列命題正確的是()A．存在x∈R，x2＋2x＋3＝0B．x>1是x2>1的充分不必要條件C．對任意的x∈N，x3>x2D．若a>b，則a2>b2（2）已知f(x)＝sinx－x，命題p：存在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，則命題p是命題（填真假）；﹁p為【解析】(1對于x2＋2x＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程無實根，即存在x∈R，x2＋2x0＋3＝0錯誤，即A錯誤；x2>1?x<－1或x>1，故x>1是x2>1的充分不必要條件，故B正確；當x≤1時，x3≤x2，故對任意的x∈N，x3>x2錯誤，即C錯誤；若a＝1，b＝－1，則a>b，但a2＝b2，故D錯誤．故選B.（2）易知f′(x)＝cosx－1<0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是減函數(shù)，因為f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命題p：存在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0是真命題，﹁p：對任意的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0.【變式訓練2】若p：對任意的x∈R，ax2＋4x＋1>0是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案：(－∞，4]【鞏固清單】1.下列命題中，真命題是(D)A．?x∈R，x2>0B．?x∈R，－1<sinx<1C．?x0∈R，2x0<0D．?x0∈R，tanx0＝2【解析】?x∈R，x2≥0，故A錯．?x∈R，－1≤sinx≤1，故B錯．由y＝2x的圖象可知?x∈R，2x>0，故C錯．D正確．2．下列命題是真命題的是()A．所有的素數(shù)都是奇數(shù)B．?x∈R，x2＋1≥0C．對于每一個無理數(shù)x，x2是有理數(shù)D．?x∈Z，eq\f(1,x)?Z【解析】對于A，2是素數(shù)，但2不是奇數(shù)，A假；對于B，?x∈R，總有x2≥0，則x2＋1≥0恒成立，B真；對于C，eq\r(π)是無理數(shù)，(eq\r(π))2＝π還是無理數(shù)，C假；對于D，1∈Z，但eq\f(1,1)＝1∈Z，D假，故選B.3.命題“函數(shù)y＝f(x)(x∈M)是偶函數(shù)”的否定可表示為()A．?x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．?x∈M，f(－x)≠f(x)C．?x∈M，f(－x)＝f(x)D．?x0∈M，f(－x0)＝f(x0)【解析】由偶函數(shù)的定義及命題“函數(shù)y＝f(x)(x∈M)是偶函數(shù)”，可知“?x∈M，f(－x)＝f(x)”，該命題是一個全稱命題，其否定是一個特稱命題，即“?x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．4．命題“對任意的x＞0，eq\f(x,x－1)＞0”的否定是()A．存在x＜0，eq\f(x,x－1)≤0B．存在x＞0，0≤x≤1C．對任意的x＞0，eq\f(x,x－1)≤0D．對任意的x＜0，0≤x≤1【解析】因為eq\f(x,x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，所以eq\f(x,x－1)＞0的否定是0≤x≤1，所以命題的否定是存在x＞0，0≤x≤1，故選B.5．已知命題p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函數(shù)，則﹁p為【解析】﹁p為“對任意的m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)”．6．命題p的否定是“對所有正數(shù)x，eq\r(x)>x＋1”，則命題p可寫為____________________．【解析】存在x∈(0，＋∞)，eq\r(x)≤x＋17.已知命題p：?x>0，總有(x＋1)ex>1，則p為【解析】p為“?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1”8．命題p：?x∈N，x2>x3的否定是【解析】因為命題?x∈M，p(x)的否定是?x0∈M，?p(x0).9.已知命題p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0，則p是（填真假），?p為【解析】因為3x>0，所以3x＋1>1，則log2(3x＋1)>0，所以p是假命題；?p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.10.已知命題“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq