第11講：全稱命題與特稱命題講義 高三藝考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第11講：全稱命題與特稱命題【課型】復(fù)習(xí)課【教學(xué)目標(biāo)】1.了解全稱量詞和存在量詞的概念2.掌握全稱命題與特稱命題的形成、否定及真假判斷【預(yù)習(xí)清單】【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】1.全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有些、某些等2.全稱命題與特稱命題命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡(jiǎn)記全稱命題對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立對(duì)任意的x∈M，p(x)特稱命題存在M中的元素x，使p(x)成立存在x∈M，p(x)3.全稱命題與特稱命題的否定命題命題的否定對(duì)任意的x∈M，p(x)存在x∈M，﹁p(x)存在x∈M，p(x)對(duì)任意的x∈M，﹁p(x)否定兩步走：一改量詞，二否定結(jié)論。4．一些常用的正面敘述的詞語及它們的否定詞語表：正面詞語等于(＝)大于(＞)小于(＜)是都是否定詞語不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面詞語至多有一個(gè)至少有一個(gè)任意的所有的一定否定詞語至少有兩個(gè)一個(gè)也沒有某個(gè)某些不一定【引導(dǎo)清單】考向一：全稱命題、特稱命題的否定例1：(1)已知命題p：存在的x∈R，2x－x2≥1，則﹁p為(2)命題p：對(duì)任意的x∈(0，＋∞)，，則﹁p為【解析】(1)特稱命題的否定是全稱命題，所以﹁p：對(duì)于任意x∈R，2x－x2＜1.(2)由全稱命題的否定為特稱命題知，﹁p為存在x∈(0，＋∞)，，考向二：全稱命題、特稱命題的真假判斷例2：(1)下列命題中的假命題是()A．對(duì)任意的x∈R，x2≥0B．對(duì)任意的x∈R，2x－1＞0C．存在x∈R，lgx＜1D．存在x∈R，sinx＋cosx＝2(2)下列命題中的假命題是()A．對(duì)任意的x∈R，ex＞0 B．對(duì)任意的x∈N，x2＞0C．存在x∈R，lnx＜1 D．存在x∈N＋，sineq\f(π,2)x＝1【解析】(1)A顯然正確；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知2x－1＞0恒成立，所以B正確；當(dāng)0＜x＜10時(shí)，lgx＜1，所以C正確；因?yàn)閟inx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以－eq\r(2)≤sinx＋cosx≤eq\r(2)，所以D錯(cuò)誤．(2)對(duì)于B.當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，因此B中命題是假命題．考向三：由命題的真假確定參數(shù)的取值范圍例3：若命題“存在t∈R，t2－2t－a<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【解析】因?yàn)槊}“存在t∈R，t2－2t－a<0”為假命題，所以命題“對(duì)任意的t∈R，t2－2t－a≥0”為真命題，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.【訓(xùn)練清單】【變式訓(xùn)練1】（1）下列命題正確的是()A．存在x∈R，x2＋2x＋3＝0B．x>1是x2>1的充分不必要條件C．對(duì)任意的x∈N，x3>x2D．若a>b，則a2>b2（2）已知f(x)＝sinx－x，命題p：存在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，則命題p是命題（填真假）；﹁p為【解析】(1對(duì)于x2＋2x＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程無實(shí)根，即存在x∈R，x2＋2x0＋3＝0錯(cuò)誤，即A錯(cuò)誤；x2>1?x<－1或x>1，故x>1是x2>1的充分不必要條件，故B正確；當(dāng)x≤1時(shí)，x3≤x2，故對(duì)任意的x∈N，x3>x2錯(cuò)誤，即C錯(cuò)誤；若a＝1，b＝－1，則a>b，但a2＝b2，故D錯(cuò)誤．故選B.（2）易知f′(x)＝cosx－1<0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是減函數(shù)，因?yàn)閒(0)＝0，所以f(x)<0，所以命題p：存在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0是真命題，﹁p：對(duì)任意的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0.【變式訓(xùn)練2】若p：對(duì)任意的x∈R，ax2＋4x＋1>0是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案：(－∞，4]【鞏固清單】1.下列命題中，真命題是(D)A．?x∈R，x2>0B．?x∈R，－1<sinx<1C．?x0∈R，2x0<0D．?x0∈R，tanx0＝2【解析】?x∈R，x2≥0，故A錯(cuò)．?x∈R，－1≤sinx≤1，故B錯(cuò)．由y＝2x的圖象可知?x∈R，2x>0，故C錯(cuò)．D正確．2．下列命題是真命題的是()A．所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)B．?x∈R，x2＋1≥0C．對(duì)于每一個(gè)無理數(shù)x，x2是有理數(shù)D．?x∈Z，eq\f(1,x)?Z【解析】對(duì)于A，2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)，A假；對(duì)于B，?x∈R，總有x2≥0，則x2＋1≥0恒成立，B真；對(duì)于C，eq\r(π)是無理數(shù)，(eq\r(π))2＝π還是無理數(shù)，C假；對(duì)于D，1∈Z，但eq\f(1,1)＝1∈Z，D假，故選B.3.命題“函數(shù)y＝f(x)(x∈M)是偶函數(shù)”的否定可表示為()A．?x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．?x∈M，f(－x)≠f(x)C．?x∈M，f(－x)＝f(x)D．?x0∈M，f(－x0)＝f(x0)【解析】由偶函數(shù)的定義及命題“函數(shù)y＝f(x)(x∈M)是偶函數(shù)”，可知“?x∈M，f(－x)＝f(x)”，該命題是一個(gè)全稱命題，其否定是一個(gè)特稱命題，即“?x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．4．命題“對(duì)任意的x＞0，eq\f(x,x－1)＞0”的否定是()A．存在x＜0，eq\f(x,x－1)≤0B．存在x＞0，0≤x≤1C．對(duì)任意的x＞0，eq\f(x,x－1)≤0D．對(duì)任意的x＜0，0≤x≤1【解析】因?yàn)閑q\f(x,x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，所以eq\f(x,x－1)＞0的否定是0≤x≤1，所以命題的否定是存在x＞0，0≤x≤1，故選B.5．已知命題p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函數(shù)，則﹁p為【解析】﹁p為“對(duì)任意的m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函數(shù)”．6．命題p的否定是“對(duì)所有正數(shù)x，eq\r(x)>x＋1”，則命題p可寫為____________________．【解析】存在x∈(0，＋∞)，eq\r(x)≤x＋17.已知命題p：?x>0，總有(x＋1)ex>1，則p為【解析】p為“?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1”8．命題p：?x∈N，x2>x3的否定是【解析】因?yàn)槊}?x∈M，p(x)的否定是?x0∈M，?p(x0).9.已知命題p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0，則p是（填真假），?p為【解析】因?yàn)?x>0，所以3x＋1>1，則log2(3x＋1)>0，所以p是假命題；?p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.10.已知命題“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq