2022-2023學(xué)年山東省威海市環(huán)翠區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）（含解析）

第第頁2022-2023學(xué)年山東省威海市環(huán)翠區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）（含解析）2022-2023學(xué)年山東省威海市環(huán)翠區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列二次根式中與是同類二次根式的是()

A.B.C.D.

2.下列運算正確的是()

A.B.

C.D.

3.已知，則的值為()

A.或B.C.D.或

4.如圖，在菱形中，于，，，則()

A.B.C.D.

5.實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果是()

A.B.C.D.

6.對于任意實數(shù)，關(guān)于的方程的根的情況為()

A.有兩個相等的實數(shù)根B.沒有實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.無法判定

7.等腰三角形的一邊長是，另兩邊的長是關(guān)于的方程的兩個根，則的值為()

A.B.C.D.或

8.某城市為了申辦冬運會，決定改善城市容貌，綠化環(huán)境，計劃用兩年時間，使綠地面積增加，這兩年平均每年綠地面積的增長率是()

A.B.C.D.

9.如圖，在中，點在對角線上，，交于點，，交于點，則下列式子一定正確的是()

A.

B.

C.

D.

10.如圖，在矩形中，，，點、在邊上，和交于點，若，則圖中陰影部分的面積為()

A.

B.

C.

D.

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.若，則______．

12.如圖，在一塊長、寬的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使綠化面積為，則修建的路寬應(yīng)為______．

13.如圖，矩形的邊長，，將矩形折疊，使點與點重合，則折痕長為______．

14.若，則代數(shù)式的值為______．

15.如圖，是矩形的對角線的中點，是的中點．若，，則四邊形的周長為______．

16.在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是，，，以原點為位似中心畫，使與成位似圖形，且與的相似比為：，則線段的長度為______．

三、解答題（本大題共8小題，共64.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

計算：

；

18.本小題分

按指定方法解方程：

因式分解法；

配方法．

19.本小題分

如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形，邊，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在、上，這個正方形零件的邊長是多少？

20.本小題分

已知：關(guān)于的方程．

若方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值，并求出這時方程的根．

問：是否存在正數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于？若存在，請求出滿足條件的值；若不存在，請說明理由．

21.本小題分

如圖，已知，，是三個全等的等腰三角形，底邊，，在同一條直線上，且，，交于點求，及的值．

22.本小題分

如圖，四邊形是菱形，點為對角線的中點，點在的延長線上，，重足為，點在的延長線上，，重足為，

若，求證：四邊形是菱形；

若，的面積為，求菱形的面積．

23.本小題分

如圖，在矩形中，，點是邊上的一點，將沿著折疊，點剛好落在邊上點處；點在上，將沿著折疊，點剛好落在上點處，此時：：．

求證：∽；

求和的長．

24.本小題分

如圖，在正方形中，，是對角線上的點，連接，過點作，交于點，連接交于點．

求證：；

求證：；

若，求的長．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，

與不是同類二次根式，

故A不符合題意；

B、，

與不是同類二次根式，

故B不符合題意；

C、，

與不是同類二次根式，

故C不符合題意；

D、，

與是同類二次根式，

故D符合題意；

故選：．

根據(jù)同類二次根式的定義，逐一判斷即可解答．

本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：、，故A不符合題意；

B、，故B符合題意；

C、，故C不符合題意；

D、，故D不符合題意；

故選：．

利用二次根式加減法的法則，二次根式的化簡的法則，二次根式的乘除法的法則對各項進行運算即可．

本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．

3.【答案】

【解析】解：原方程變形得，，

，

又的值是非負數(shù)，

的值為只能是．

故選：．

解題時把當成一個整體來考慮，再運用因式分解法就比較簡單．

任何數(shù)的平方都是非負數(shù)，解這類問題要特別注意這一點．

4.【答案】

【解析】解：菱形，

，，

，

，

，

，

在中，，

在中，，

故選：．

根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，進而得出，利用勾股定理得出，進而利用勾股定理得出即可．

此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)得出．

5.【答案】

【解析】解：數(shù)軸可得，且，

．

故選：．

由數(shù)軸可得，，則利用二次根式的化簡的法則進行求解即可．

本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，數(shù)軸，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．

6.【答案】

【解析】解：，

，

不論為何值，，

即，

所以方程沒有實數(shù)根，

故選：．

先根據(jù)根的判別式求出“”，再根據(jù)根的判別式進行判斷即可．

本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程、、為常數(shù)，，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當時，方程沒有實數(shù)根．

7.【答案】

【解析】解：當?shù)走厼?，兩腰為關(guān)于的方程的兩個根，

，

解得，

此時方程為，解得，

當腰為時，把代入關(guān)于的方程得，

解得，

此時方程為，解得，，

三角形三邊分別為、、，

綜上所述，的值為或．

故選：．

當?shù)走厼?，利用根的判別式的意義得到，解得；當腰為時，把代入關(guān)于的方程得，解得．

本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．

8.【答案】

【解析】解：設(shè)每年增長率為，綠地面積為，

依題意得第一年的綠地面積為：，則第二年的綠地面積為：，

則，

解得負值已舍，

故選：．

首先設(shè)每年增長率為，綠地面積為，依題意得第一年的綠地面積為：，則第二年的綠地面積為：；接下來根據(jù)題意列出方程；再解上面的方程即可得出答案．

此題主要考查了增長率的問題，一般公式為：原來的量現(xiàn)在的量，增長用，減少用但要注意解的取舍，及每一次增長的基礎(chǔ)．

9.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，．

A.，

．

，

∽．

．

不一定等于，

不一定成立，故選項A不一定正確；

B.，

．

，

不一定等于，

不一定成立，故選項B不一定正確；

C.，

∽．

，故選項C一定正確；

D.由可得，故選項D一定不正確．

故選：．

利用平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)逐個判斷得結(jié)論．

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】

【分析】過點作于，延長交于，通過證明∽，可得：：：，可求，的長，由面積的和差關(guān)系可求解．

本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，求出陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差的關(guān)系．

【解答】解：過點作于，延長交于，

四邊形是矩形，

，，

，

，

，，

∽，，

：：：，

又，

，，

，

，，

．

故選：．

11.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，

設(shè)，，，

則，

故答案為：．

根據(jù)比例的基本性質(zhì)熟練進行比例式和等積式的互相轉(zhuǎn)換．

已知幾個量的比值時，常用的解法是：設(shè)一個未知數(shù)，把題目中的幾個量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來，實現(xiàn)消元．

12.【答案】

【解析】解：設(shè)道路的寬為，根據(jù)題意得：

，

解得：，不合題意，舍去，

則道路的寬應(yīng)為；

故答案為：．

把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的部分是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程求解即可．

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和最左邊是做本題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；對應(yīng)點的連線段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．

連結(jié)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到垂直平分，即，，則，設(shè)，則，，在中根據(jù)勾股定理可計算出，在中根據(jù)勾股定理可計算出，則，在中利用勾股定理可計算出；易證得≌，得到，則．

【解答】

解：連結(jié)，如圖，

矩形折疊后點與點重合，

垂直平分，即，，

，

設(shè)，則，，

在中，，即，解得，

在中，，

，

在中，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

．

故答案為．

14.【答案】

【解析】解：，

．

故答案為：．

直接利用完全平方公式將原式變形，進而代入已知數(shù)據(jù)得出答案．

此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確運用完全平方公式是解題關(guān)鍵．

15.【答案】

【解析】解：是矩形的對角線的中點，是的中點，

，

，，

，

是矩形的對角線的中點，

，

四邊形的周長為，

故答案為：．

根據(jù)題意可知是的中位線，所以的長可求；根據(jù)勾股定理可求出的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出的長，進而求出四邊形的周長．

本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)，題目的綜合性很好，難度不大．

16.【答案】

【解析】解：，，，

，，

，

與成位似圖形，相似比為：，

，

故答案為：．

根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)位似圖形的概念解答即可．

本題考查的是位似圖形的概念，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

17.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】直接利用乘法公式將原式變形，進而計算得出答案；

直接利用二次根式的混合運算法則計算得出答案．

此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．

18.【答案】解：方程移項得：，

分解因式得：，

整理得：，

所以或，

解得：，；

方程整理得：，

配方得：，即，

開方得：，

解得：，．

【解析】方程利用因式分解法求出解即可；

方程利用配方法求出解即可．

此題考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟練掌握各自的方法是解本題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：四邊形為正方形，

，

∽；

設(shè)正方形零件的邊長為，則，，

，

∽，

，

，

，

解得：．

答：正方形零件的邊長為．

【解析】根據(jù)正方形的對邊平行得到，利用“平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊或其它兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”，設(shè)正方形零件的邊長為，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果．

本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運用是解題關(guān)鍵．

20.【答案】解：若方程有兩個相等的實數(shù)根，

則有，

解得，

當時，原方程為，

；

不存在．

假設(shè)存在，則有．

，

，

．

即，

，

，

，．

，

，

，都不符合題意，

不存在正數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于．

【解析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于的等式，由此求出的取值．再化簡方程，進而求出方程相等的兩根；

利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡，即根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于的方程，解得的值，再判斷是否符合滿足方程根的判別式．

總結(jié)：、一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：

方程有兩個不相等的實數(shù)根；

方程有兩個相等的實數(shù)根；

方程沒有實數(shù)根．

、根與系數(shù)的關(guān)系為：．

21.【答案】解：根據(jù)題意知，，，

，

，∽，

，，

，

，

，

，

故，，．

【解析】先證明，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得：，證明∽，由相似三角形的性質(zhì)求得兩三角形的面積比，及的長度，進而求得：．

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)運用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

22.【答案】解：四邊形是菱形，，

，

，，

，

為對角線的中點，

，

，

，

，

，

四邊形是菱形；

，，的面積為，

，

，

連接，則，，

，，

∽，

，

，

，

，

菱形的面積．

【解析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；

根據(jù)三角形的面積公式得到，根據(jù)勾股定理得到，連接，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由菱形的面積公式即可得到結(jié)論．

23.【答案】證明：四邊形是矩形，

，

由折疊對稱知：，，

，，，

，

∽．

解：：：，且和等高，

：：，

將沿著折疊，點剛好落在邊上點處，

，

，，

．

在中，，

由折疊的對稱性質(zhì)可設(shè)，則，

，

，

解得，

．

【解析】由矩形的性質(zhì)得出，由折疊的性質(zhì)得出，，證得，則可得出結(jié)論；

由面積關(guān)系可得出：：，由折疊的性質(zhì)得出，求出，，則可得出答案．由勾股定理求出，設(shè)，則，由勾股定理得出，解得，則可得出答案．

本題屬于相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．

24.【答案】證明：如圖，連接，

四邊形為正方形，

，，

在和中，

，

≌，

，，

，

，，