2023中考數(shù)學(xué)圓中定值

專題27圓中定值

1.已知MN是0的切線，A3是O的直徑.求證：點4、B與MN的距離的和為定值.

【解答】證明：①根據(jù)題意可畫出圖形，過點A作ACJ_MN于點C，過點8作于

點D,連接OE

MN是O的切線

:.OELMN

ACHOEHBD

又。為AB中點，

，OE'為梯形ACDB的中位線，

AC+BD=2OE

即AC+BD等于定長，為圓的直徑.

②如圖：當(dāng)M為。的直徑時，

點A到MN的距離為AB的長，點5到MN的距離為0,

，點A、3與的距離的和A3=2x半徑，

以上可得：點A、8與的距離的和為定值.

2.如圖，已知，在以他為弦的弓形劣弧上取一點M（不包括A,6兩點），以M為圓心

作圓用和/W相切，分別過A,8作M的切線，兩條切線相交于點C.

求證：NAC8為定值.

【解答】證明：連接AM,BM,

由題意得：M是內(nèi)心，

.?.AM平分NC4B,平分NABC,

:.^CAM=ABAM,ZCBM=ZABM,

/.ZAMB=180°-ZBAM-ZABM,

ZBAM+ZABM=180°-ZAMB,

AABC中，

ZC=180°-(ZC4B+NACB)=180°-2ZBAM-2ZABM=180°-2(180°-ZAMB)=2ZAMB-180°

AB所在圓是個定圓，弦鉆和半徑都是定值，

.?.ZAMB為定值，

.?.NACB為定值2NAM6—180。.

3.如圖，半徑給定的兩圓同心，對小圓作三條切線，兩條分別交于A、3、C三點，記以

A、B、C為頂點的像扇形的區(qū)域面積分別為S-邑、j，AA8C的面積為S，求證：

Si+5+S3—S為定值.

【解答】證明：由于半徑給定，故切小圓的三條大圓的弦的長度為定值，每條弦把大圓分成

兩個弓形，不妨設(shè)大弓形的面積為用，小弓形的面積為K2,分別計圓中陰影部分的面積分

則S,+7；+S2=S2+7；+53=53+7；+5I=K，

Tj+A+S+Ss=(+7^+S,+S=(+7^+S+S]=&,

故6K,—3Kl=3(5+S2+S3-S),即￡+S,+S：-S=2K,-K1為:i己值.

，求證：四型為定值.

4.如圖，已知P為正方形ABCD的外接圓的劣弧仞上任意一點

PB

【解答】解：延長R4到E,使AE=PC,連接BE,

/口

AX7K~~^XD

ZBAE+ZBAP=}80°,ZBAP+ZPCB=180°,

:.ABAE=^PCB,

四邊形ABC。是正方形，

:.AB=BC,ZABC=90°,

在AABE和ACBP中，

AB=BC

/BAE=/PCB,

AE=CP

:.^ABE^\CBP{SAS),

:.ZABE=ZCBP,BE=BP,

..ZA3E+ZABP=ZABP+NCBP=9(T,

「.AfiEP是等腰直角三角形，

:.PA+PC=PE=yl^PB.

即：空工夜，

PB

，也生為定值.

PB

5.已知兩同心圓的圓心為O,過小圓上一點〃作小圓的弦M4和大圓的弦8MC,且

MAA.BC,求證：Al+BCZ+oe為定值

【解答】證明：過O點作BC垂線，設(shè)垂足為D；作M4垂線，設(shè)垂足為E,

設(shè)M8=a,MC=b,MA=c,大圓的半徑為A，小圓的半徑為r,

MALBC,

AB2+AC2+BC2=(a2+c2)+(a2+b2)+(a+b)2=2(/+b2+c2)+2ab,

ODA.BC,OEA,MA,

CD=—[a+b),ME=—,

22

.?.在RtAODC中，[L(a+%)『+

，

2

在RtAOME中，—〃)『+(：

「iTO①

式a+。)+

.?.求得方程組：卜」，

j--)2

ge-a)+("②

解方程組的得：口+/+；2=2R2+2產(chǎn)

，

\2ah=2R2-2,2

AB2+AC2+BC2=2(/+b2+c2)+lab=2(2R?+2產(chǎn))+2R2-2/=6/?2+2r：

"4+叱+次為定值.

6.已知直徑AB、CD互相垂直，點M是AC上一動點，連AM、MC.MD.

(1)如圖1,求證：MD-MC=^MA；

:嗤鎮(zhèn)為定值?

(2)如圖2,求證

【解答】證明：(1)如圖1,連接AC、AD

直徑他、CD互相垂直，

:.AC=AD,ZC4￡>=90°,

：.AC=AD=^CD.

2

由托勒密定理得到=,即A/C?也8+加4-。=也

CDMD,

22

:.MC+—MA=MD

2

:.MD-MC=yf2MA.

(2)如圖2,連接3C、BD.

直徑43、CQ互相垂直，

:.AC=AD,ZC4￡>=90°,

75

/.BC=BD=—CD.

2

由托勒密定理得到例D.3C+MC?瓦＞=板-8,即+=,

/.MD2-MC2=(MD+MC)(MD-MC)

=4IAM,6MB

=2AM-MB,

(MD2-MC2)c即“為定值?

------------=2,

MAMB

7.如圖，設(shè)P為圓O內(nèi)一定點，過/，任作一弦AC,分別過A,C引圓的切線，再過尸分

別作兩切線的垂線，垂足為Q，/?.求證：一L+」-為定值.

PQPR

【解答】證明：過點A作直徑交O于點石,連接召。,過P作直徑交二。于M,N,

:.ZECA=90°.

AE1AR,PR工AR,

.?.4石//”?且/尸兄4=90。.

/.ZEAC=ZAPR,ZACE=ZPRA,

/./^AEC^APAR.

ACAE

——=——①

PRPA

同理可得：生=絲②

PQPC

，曰ACACAEAE

①+②,得：——+——=—+—

PRPQPAPC

11AEPA4-PCAE

TQ~PR~~ACPAPC~PAPC

PA?PC=PMPN.

._L1_AE

"~PQ~PR~PMPN'

AE1是直徑，點尸是定點,

.?.PM?PN是定值,

8.如圖，過點。和點M(2,2)的動圓01分別與1軸，y軸相交于點A,B.

(1)求。4+。5的值；

(2)設(shè)M。4的內(nèi)切圓/的直徑為d,求證：d+AB為定值.

【解答】(1)解：作軸于。，ME_Ly軸于E,連接M4、MB,如圖，

M點坐標(biāo)為(2,2),

:.MD=ME=2,

，四邊形石為正方形，

.\OD=OE=MD=2,Z￡MD=90°,

AB為直徑，

:.ZAMB=90°,即NAME+ZBME=90。,

而Z4A/E+NAMD=90。,

:.ZAMD=ZBME,

在AAMD和ABME1中

ZAMD=NBME

<MD=ME,

ZADM=NBEM

:.^AMD=^BME(ASA),

/.AD=BE,

:.OA+OB=OD-AD+OE+BE=OD+OE=2OD=^；

(2)證明：ABQ4的內(nèi)切圓/的半徑=空31^

2

」.ABQ4的內(nèi)切圓/的直徑=。4+。8-他,

：.d+AB=OA+OB-AB+AB=4,

即d+他為定值.

9.如圖1,E點為x軸正半軸上一點，E交x軸于A、B兩點，交y軸于C、。兩點，

點為劣弧BC上一個動點，且以一2,0),￡(2,0).

(1)BC的度數(shù)為120°;

(2)如圖2,連結(jié)PC,取PC中點G,連結(jié)OG,則OG的最大值為；

(3)如圖3,連接月4,PC.若CQ平分NPCD交E4于。點，求線段A。的長；

(4)如圖4,連接必、PD,當(dāng)P點運動時(不與8、C兩點重合)，求證：”土竺為

PA

定值，并求出這個定值.

4(-2,0),￡(2,0),

:.OA=OE=2,

ABLCD,

.?.8垂直平分AE,

CA—CE,

CE=AE,

CA=CE=AE,

:.ZCEA=60°,

.-.ZCEB=180o-ZCE4=120°,

故答案為120；

(2)由題可得，4?為E直徑，且AB_LCD,

由垂徑定理可得，CO=OD,

連接P￡),如圖2,又G為PC的中點，

:.OGHPD,S.OG=-PD,

2

當(dāng)D,E,P三點共線時，此時止取得最大值,

且￡)P=A3=2AE=8,

;.OG的最大值為4,

故答案為4；

(3)如圖3,連接AC,BC,

直徑A8_LC￡>,

AC=AD,

.\ZACD=ZCPA,

C。平分NDCP,

ZDCQ=ZPCQ,

:.ZACD+ZDCQ=ZCPA+ZPCQ,

ZACQ=ZAQC,

:.AQ=AC

由(1)可得，AC=AE=4,

.1.A0=4；

證明:(4)由題可得，直徑ABJ_CD,

.?.M垂直平分CD,

如圖4,連接AC,AD,則AC=A￡>,

由(1)可得，AACE為等邊三角形，

.1.ZC4E=60°,

.-.ZDAC=2ZCAE=120°,

將AACP繞A點順時針旋轉(zhuǎn)120。至A4UM,

:./\ACP=/\ADM,

ZACP=ZADM,PC=DM,

四邊形ACP。為圓內(nèi)接四邊形，

:.ZACP+ZADP=\S00,

/.ZADM+ZADP=180°,

P三點共線

:.PD+PC=PD+DM=PM,

過A作AGJLPM于G,貝i」PM=2PG,

ZAPM=ZACD=30°

在RtAAPG中,ZAPM==30°,

設(shè)AG=x,貝ljAP=2x

PG=\lAP2-AG2=J3x,

;.PM=2PG=2拒x,

PM=&P,

PC+PD=?P,

..PC/增為定值

Mi

h

1t

:「

：：圖4

M

Lx

圖3

10.問題：如圖1,O中，他是直徑，AC=BC，點。是劣弧8C上任一點.（不與點8、

。重合）

求證：4/）一—/）為定值

CD

思路：和差倍半問題，可采用截長補短法，先證明AACEMABCZ）.按思路完成下列證明過

程.

證明：在用）上截取點E.使他=BE>.連接CE.

運用：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，。與x軸相切于點A（3,O）,與軸相交于5、C兩點，

且BC=8,連接45,O、B.

(1)08的長為1

(2)如圖3,過A、3兩點作。2與y軸的負半軸交于點M,與。出的延長線交于點N,

連接AM、MN,當(dāng)Q的大小變化時，問的值是否變化，為什么？如果不變，

請求出身0-8N的值.

【解答】證明：如圖1,在4)上截,

圖1

CD=CD,

:.NCAD=4CBD,

在AACE和MC￡>中，

AC=BC

<ZCAE=ZCBD,

AE=BD

:.AACE=^BCD(SAS),

:.ZACE=/BCD,CE=CD,

4?為直徑，

/.ZACB=90°,

.?.NECD=90。,

.?.AECD是等腰直角三角形，

:.CD=—ED,

2

ED=AD-BD,

AD—BDrrAD—BD4，l,有

--------=V2,即An-----------為定值；

(1)如圖2,連接,過01作q”_L8C于點”,

圖2

;.CH=BH=4,O、H=3,QA_Lx軸,

=+HB1=5,

..C\A=C\B=5,

:.HO=5,

:.OB=HO-HB=5-4=\,

故答案為：1;

(2)8M-8N的值不變，

如圖2,

由(1)得，J.04,

OH±AO,

:.OtA//OB,

;.NOiBA=NOBA,

C\A=O[B,

4O】BA=/O\AB,

.?.ZAB。1=ZABO,

如圖3,在MB上取一點G,使MG=BN,連接AN,AG,

ZABO.=Z.ABO,NABOi=NAMN,

/.ZABO=ZAMN,

ZABO=ZANM,

:.ZAMN=ZANM,

:.AM=AN,

AB=AB,

,\ZAMG=ZANB,

在AAMG和A/W5中，

rAM=AN

<4AMG=ZANB,

MG=BN

r.MMG^AANB(SAS),

/.AG=AB,

AOA.BG,

:.BG=2BO=2,

:.BM-BN=BM-MG=BG=2,即8M-8N的值不變.

11.問題：如圖1,。中，是直徑，AC=BC，點。是劣弧3。上任一點(不與點8、

。重合),求證：9一即為定值.

CD

思路：和差倍半問題，可采用截長補短法，先證明AACEMABCD.按思路完成下列證明過

程.

證明：在AD上截取點E,使AE=8Z),連接CE.

運用：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，與x軸相切于點A(3,0),與y軸相交于8、C兩

點，且8C=8,連接45、0、B.

(1)03的長為1.

(2)如圖3,過4、3兩點作。2與V軸的負半軸交于點加，與的延長線交于點N,

連接40、MN,當(dāng)。2的大小變化時，問80-3N的值是否變化，為什么？如果不變，

請求出BM-BN的值.

【解答】解：證明：在4)上截AE=&),

CD=CD,

.-.ZCAD=ZCBD,

在AACE和兇8中，

AC=BC

"2CAE=ZCBD,

AE=BD

:.^ACE=ABCD(SAS),

:.ZACE=ZBCD,CE=CD,

/IB為直徑，

/.ZACfi=90°,

.?.48=90。，

.?.AEC￡)是等腰直角三角形，

:.CD=—ED,

2

ED=AD-BD,

圖1

(1)如圖2,連接O|A,過01作q，_L8C于點H,

.\CH=BH=4,OtH=3,。人工軸，

O\B=《O斤+HB。=5,

O}A=O]B=5,

:.HO=5,

：.OB=HO-HB=5-4=\,

故答案為：1;

圖2

(2)BM-BN的值不變,

如圖2,

由(1)得，?A_LOA,

OBLAO,

:.O}A//OB,

4O】BA=4OBA,

O\A=O、B,

:./O]BA=/O\AB,

/./ABO】=ZABO,

如圖3,在MB上取一點G,使MG=BN,連接AV,AG,

】

ZABO=ZABO,ZABO{=ZAMN,

/.ZABO=ZAMN,

ZABO=ZANM,

.\ZAMN=ZANM,

：.AM=AN,

AB=AB,

,\ZAMG=ZANB,

在AAMG和AA7V8中，

AM=AN

<ZAMG=4ANB,

MG=BN

:./^AMG=AANB(SAS),

AG=AB,

AOJLBG,

.\BG=2BO=2,

:.BM—BN=BM—MG=BG=2,即—BN的值不變.

12.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線丫=丘+；交y軸于點A,點A關(guān)于x軸的

對稱點為點8,過點3作直線/平行于x軸，動點C(x,y)到直線/的距離等于線段C4的長

度.

(1)求動點C(x,y)滿足的)，關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出這個函數(shù)圖象；

(2)若(1)中的動點C的圖象與直線)，="+；交于E、尸兩點(點E在點尸的左側(cè)),

分別過E、F作直線/的垂線，垂足分別是M、N，求證：①EF是AAMN外接圓的切線；

②2++為定值-

x軸，

二直線/的解析式為y=

2

C(x,y),A(0,-),

.-.AC2=x2+(y-1)2,點C到直線/的距離為："+；)，

動點C(x,y)滿足到直線I的距離等于線段C4的長度，

■■-X2+(y-^)2=(y+^)2,

，動點C軌跡的函數(shù)表達式)，=1/，

2

圖象如圖1所示：

(2)證明：①如圖：

設(shè)點E(八°)點/(九為)，

動點C的軌跡與直線y=fcc+g交于石、“兩點，

1，

y=—x~

???.2，

,1

)，=米+耳

/.x2-2kx-1=0,

：.tn-\-n=2k,=-1,

過￡、F作直線/的垂線，垂足分別是M、N,

,N(n,一二),

22

A(0i),

AM2+AN2=nr+\+n2+\=m2+n2+2=(/??+n)2-2mn+2=4k2+4,

MN2=(m-n)2=(m+n)2-4mn=4k2+4,

.\AM2+AN2=MN2,

.?.AAMV是直角三角形，MN為斜邊，

取MN的中點Q，

.?.點Q是A/WN的外接圓的圓心，

??.Q(A,-Q),

40,5),

二直線AQ的解析式為y=-/x+；,

直線斯的解析式為丫=辰+；,

AQ±EF,

二印是AAMN外接圓的切線；

②點E(m,a)點F(n,/?)在直線y=fcv+g上，

.1..1

:a=mk+—,b=nk+—,

22

ME、NF、)是AAMN的外接圓的切線，

AE=ME=a+—=mk+1,AF=NF=b+—=nk+l,

22

1111(機+〃洪+22/+22(公+1)

AEAFmk+1nk+\mnk2+(in+n)k+1—k2+2Z:-A:4-1k2+1

即：」—+_!_為定值，定值為2.

13.AA8c內(nèi)接于O,過點。作O〃_L8c于點〃，延長O"交。于點。連接AD.

(1)如圖1,求證：ZBAD=ZCAD；

(2)如圖2,若=￡>“，求NB4C的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點8作8KJ>4￡>于點K,連接HK,若HK=3,試說

明線段A8與AC的差為定值.

圖1圖2圖3

【解答】解：(1)OHLBC于點、H,

BD=CD,

；.ZBAD二NCAD；

(2)如圖2,連接08、OC,

OH=DH,OB=OD,

：.OH=-OB,而OH上BH,

2

/.ZOBH=30°,ZBOH=60°

.\ZBAC=-ZBOC=60°；

2

(3)如圖3,分別延長3K、AC,交于點M；

AD平分NR4c,

,\ZBAK=ZMAK；

在ABA/C與AM4K中，

AB=AM

</BAK=Z.MAK,

AK=AK

:.ABAK合AMAK(SAS),

:.BK=MK,AM=AB

ODLBC,

BH=HC,

.?."K為ABCM的中位線，

:.CM=2HK=2x-=3,

2

:.AB-AC=AM-AC=CM=3.

圖2

14.如圖，43是O的直徑，AB=66,M是弧AB的中點，OCYOD,△COD繞點O

旋轉(zhuǎn)與AAWB的兩邊分別交于E、F(羔E、F與點A、B、M均不重合)，與。分別

交于P、。兩點.

(1)求證:OE=OF；

(2)連接PM、QM,試探究：在NCOD繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，NPMQ是否為定值？若

是，求出乙PMQ的大??；若不是，請說明理由；

(3)連接斯，試探究：在ACOD繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，的周長是否存在最小值？

若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由.

【解答】(1)證明：4?是一O的直徑，