全國新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：突出數(shù)學(xué)本質(zhì)發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

2021屆全國新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)對學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理解《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本著力推進(jìn)關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)改革(一)研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。(二)修訂課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)。(三)編寫、修訂高校和中小學(xué)相關(guān)學(xué)科教材。(四)改進(jìn)學(xué)科教學(xué)的育人功能。(五)加強(qiáng)考試招生和評價(jià)的育人導(dǎo)向。(六)強(qiáng)化教師育人能力培養(yǎng)。(七)完善各方參與的育人機(jī)制。(八)實(shí)施研究基地建設(shè)計(jì)劃。(九)整合和利用優(yōu)質(zhì)教育教學(xué)資源。(十)加強(qiáng)課程實(shí)施管理。關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)的改革為誰培養(yǎng)人?培養(yǎng)什么人?怎樣培養(yǎng)人?堅(jiān)持教育為社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)服務(wù)、為人民服務(wù)，把立德、樹人作為教育的根本任務(wù)，全面實(shí)施素質(zhì)教育，培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。努力辦好人民滿意的教育。培養(yǎng)什么人?——中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。連接黨的教育方針與教育教學(xué)實(shí)踐的橋梁中國學(xué)生發(fā)展“核心素養(yǎng)”主主展六個(gè)要素十八個(gè)基本點(diǎn)文化基礎(chǔ)8(國家教育部學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究協(xié)作組，2016年9月)8全面發(fā)展的人全面發(fā)展的人中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)人文底蘊(yùn)文化基礎(chǔ)科學(xué)精神自主發(fā)展健康生活責(zé)任擔(dān)當(dāng)社會(huì)參與實(shí)踐創(chuàng)新人文積淀理性思維樂學(xué)善學(xué)珍愛生命社會(huì)責(zé)任勞動(dòng)意識人文情懷批判質(zhì)疑勤于反思健全人格國家認(rèn)同問題解決審美情趣勇于探究信息意識自我管理國際理解技術(shù)運(yùn)用普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)設(shè)計(jì)依據(jù)、結(jié)構(gòu)、學(xué)分與選課(2017年版)附錄2:教學(xué)與評價(jià)案例會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界課程目標(biāo)的變化(一)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)五大能力兩個(gè)意識數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建?！诵牡臄?shù)學(xué)思想直觀想象(伴隨)數(shù)學(xué)運(yùn)算(特殊)和數(shù)據(jù)分析(特殊)·三會(huì)(落實(shí)成學(xué)生的行為):會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界數(shù)學(xué)抽象+直觀想象會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界——邏輯推理+數(shù)學(xué)運(yùn)算(第二個(gè)特征：嚴(yán)謹(jǐn)性)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界數(shù)學(xué)建模+數(shù)據(jù)分析(第三個(gè)特征：應(yīng)用的廣泛性)(二)2017年版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)課程目標(biāo)1.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(簡稱“四基”),提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)。能”)2.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。3.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；不斷提高應(yīng)用能力實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識；認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題學(xué)習(xí)習(xí)慣、科學(xué)提出問題邏輯推理直觀想象能力、創(chuàng)新意識解決問題數(shù)學(xué)運(yùn)算科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用雙基三維目標(biāo)核心素養(yǎng)厚德載物核心素養(yǎng)!養(yǎng)理解數(shù)學(xué)：深入理解、整體把握教學(xué)內(nèi)容理解教學(xué)：要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)過程要從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上整體把握和認(rèn)識數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，完整地體現(xiàn)好數(shù)學(xué)的科學(xué)性、工具性、價(jià)值理性和人文性這些特質(zhì)，使數(shù)學(xué)教材成為一個(gè)融數(shù)學(xué)知識、技能、方法、思想和精神于一體的整體。教給學(xué)生完整的數(shù)學(xué)，全面發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功·對每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，我們需要思考·這個(gè)教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵是什么?它在教材中處于什么位置?與本節(jié)、本章其他內(nèi)容有什么聯(lián)系?·在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，這個(gè)教學(xué)內(nèi)容是如何產(chǎn)生的?它有什么作用?引入這一內(nèi)容后，原有的知識可以作出什么新的解釋?·這個(gè)教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含什么數(shù)學(xué)思想方法?學(xué)習(xí)這一內(nèi)容可以培養(yǎng)學(xué)生什么數(shù)學(xué)能力?發(fā)展什么數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?·這個(gè)教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含什么數(shù)學(xué)文化價(jià)值?對培養(yǎng)學(xué)生正確的價(jià)值觀念能起什么作用?·重視數(shù)學(xué)對象的獲得過程，要注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后邏輯，從現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)事實(shí)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過程，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)識問題，這就是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，也就是落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象的素養(yǎng)?！ぶ匾曇?一般觀念"為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，·在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程中，重視利用數(shù)學(xué)概念原理分析問題，體現(xiàn)解決問題的過程，學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的素怎么經(jīng)歷過程?——問題引領(lǐng)、問題驅(qū)動(dòng)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)突出函數(shù)本質(zhì)，重視研究過程，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)→反比例函數(shù)三角函數(shù)→數(shù)列→導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)·對于這些函數(shù)內(nèi)容，我們要學(xué)習(xí)什么?怎么學(xué)習(xí)?有沒有一般的研究路徑和方法?語言和工具。用函數(shù)刻畫(某些特殊)變化，研究某些特·整體到局部：用導(dǎo)數(shù)刻畫局部變化規(guī)律。應(yīng)用→特殊的函數(shù)(基本初等函數(shù))·概念：體現(xiàn)概念教學(xué)的一般過程。從典型豐富的具體例證·性質(zhì)：值域、單調(diào)性、最值、奇偶性、周期性、特殊點(diǎn)取最值奇偶性數(shù)列導(dǎo)數(shù)的意義導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用冪函數(shù)>三角函數(shù)函數(shù)的運(yùn)算(加、減、乘、除)復(fù)合函數(shù)反函數(shù)周期性一、突出函數(shù)所刻畫的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)，滲透研究函數(shù)的思想方法·突出函數(shù)所刻畫的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征·數(shù)學(xué)研究的數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，無論數(shù)量關(guān)系中還是空間形式中都充滿了運(yùn)動(dòng)變化的問題，函數(shù)就是對客觀事物從運(yùn)動(dòng)變化的角度進(jìn)行數(shù)量化研究的數(shù)學(xué)語言和工具?！ず瘮?shù)刻畫了運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，基本初等函數(shù)刻畫了某一類具體的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象。·一次函數(shù)."勻速"變化·二次函數(shù)——"勻變速"變化·分段函數(shù)——不同階段有不同變化5.1任意角和弧度制圓周運(yùn)動(dòng)是一種常見的周期性變化現(xiàn)象.如圖5.1-1,◎O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)，如何刻畫的圖形，在圖5.1-1中，射線的端點(diǎn)是圓心O,它從起始位置OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OP,形成一個(gè)角α,射線OA,OP分別是角α的始邊和終邊.當(dāng)角α確定時(shí)，終邊OP的位置就確定了.這時(shí)，射線OP與◎O的交點(diǎn)P的位置變化.由初中知識可知，射線OA繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋內(nèi)的角.如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么所得到的角就超出這個(gè)范圍了.所以，為了借助角的大小變化刻畫圓周運(yùn)動(dòng)，需要先擴(kuò)大角的范圍.5.2三角函數(shù)的概念在弧度制下，我們已經(jīng)將角的范圍擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù).下面借助這些知識研究上一節(jié)開頭提出的問題，不失一般性，如圖5.2-1,單位圓◎O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況.5.2.1三角函數(shù)的概念根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們利用直角坐標(biāo)系來研究上述問題.如圖5.2-2,以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α,終止位置為OP.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么?當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么?它們一般地，任意給定一個(gè)角a,它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎?·誘導(dǎo)公式——三角函數(shù)的性質(zhì)幾何性質(zhì)(對稱性),可以研究三角函數(shù)的性質(zhì)，從而得·周期性——誘導(dǎo)公式一sin2α+cos2α=1.·關(guān)于圓心中心對稱——誘導(dǎo)公式二tan(π+a)=tana.·關(guān)于x軸對稱——誘導(dǎo)公式三aa●先關(guān)于直線y=x作對稱，再關(guān)于y軸作對稱——誘導(dǎo)公式六(π+α2(π2=—sinα.α·旋轉(zhuǎn)對稱性——差角公式P(cos(a-β),sin(a—β)).·三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)我們知道，單位圓上的點(diǎn)，以(1,0)為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的單位速率運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用三角函數(shù)加以刻畫.對于一個(gè)一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫呢?下面先看一個(gè)實(shí)際問題.產(chǎn)中得到使用(圖5.6-1).明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.6-2).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻合適的函數(shù)模型來刻畫盛水筒(視為質(zhì)點(diǎn))距離水面的相對高度與時(shí)間的關(guān)系嗎?如圖5.6-3,將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形，設(shè)經(jīng)過ts后，盛水筒M從點(diǎn)Po運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P.由筒車的工作原理可知，這個(gè)盛水筒距離水面的高度H,由以下量所決定：筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h,筒車的半徑r,筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w,盛水筒的初始位置如圖5.6-3,以O(shè)為原點(diǎn)，以與水平面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)t=0時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)Po,以O(shè)x為始邊，OP。為終邊的角為φ,經(jīng)過ts后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(x,y).所以，盛水筒M距離水面的高度H與時(shí)間t的關(guān)系是函數(shù)②就是要建立的數(shù)學(xué)模型，只要將它的性質(zhì)研究清楚，就能把握盛水筒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.由于h是常量，我們可以只研究函數(shù)①的性質(zhì).例2摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖5.6-9,某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后距離地面的高度；(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1).·一以貫之的圓周運(yùn)動(dòng)，突出三角函數(shù)刻畫"周期運(yùn)動(dòng)"的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征·刻畫圓周運(yùn)動(dòng)——任意角及性質(zhì)·單位圓的對稱性三角函數(shù)誘導(dǎo)公式·三角函數(shù)的單位圓定義三角函數(shù)圖象與性質(zhì)·從運(yùn)算角度認(rèn)識函數(shù)，幫助學(xué)生抽象函數(shù)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)·代數(shù)的核心是數(shù)學(xué)運(yùn)算，運(yùn)算是研究數(shù)學(xué)問題的基本手段。通過數(shù)學(xué)運(yùn)算(加法、乘法及其逆運(yùn)算),可以建立量和量之間的代數(shù)關(guān)聯(lián)，從而得到數(shù)量關(guān)系(代數(shù)式)、等量關(guān)系(方程)、變量關(guān)系(函數(shù))。函數(shù)反映的是數(shù)量關(guān)系中的變量關(guān)系，因而運(yùn)算也是研究函數(shù)的基本手段。函數(shù)概念中已經(jīng)沒有變量、甚至對應(yīng)的影子了，函數(shù)概念逐可以通過運(yùn)算法則形式化地定義基本初等函數(shù)。的定t-s)=g(t)g(s)+f(t)f(s)并且在開區(qū)間(0,π2(0)=1的定義在實(shí)數(shù)·指數(shù)函刻畫的變化規(guī)律(增長率為定值)的發(fā)現(xiàn)時(shí)間/年A地景區(qū)B地景區(qū)999·觀察表格、畫出圖象··年增加量不變VS年增加量越來越大·線性增長VS非線性增長我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的，能否通過對B地景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢?請你試一試.從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的結(jié)果表明，B地景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-1=0.11,是一個(gè)常數(shù).可以近似描述為：1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；x年后，游客人次是2001年的1.11倍.如果設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次為2001年的y倍，那么 ·直觀觀察→對數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算特點(diǎn)的分析 ),這就是指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律。1.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型號的女裝3.測量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度(單位：℃)依次為利息部分=(貸款總4.某人向銀行貸款a萬元，貸款時(shí)間為n年.款，他從某月開始，每月應(yīng)還本金,每月支付給銀行的利息(單位：元)依次為在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常常通過運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律.例如，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律.類似地，你能通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎?請看下面幾個(gè)問題中的數(shù)列.1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的2.《莊子·天下》中提到："一尺之棰，日取其半，萬世不竭."如果把"一尺之棰”的長度看成單位"1",那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是④3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是⑤⑤4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r,那么按照復(fù)利°,他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3①古巴比倫人用60類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?·運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，定量刻畫函數(shù)變化，滲透微積分思想·導(dǎo)數(shù)是描述變化率的概念，從單調(diào)性到導(dǎo)數(shù)，就是從定性描述變化到定量描述變化的過程?！ず瘮?shù)的單調(diào)性是“整體"性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)是"局部”性質(zhì)。平均變化率描述了函數(shù)在某一范圍(區(qū)間)內(nèi)的變化，區(qū)間越小，越能精確地刻畫函數(shù)的變化。當(dāng)區(qū)間的長度趨近于0時(shí)，就是瞬時(shí)變化率，就是導(dǎo)數(shù)。從絕對變化到平均變化，再到瞬時(shí)變化的過程，體現(xiàn)了極限的思想?！?dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系反映了函數(shù)的局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的關(guān)系。在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)在每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于0,則函數(shù)在該區(qū)間是單調(diào)遞增的；反之，在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞增函數(shù)如果有導(dǎo)函數(shù)，那么每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于或等0?！ひ雽?dǎo)數(shù)概念可以定量分析函數(shù)變化。例如，對于函數(shù)的單調(diào)性，在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于1,利用導(dǎo)數(shù)可以知道這樣的函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的變化比函數(shù)y=x要快。再如，利用函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0,再加上其在這一點(diǎn)左右的導(dǎo)數(shù)值的符號，就可以確定這一點(diǎn)·數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，數(shù)學(xué)研究對象是從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象得到的，數(shù)學(xué)對象的獲得過程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。·函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，因此對于函數(shù)及相關(guān)概念(基本初等函數(shù)、數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、導(dǎo)數(shù)),都要從反映這些概念本質(zhì)特征的現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、其他學(xué)科情境等問題情境出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納其共同特征、概括其本質(zhì)屬性的過程，使學(xué)生學(xué)發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的素養(yǎng)?！ず瘮?shù)概念的發(fā)展歷史：變量說→對應(yīng)說→關(guān)系說·17世紀(jì)，笛卡兒：引入變量概念，并用代數(shù)關(guān)系式表達(dá)變·1673年，萊布尼茲：給出了函數(shù)的概念，用來表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)的量。量以任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式。變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù)?！?821年，柯西：在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！?837年，狄里克萊：如果對于給定區(qū)間上的每一個(gè)x的值，有唯一的y值同它對應(yīng)，那么y就是x的一個(gè)函數(shù)，至于在整個(gè)區(qū)間上y是否按照一種或多種規(guī)律依賴于x,或者y依賴于x是否可用數(shù)學(xué)運(yùn)算來表達(dá)，那都是無關(guān)緊要的。·1851年，黎曼：假定z是一個(gè)變量，它可以逐次取所有可能的實(shí)數(shù)值。如果對它的每一個(gè)值，都有未知量w的唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)，則w稱為z的函數(shù)。數(shù)?！薄ぴ谝粋€(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y,并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我·變量間的單值對應(yīng)關(guān)系，變量—對應(yīng)說·在具體的變量背景上定義函數(shù)，有利于學(xué)生直觀認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì)特征，但很難擺脫表達(dá)形式(表達(dá)式、表格、圖象)的束縛，因此很難一般地認(rèn)識函數(shù)，很難把握函數(shù)的本質(zhì)特征?！じ鶕?jù)這種定義很難判定兩個(gè)具有不同表達(dá)式的函數(shù)f(x)=1和g(x)=sin2x+cos2x是否相同；這種方式定義的函數(shù)，很難建立函數(shù)的定義域和值域，因此也很難研究函數(shù)的性●高中階段的函數(shù)概念·給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B,以及對應(yīng)關(guān)系f,若對于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x,集合B中有唯一實(shí)數(shù)y=f(x)與x對應(yīng)，則稱y=f(x)為集合A上的函數(shù)?！?shí)數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，抽象的符號表示，對應(yīng)—關(guān)系說·舍去了變量關(guān)系的物理屬性，擺脫了具體表達(dá)方式的束縛,實(shí)現(xiàn)了更高層次的抽象。研究函數(shù)時(shí)只需要思考是否存在一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，而不在于其具體的表達(dá)形式?！τ趦蓚€(gè)函數(shù)，只要其定義域和對應(yīng)關(guān)系這兩個(gè)要素一致,就可以判斷這兩個(gè)函數(shù)相同。(B集取R)·明確了函數(shù)的定義域，使得我們可以在定義域甚至定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上研究函數(shù)的性質(zhì)。不同的函數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算?！ぜ訌?qiáng)背景，從典型實(shí)例出發(fā)引出函數(shù)概念，體現(xiàn)函數(shù)刻畫運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)特征，體現(xiàn)“函數(shù)模型"思想，在學(xué)生頭腦中形成豐富的函數(shù)例。加強(qiáng)概念形成過程，讓學(xué)生自己歸納概括函數(shù)的本質(zhì)：單值對應(yīng)→數(shù)集之間的單值對應(yīng)；這個(gè)過程就是抽象素養(yǎng)落實(shí)的過程?！ふ乱裕簭倪\(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象出發(fā)，提出研究函數(shù)的問題。·節(jié)引言：正方形的周長/與邊長x的函數(shù)關(guān)系/=4x,與正比例函數(shù)y=4x相同嗎?y=否相同?問題1某"復(fù)興號"高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).這段時(shí)間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程S(單S=350t.值，S都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以S是t的函數(shù).⑦⑦思考有人說："根據(jù)對應(yīng)關(guān)系S=350t,這趟列車加速到350km/h后，運(yùn)行1h就前進(jìn)了350km,"你認(rèn)為這個(gè)說法正確嗎?(1)時(shí)間t的變化范圍是什么?相應(yīng)的，路程S的變化范圍。問題2:某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天.如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認(rèn)為該怎樣確定一個(gè)工人每周的工資?一個(gè)工人的工資w(單位：元)是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎?·與問題1相比，解析式相同，但定義域不同，是不同的函A={1,2,3,4,5,6}B={350,700,1050,·非連續(xù)，進(jìn)一步體會(huì)關(guān)注自變量取值范圍的重要性?！栴}3給出北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)變化圖.如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時(shí)刻th的空氣質(zhì)·I是的函數(shù)嗎?為什么?·這里的對應(yīng)關(guān)系是什么?僅僅描述"因?yàn)槿我庖粋€(gè)時(shí)間t都有唯一一個(gè)AQI的值與之對應(yīng)"夠嗎?(1)"給定t的值",怎么給?(2)"通過圖形能確定唯一的I與之對應(yīng)",怎么找?·這個(gè)函數(shù)有解析式嗎?怎么表示這個(gè)函數(shù)?·模仿問題1,你能用準(zhǔn)確的集合語言和對應(yīng)關(guān)系描述這個(gè)問題嗎?關(guān)系埋下伏筆.·問題4國際上常用恩格爾系數(shù)r反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高.表3.1-1是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況。你認(rèn)為按表3.1-1給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎?如果是，你會(huì)用怎樣的語言來刻畫這個(gè)函數(shù)?恩格爾·類似問題3做精細(xì)化處理?！け砀裥问奖磉_(dá)的函數(shù)，函數(shù)的多元聯(lián)系表示·上述問題1～問題4中的函數(shù)有哪些共同特征?由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎?·盡管對應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng).·用新定義描述一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)·構(gòu)建問題情境，解釋函數(shù)y=x(10-x)的對應(yīng)關(guān)系·概念的引入——從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問·概念屬性的概括——提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性；·概念的明確與表示——下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述(文字的、符號的);·概念的辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義(恰當(dāng)使用反例);·概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概·納入概念系統(tǒng)——建立與相關(guān)概念的聯(lián)系?！て渌嚓P(guān)概念的形成過程——以數(shù)列為例·數(shù)列：通過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對象·王芳同學(xué)從1歲到17歲的身高依次排成的一列數(shù)記王芳第i歲時(shí)的身高為h;,那么h?=75,h?=87,…,h?=168.我們發(fā)現(xiàn)，h,中的i反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時(shí)的確定位置，即h?=75是排在第1位的數(shù)，h?=87是排在第2位的數(shù)……h(huán)=168是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置.所以，①是具有確定順序的一列數(shù).·通過對這兩個(gè)例子的分析可以發(fā)現(xiàn)，這兩列數(shù)中的每個(gè)數(shù)都有確定的位置，也就是說，整列數(shù)是按照確定的順序排·進(jìn)一步地，從這個(gè)共同特征中可以抽象出數(shù)列的一般形式a1,a?,.,an,…,這實(shí)際上從數(shù)學(xué)的角度揭示了數(shù)列的本質(zhì)特征可以用正整數(shù)按照其中的每個(gè)數(shù)所處的位置編號，并按編號從小到大的次序排列的一列數(shù)?！ぴ诖嘶A(chǔ)上，建立數(shù)列的每一項(xiàng)和它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系n→an,從函數(shù)的角度看數(shù)列，將數(shù)列理解為定義在自然數(shù)集(或自然數(shù)集的有限子集)上的一類離散函數(shù)。·最后，類比函數(shù)的表示方法，可以得到數(shù)列的三種表示方法表格、圖象和通項(xiàng)公式。其中通項(xiàng)公式就是數(shù)列的三、從"一般觀念"出發(fā)研究函數(shù)性質(zhì)，體現(xiàn)研究方法的引導(dǎo)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)·研究函數(shù)性質(zhì)的一般觀念·為什么研究性質(zhì)：通過研究函數(shù)的變化規(guī)律來把握客觀世化會(huì)隨著時(shí)間的推移而有增有減、有快有慢，有時(shí)達(dá)到最大值有時(shí)處于最小值……這些現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加還是減少、什么時(shí)候函數(shù)值最觀察圖象,描述變化規(guī)律結(jié)合圖、表，用自然語言描述變化規(guī)律用數(shù)學(xué)符號語言描述變化規(guī)律函數(shù)的奇偶性首先，讓學(xué)生畫出兩個(gè)具體函數(shù)f(x)=x2和g(x)=2—|x|它們"都是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形";接下來，對函數(shù)f(x)=x2,取自變量的一些特殊值，觀察相進(jìn)一步地，從函數(shù)解析式角度進(jìn)行推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)"對于函數(shù)f(x)=x2,Vx∈R,都有f-x)=(-x)2=x2=f(x)";對函數(shù)g(x)也進(jìn)行類似操作；函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)。圖象圖象YyX定義城R值域性質(zhì)(1)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=1(2)減函數(shù)(2)增函數(shù)xy-1012質(zhì)是其本身的固有屬性，不是由它的圖象決定的。要注意"回到解析式",結(jié)合解析式用符號語言描述變化規(guī)律。·也可以從函數(shù)定義出發(fā)研究性質(zhì)，再利用函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的圖象，使學(xué)生對函數(shù)的性質(zhì)有更本質(zhì)的認(rèn)識?！ず瘮?shù)關(guān)系是平面上點(diǎn)的集合，在很多情況下，函數(shù)是滿足一定條件的曲線。因此，與解析幾何、向量幾何一樣，函數(shù)也是數(shù)形結(jié)合的載體，函數(shù)的不同表示法(解析法、圖象法、表格法)也反映了函數(shù)數(shù)形結(jié)合的特征。·從數(shù)形結(jié)合的角度理解函數(shù)，也使得我們既可以利用函數(shù)的圖形直觀，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；也可以從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，研究函數(shù)的圖象。●例：正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)·提出研究問題：根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)該如何研究正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)?你能用不同的方法研究正切函數(shù)嗎?引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度，從正切函數(shù)的定義出發(fā)研究它的性質(zhì)，再利用性質(zhì)畫正切函數(shù)的圖象。·研究周期性和奇偶性：根據(jù)誘導(dǎo)公式，從代數(shù)角度獲得正切函數(shù)的周期性和奇偶性。·你認(rèn)為正切函數(shù)的周期性和奇偶性對研究它的圖象和性質(zhì)會(huì)用什么幫助?引導(dǎo)學(xué)生然后根據(jù)周期性和奇偶性，將正切函數(shù)在整個(gè)定義域的圖象和性質(zhì)問題歸結(jié)為區(qū)間上的圖象與性質(zhì)。數(shù)的周期性和奇偶性，結(jié)合上的函數(shù)圖象特征，拓展得到正切函數(shù)到整個(gè)定義域上的圖象?！ぱ芯繂握{(diào)性：在觀察圖象的基礎(chǔ)上，歸納概括出正切函數(shù)·關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)·兩個(gè)難點(diǎn)："函數(shù)值隨自變量的增大而增大(減小)"轉(zhuǎn)化·用"例—規(guī)"法教學(xué)效果不理想的原因：單調(diào)性判斷規(guī)則本身的抽象性；定量化方法的構(gòu)造性。學(xué)生在此之前沒有學(xué)過類似的方法，他們的認(rèn)知準(zhǔn)備不充分。·借助實(shí)例先給出單調(diào)性判斷規(guī)則●圖象在y軸左側(cè)部分從左到右是下降的，也就是說，當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小.用符號語言描述，就是任意取時(shí)，有f(x?)>f(x?)(為什么?).這時(shí)我們就說函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(一o,0)上是單調(diào)遞減的.·用規(guī)則再判斷。函數(shù)f(x)=|x|,f(x)=-x2各有怎樣的單調(diào)性?·給出定義：單調(diào)遞增(遞減)、增(減)函數(shù)·通過問題"設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎?你能舉例說明嗎?"讓學(xué)生辨析，從而理解規(guī)則中"Vx?,x?∈D"的必要性。四、重視背景和應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)·一般的函數(shù)概念："復(fù)興號"高鐵運(yùn)行、空調(diào)維修工人的工。指數(shù)函數(shù)刻畫了呈現(xiàn)"指數(shù)增長"的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象?，F(xiàn)實(shí)世界中，細(xì)胞分裂、人口增長、放射性物質(zhì)的衰減等呈現(xiàn)了這種運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律；通過某景區(qū)游客人數(shù)增長的問題和碳·三角函數(shù)刻畫周期運(yùn)動(dòng)。教科書在三角函數(shù)的開篇語中列舉了大量現(xiàn)實(shí)世界中的周期變化現(xiàn)象，如晝夜交替、四季簡諧振動(dòng)的位移變化、交變電流的變化等。在三角函數(shù)的運(yùn)用勻速圓周運(yùn)動(dòng)這一最簡單的周期變化的背景，以加深數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。教科書也是通過大量過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對象"的特·導(dǎo)數(shù)是定量地、精確地刻畫運(yùn)動(dòng)變化的。教科書從研究"高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度"的問題出發(fā)，結(jié)合刻畫其在跳水過程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度，從平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫其在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度；在此基礎(chǔ)上，通過對拋物線的切線的研究，通過由割線逼近切線的過程，由割線的斜率逼近切線的斜率。從瞬時(shí)速度和切線斜率這兩個(gè)經(jīng)典的問題引出導(dǎo)數(shù)概念，讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的·重視應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識數(shù)如何刻畫客觀世界事物的變化規(guī)律，逐漸掌握建立函數(shù)·函數(shù)的應(yīng)用(一):個(gè)稅問題、汽車行駛中速率的變化問。函數(shù)的應(yīng)用(二):馬爾薩斯人口模型、利用碳14推測良渚遺址年代、投資方案的選擇、獎(jiǎng)勵(lì)方案的制訂。既包括用已知模型解決實(shí)際問題，也包括選擇合適的模型解決實(shí)納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計(jì)算公式為個(gè)稅稅額=應(yīng)納稅所得額×稅率一速算扣除數(shù).①應(yīng)納稅所得額的計(jì)算公式為應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額一基本減除費(fèi)用一專項(xiàng)扣除一專項(xiàng)附加扣除一依法確定的其他扣除.其中，“基本減除費(fèi)用”(免征額)為每年60000元.稅率與速算扣除數(shù)見表3.1-5.級數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率(%)130234567(1)設(shè)全年應(yīng)納稅所得額為t,應(yīng)繳納個(gè)稅稅額為y,求y=f(t),并畫出圖象；(2)小王全年綜合所得收入額為189600元，假定繳納的基本養(yǎng)老保險(xiǎn)、基本醫(yī)療保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是8%,2%,1%,9%,專項(xiàng)附加扣除是52800元，依法確定其他扣除是4560元，那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個(gè)稅?分析：根據(jù)個(gè)稅產(chǎn)生辦法，可按下列步驟計(jì)算應(yīng)繳納個(gè)·中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感?·通過實(shí)測數(shù)據(jù)建立茶水水溫關(guān)于時(shí)間的函數(shù)模型，將該茶水溫度的實(shí)測過程轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間估計(jì)的問題。使得不用時(shí)刻測試水溫，根據(jù)函數(shù)模型，通過簡單計(jì)算就可以知道大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感.收集數(shù)據(jù)水溫/℃書不一致，不同小組也可能不一致.·散點(diǎn)圖的分布狀況呈遞減狀態(tài)，學(xué)生可能會(huì)提出各種遞減函數(shù)作為模型，結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的變化特征，指導(dǎo)學(xué)生做出選擇.·所選函數(shù)一般只能大致反應(yīng)茶水溫度變化的局部規(guī)律，難以做到準(zhǔn)確刻畫每一個(gè)具體數(shù)據(jù)，因此，建立模型之后需要對模型進(jìn)行檢驗(yàn).五、重視問題引導(dǎo)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力近發(fā)展區(qū)"內(nèi)，提出恰當(dāng)?shù)摹W(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升發(fā)現(xiàn)和提出問·在章、節(jié)開篇，提出引導(dǎo)性問題，整體構(gòu)建研究思路良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區(qū)良渚鎮(zhèn)，1936年首次發(fā)現(xiàn).這里的巨型城址，面積近300萬平方米，包括古城、水壩和多處高等級建筑.考古學(xué)家利用遺址中遺存物碳14的殘留量測定，古城存在時(shí)期為公元前3300年～前2500年.你知道考古學(xué)函數(shù).指數(shù)函數(shù)在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.例如，在自然條件下，細(xì)胞的分裂、人口的增長、放射性物質(zhì)的衰減等問題，都可以利用指數(shù)函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來刻畫它們的變化規(guī)律.方法.在本章，我們將類比冪函數(shù)的研究方法，學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和差異進(jìn)行比較.在此基礎(chǔ)上，通過解決簡單實(shí)際問題，體會(huì)如何我們知道，數(shù)列是一種特殊的函數(shù).在函數(shù)的研究中，內(nèi)容(如單調(diào)性、奇偶性等)后，通過研究基本初等函數(shù)，對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型.類似地，在了的數(shù)列，建立它們的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并運(yùn)用它與應(yīng)用.下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡單的數(shù)列入手.我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”,類比等差數(shù)列的研究在必修第一冊中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識定性地研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長速度的差異，知道"對數(shù)增長"是越來越慢的，"指數(shù)爆炸”比“直線上升”快得多.進(jìn)一步地，能否精確定量地刻畫變化速度的快慢呢?下面我們就來研究這個(gè)問題.(小)值等性質(zhì).在本章前兩節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念刻畫了函數(shù)的局部變化.能否利用導(dǎo)數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢?本節(jié)我們就來討論這個(gè)問題.數(shù)學(xué)本質(zhì)·三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：結(jié)合誘導(dǎo)公式的來龍去脈，通過推廣、特殊化等環(huán)環(huán)相扣地給出了一條觀察事物(情景)、提出問題、分析問題、解決問題的線索，使學(xué)生在獲得誘導(dǎo)公式的過程中，體會(huì)借助單位圓的對稱性研究三角函數(shù)·根據(jù)定義，直接得出“公式一”;·探究：誘導(dǎo)公式一表明終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，那么終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢?——探究“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”;·利用圓的幾何性質(zhì)，得到了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系.我們知道，圓的最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性(如奇偶性)也是函數(shù)的重要性質(zhì).由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性?！T導(dǎo)公式的引導(dǎo)語·探究1:如圖5.3-1,在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P.有什么關(guān)系?角β,a的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系?(2)如果作P,關(guān)于x軸(或y軸)的對稱點(diǎn)P3(或P4),那么又可以得到什么結(jié)論?——公式二(π+α)、三(-α)、四(π-a)y與角a有什么關(guān)系?角y與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系? 公式五(π/2-a)——公式五(π/2+a)·三角恒等變換·觀察誘導(dǎo)公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角a的和(或差)的三角函數(shù)與這個(gè)任意角α的三角函數(shù)的恒等關(guān)系。如果把特殊角換為任意角β,那么任意角α與β的和(或差)的三角函數(shù)與α,β的三角函數(shù)會(huì)有什么關(guān)系? 三角恒等變換的導(dǎo)語·探究：如果已知任意角a,β的正弦、余弦，能由此推出a+β,a-β的正弦、余弦嗎?——兩角差的余弦·探究：由公式C(a-p)出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎?——兩角和的余弦·探究：上面得到了兩角和與差的余弦公式.我們知道，用誘導(dǎo)公式五(或六)可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化.你能根據(jù)C(a+β),C(a-β)及誘導(dǎo)公式五(或六),推導(dǎo)出用任意角a,β的正弦、余弦表示sin(a+β),sin(α-β)的公式嗎?·探究：你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從C(a±),S(a±B)出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角a,β的正切·探究：和(差)角公式中，a,β都是任意角.如果令a,β為某些特殊角，就能得到許多有用的公式.你能從和(差)角公式出發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎?你還能得到哪些等式?22π2圓的旋轉(zhuǎn)對稱性圓的旋轉(zhuǎn)對稱性cos2a,tan2a的公式嗎?·歸納：從和(差)角公式、倍角公式的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式存在緊密的邏輯聯(lián)系，請你進(jìn)行歸納總結(jié).弦和正切公式弦和正切公式余弦和正切公式換恒等變換在數(shù)學(xué)中·小結(jié)以問題形式總結(jié)全章內(nèi)容，深化對內(nèi)容的整體理解·小結(jié)是對全章內(nèi)容的梳理，是對本章核心內(nèi)容及反映的主要思想方法和研究方法進(jìn)行歸納概括、去粗取精、由厚到·回顧與思考：在回顧部分對本章進(jìn)行整體概述，闡述本章內(nèi)容之間、本章內(nèi)容與其他內(nèi)容之間的聯(lián)系，揭示本章內(nèi)引導(dǎo)，加強(qiáng)學(xué)生的主動(dòng)思維，通過學(xué)生自己的獨(dú)立思考回憶、總結(jié)全章內(nèi)容，深化對本章核心內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)本章我們先將指數(shù)概念由整數(shù)指數(shù)逐步拓展到了實(shí)數(shù)指數(shù)，并給出了實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則；通過對指數(shù)增長方式的實(shí)例分析，引入指數(shù)函數(shù)的概念，并研究了它的圖象和性質(zhì)，從對數(shù)與指數(shù)的相互聯(lián)系出發(fā)，引入對數(shù)的概念，研究了對數(shù)的運(yùn)算法則；在此基礎(chǔ)上研究了對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是兩種不同類型但聯(lián)系緊密的函數(shù)模型，是刻畫客觀世界中"指數(shù)爆炸""對數(shù)增長"現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.利用函數(shù)零點(diǎn)與方程解之間的關(guān)系，我們引入了函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索了用二分法求方程近似解的思路.二分法是求方程近似解的一般性方法.不同類型的函數(shù)具有不同的增長方式，通過比較，我們認(rèn)識了對數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，并通過具體實(shí)例，學(xué)習(xí)了如何根據(jù)增長速度的差異，選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、刻畫現(xiàn)實(shí)問題變化規(guī)律的方法.本章中，先從整數(shù)指數(shù)拓展到有理數(shù)指數(shù)，再利用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的思想認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪，從而將指數(shù)的概念拓展到實(shí)數(shù)指數(shù)；通過問題"在a2=N(a>0,且a≠1)中，已知a,N求x”引入，按照"定義—表示—性質(zhì)—運(yùn)算(法則)—應(yīng)用"的路徑研究對數(shù).這里要注意體會(huì)數(shù)學(xué)概念推廣的基本思想.整體而言，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究，都是按照"實(shí)際問題一函數(shù)概念—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用”的路徑展開.這里要特別注意在對現(xiàn)實(shí)問題增長方式分析的基礎(chǔ)上引入相應(yīng)的函數(shù)概念，再通過對函數(shù)圖象、性質(zhì)的研究，把握相應(yīng)函數(shù)的本質(zhì).這是建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基礎(chǔ).在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，首先應(yīng)注意分析實(shí)際問題屬于哪種類型的增長方式，這是選擇和建立函數(shù)模型的基礎(chǔ)；其次，要注意理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程，體會(huì)運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的數(shù)學(xué)方法.請你帶著下面的問題，復(fù)習(xí)一下全章內(nèi)容吧!1.指數(shù)和對數(shù)的概念都有現(xiàn)實(shí)背景，你能舉出一些實(shí)際例子嗎?2.概述指數(shù)概念的拓展過程，你能由此說說數(shù)學(xué)概念拓展的過程與方法嗎?3.對數(shù)概念是如何提出來的?它對發(fā)現(xiàn)和提出問題有什么啟示?4.回憶指數(shù)函數(shù)、對數(shù)