“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計(jì)

1/1“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計(jì)“離散型隨機(jī)變量”的教學(xué)反思與再設(shè)計(jì)

20xx年12月2—6日，人民教育出版社A版一般高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教材全國閱歷溝通會(huì)暨“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”全國第9次課題研討會(huì)在山西省晉中市召開，會(huì)上筆者開設(shè)了一節(jié)“離散型隨機(jī)變量”的研討課，引起與會(huì)專家和代表的一陣熱議．自然地，也促使筆者教學(xué)后的深化反思和對本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的重新思索．

第一部分教學(xué)反思

1．教學(xué)設(shè)計(jì)的規(guī)律把握

一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì)，除了對教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解要到位外，至少還必需具備兩個(gè)特點(diǎn):其一，構(gòu)思簡潔；其二，規(guī)律清楚．所謂構(gòu)思簡潔，就是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)有一條主線貫穿，讓人一下子能識別和讀懂教學(xué)內(nèi)容的“核心”和“精華”；所謂規(guī)律清楚，就是整個(gè)設(shè)計(jì)從教學(xué)起點(diǎn)，到教學(xué)過程，再到教學(xué)結(jié)果，各個(gè)環(huán)節(jié)清清晰楚，自然流暢．

“離散型隨機(jī)變量”是人教A版數(shù)學(xué)選修2-3其次章隨機(jī)變量及其分布的起始課，是同學(xué)在學(xué)習(xí)《必修3》概率的基礎(chǔ)上對隨機(jī)現(xiàn)象的進(jìn)一步討論．其教學(xué)內(nèi)容主要是隨機(jī)變量的概念、離散型隨機(jī)變量的概念，以及如何通過離散型隨機(jī)變量展現(xiàn)用實(shí)數(shù)空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的方法，體會(huì)和領(lǐng)悟隨機(jī)變量在討論隨機(jī)現(xiàn)象中的重要作用，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想方法．由于它的引入，大大簡化了各種大事的表示，且使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來討論隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型．應(yīng)當(dāng)說，原教學(xué)設(shè)計(jì)對教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解是到位的，瑕疵是稍多地強(qiáng)調(diào)了“隨機(jī)變量的每一個(gè)取值（X）與它所對應(yīng)的概率值（P）建立了一個(gè)函數(shù)關(guān)系”，與會(huì)有專家認(rèn)為，這個(gè)提法雖然沒有錯(cuò)誤，但對于理解隨機(jī)變量的概念和以后的應(yīng)用沒有多大意義，可以不提（該提法在其次部分的再設(shè)計(jì)中已作刪減）．就該課整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)而言，規(guī)律清晰，問題自然：先從同學(xué)熟知的拋擲一枚骰子（一個(gè)熟識的簡潔的背景）入手，理解隨機(jī)變量的概念；接著讓同學(xué)舉例，在同學(xué)活動(dòng)中完成對“隨機(jī)變量”概念的深刻理解；再在同學(xué)的舉例中辨別隨機(jī)變量的取值類型，形成離散型隨機(jī)變量概念．

2．隨機(jī)變量的概念教學(xué)

老師對隨機(jī)變量概念的熟悉和理解，以及教學(xué)實(shí)行怎樣的方式讓同學(xué)自然“接納”和“領(lǐng)悟”隨機(jī)變量概念，是要下番功夫的，由于這會(huì)直接影響教學(xué)的成敗．為此，探討以下兩個(gè)問題：

（1）為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量

眾所周知，概率論是從數(shù)量上來討論隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支．熟悉隨機(jī)現(xiàn)象就是指：知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中全部可能消失的結(jié)果，知道每一個(gè)結(jié)果消失的概率．對于給定的隨機(jī)現(xiàn)象，首先要描述全部可能消失的結(jié)果．在數(shù)學(xué)上處理時(shí)，一個(gè)常用的、也很自然的做法是用數(shù)來表示結(jié)果，即把每個(gè)結(jié)果對應(yīng)一個(gè)數(shù)．這樣，就建立起了一個(gè)統(tǒng)一的刻畫不同概率模型中所提及的大事的方法，就可以用數(shù)學(xué)分析的方法便利有力地討論隨機(jī)現(xiàn)象了．也就是說，為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對應(yīng)，建立起隨機(jī)變量的概念（概言之，隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)可能結(jié)果的數(shù)量化表示，它是隨試驗(yàn)結(jié)果而變化的量，其本質(zhì)是樣本空間到實(shí)數(shù)集之間的一個(gè)映射）．建立隨機(jī)變量概念后，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感愛好的大事就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來．熟悉隨機(jī)現(xiàn)象就變成熟悉這個(gè)隨機(jī)變量全部可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率，即對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的討論就可以詳細(xì)轉(zhuǎn)化為對隨機(jī)變量概率分布的討論．這樣就可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來討論所感愛好的隨機(jī)1

現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型，這就是新概念產(chǎn)生的必要性，也就是為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的緣由．

我們再從另外一個(gè)角度來熟悉為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量:我們知道概率論是討論隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，也就是從表面上雜亂無章、形式偶然的現(xiàn)象中探究消失象的規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科(這里的規(guī)律性，無非是指各種試驗(yàn)結(jié)果以多也許率消失這一問題)．正是由于如此,探求這個(gè)規(guī)律性的工具應(yīng)當(dāng)適用于各種形式的隨機(jī)現(xiàn)象，而且還應(yīng)當(dāng)簡便、有力．分布函數(shù)

在引入隨機(jī)變量后定義的，，即分布函數(shù)是大事就是這樣一個(gè)工具，但這個(gè)函數(shù)是的概率．分布函數(shù)可以把各種類型的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的概率分布用一個(gè)統(tǒng)一的形式表示出來，它就是一個(gè)一般的函數(shù)，它有很好的分析性質(zhì),便于處理，它的引入使得很多概率論問題得以簡化而歸結(jié)為一般函數(shù)的運(yùn)算,這樣就能利用數(shù)學(xué)分析的結(jié)果討論隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性．

一般地,在學(xué)習(xí)概率論之前，討論一般變量與函數(shù)所采納的思路和方法已為人們所熟識．自然，人們盼望采納熟識的方法和已有的討論成果討論新的課題，隨機(jī)變量的引入無疑也有這方面的緣由．

（2）用怎樣的方式學(xué)習(xí)和理解“隨機(jī)變量”

“隨機(jī)變量”這個(gè)概念（或者簡潔地說隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)的這種對應(yīng)）實(shí)際上早已存在于同學(xué)的意識之中，而且在不少場合都已不自覺地“實(shí)際使用”（對應(yīng)思想），如在玩擲骰子時(shí)會(huì)用“點(diǎn)數(shù)”去表示擲出結(jié)果，在觀看射擊競賽時(shí)會(huì)用“環(huán)數(shù)”去評價(jià)射擊成果，抽獎(jiǎng)時(shí)會(huì)先對獎(jiǎng)券“編號”，隨機(jī)抽取一部分同學(xué)時(shí)會(huì)用“學(xué)號”去代替，觀看競賽足球競賽時(shí)，贏、平、輸分別會(huì)用“得分”去量化、隨便選購商品時(shí)會(huì)用“價(jià)格”去衡量等等，只是沒有“明朗化”．因而，對隨機(jī)變量概念的教學(xué)上筆者覺得沒有必要?jiǎng)?chuàng)設(shè)更多的問題情境，讓同學(xué)來概括提煉．實(shí)際上，把全部試驗(yàn)結(jié)果都數(shù)字化，要讓同學(xué)自己想出來也是非常困難的（盡管已經(jīng)在不自覺地使用）．由于，這要求對數(shù)學(xué)本質(zhì)有很好的熟悉才行．故設(shè)計(jì)中主要考慮如何通過老師有啟發(fā)地提問，同學(xué)有意義地學(xué)習(xí)來“內(nèi)化”這個(gè)概念．教學(xué)中讓同學(xué)覺得問題的提出，概念的發(fā)生、進(jìn)展過程較為自然，能夠從老師的講授，自己的思索中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步討論現(xiàn)實(shí)世界的．故在教學(xué)設(shè)計(jì)中可以從一個(gè)簡潔的同學(xué)熟識的例子（作為新概念引入的背景）入手，循循善誘，使得通過這個(gè)例子，就似乎通過一道門戶，把同學(xué)引入一個(gè)“建構(gòu)”新知的領(lǐng)域．原教學(xué)設(shè)計(jì)中對“隨機(jī)變量”概念的教學(xué)是以拋擲一枚骰子為背景的，對“隨機(jī)變量”的理解，是從函數(shù)（隨機(jī)變量的取值X與隨機(jī)大事發(fā)生的概率P之間的對應(yīng)）和映射（隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)變量的取值的對應(yīng)）的強(qiáng)調(diào)中進(jìn)行的，意在讓同學(xué)體會(huì)隨機(jī)變量在討論隨機(jī)現(xiàn)象中的作用．教學(xué)實(shí)踐后有專家認(rèn)為，讓同學(xué)明白“隨機(jī)變量的取值X與隨機(jī)大事發(fā)生的概率P之間的對應(yīng)（函數(shù)關(guān)系）”對理解隨機(jī)變量的概念沒有多大好處．反思后，筆者認(rèn)為，就本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)而言，只要同學(xué)能熟悉到：建立隨機(jī)變量概念后，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感愛好的大事就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來，“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對應(yīng)概率集合的映射”來表示，即可“把對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的討論詳細(xì)轉(zhuǎn)化為對隨機(jī)變量概率分布的討論”，這樣就可以借用有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來討論隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)了．這樣就可以了．

因此，反思后的教學(xué)設(shè)計(jì)著意彰顯這一主旨．對隨機(jī)變量概念學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)上，分兩步走：第一步是熟悉“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量是一個(gè)變量，其次步是通過建立“一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射”熟悉到在這個(gè)對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，即這是一個(gè)特別的變量，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)隨機(jī)變量概念，并理解隨機(jī)變量的特征：它的取值依靠于試驗(yàn)結(jié)果，具有隨2

機(jī)性，即在試驗(yàn)之前不能確定它的取值，一旦完成一次試驗(yàn)，它的取值隨之確定，且全部可能取值是明確的．進(jìn)一步，如何讓同學(xué)深刻熟悉和理解“隨機(jī)變量”這一概念？原教學(xué)設(shè)計(jì)采納讓同學(xué)舉例的方式，在同學(xué)的活動(dòng)中來完成對“隨機(jī)變量”概念的理解，這一設(shè)計(jì)思路得到同行確定．事實(shí)上，要使同學(xué)真正理解數(shù)學(xué)學(xué)問，必需要有他們身體力行的實(shí)踐，從自己親歷親為的探究思索中獲得體驗(yàn)，從自己不斷深化的概括活動(dòng)中，獲得對數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)的領(lǐng)悟．此處支配同學(xué)舉例正是基于這種考慮，其意義在于：其一，可以觀看同學(xué)是否領(lǐng)悟把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化的思想，以及怎樣把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化（尤其是試驗(yàn)的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的隨機(jī)現(xiàn)象）；其二，體會(huì)引入隨機(jī)變量概念后，隨機(jī)試驗(yàn)中的大事就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來，“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對應(yīng)概率集合的映射”來表示，（即討論隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律就可以轉(zhuǎn)化為討論隨機(jī)變量的概率分布）．

3．離散型隨機(jī)變量概念的形成

離散型隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的下位概念，而下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化．原教學(xué)設(shè)計(jì)中是這樣考慮的：在同學(xué)的舉例中通過分析數(shù)學(xué)化之后的隨機(jī)變量取值的集合的特征來引發(fā)離散型隨機(jī)變量的概念．即通過同學(xué)的舉例，辨別隨機(jī)變量取值的不憐憫況：隨機(jī)變量的取值有可數(shù)的，有不行數(shù)的，有有限個(gè)數(shù)的，有無限個(gè)數(shù)的，從中來歸納概括離散型隨機(jī)變量的特征：全部取值可以一一列出的隨機(jī)變量．如同學(xué)列舉的都是隨機(jī)變量取值為整數(shù)的例子，則引導(dǎo)同學(xué)去發(fā)覺問題、提出問題：隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個(gè)（些）例子，而隨機(jī)變量的取值不是整數(shù)呢？再讓同學(xué)舉例，以此來學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的概念．從這個(gè)角度來提出問題比較自然，這是由于，了解隨機(jī)變量的取值的多種狀況本身也是對隨機(jī)變量概念的熟悉．所以，提出隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？這個(gè)問題本身也是理解和進(jìn)一步熟悉隨機(jī)變量概念的需要．教學(xué)實(shí)踐表明，這樣的設(shè)計(jì)建立在“同學(xué)的最近進(jìn)展區(qū)”，新概念（離散型隨機(jī)變量）的形成水到渠成、渾然天成．而在原教學(xué)設(shè)計(jì)之前，還有過這樣的設(shè)計(jì)：支配如下一個(gè)練習(xí)，然后再提出一個(gè)問題

練習(xí)：下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用隨機(jī)變量表示？若能，請寫出各隨機(jī)變量可能的取值.

（1）在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取4件,取到次品的件數(shù)；

（2）接連不斷地射擊,首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)；

（3）某公園內(nèi)積雪最厚處達(dá)17厘米，則該公園內(nèi)各處的積雪厚度.

問題：以上隨機(jī)變量可能的取值有什么不同?

這里設(shè)計(jì)練習(xí)，一方面起到鞏固隨機(jī)變量概念的目的，另一方面通過比較讓同學(xué)明白隨機(jī)變量的取值可以有不同的狀況，即隨機(jī)變量取值有可數(shù)的，有不行數(shù)的，有有限個(gè)數(shù)的，有無限個(gè)數(shù)的．從中來“同化”離散性隨機(jī)變量的概念．

兩者設(shè)計(jì)相比，明顯是改進(jìn)后的設(shè)計(jì)更為自然、流暢，它意在借助同學(xué)所舉出的例子，辨別隨機(jī)變量的類型，即某些隨機(jī)變量的取值是離散的，從而給出離散型隨機(jī)變量的概念，而不再單獨(dú)用問題的方式(另起爐灶)提出來（把問題中的例子也納入進(jìn)來）．何況辨別隨機(jī)變量的類型也是對“隨機(jī)變量”概念（外延）的進(jìn)一步理解與熟悉．

其次部分反思后的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

概率是討論隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的．熟悉隨機(jī)現(xiàn)象就是指：知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中全部可能消失的結(jié)果，以及每一個(gè)結(jié)果消失的概率．而對于給定的隨機(jī)現(xiàn)象，首先要描述全部可能消失的結(jié)果．在數(shù)學(xué)上處理時(shí)，一個(gè)常用的、也很自然的做法就是用數(shù)來表示結(jié)果，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，使得每個(gè)結(jié)果對應(yīng)一個(gè)數(shù)，這樣就可以通過實(shí)數(shù)空間（定量的角度）來刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，從而就可以利用數(shù)學(xué)工具，用數(shù)學(xué)分析的3

方法來討論所感愛好的隨機(jī)現(xiàn)象．簡言之，隨機(jī)變量是連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來討論隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型，這便是為什么要引入隨機(jī)變量的緣由.

隨機(jī)變量在概率統(tǒng)計(jì)討論中起著極其重要的作用，隨機(jī)變量是用來描述隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的一類特別的變量，隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問題中．隨機(jī)變量就是建立了一個(gè)從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射，這與函數(shù)概念在本質(zhì)上（一種對應(yīng)關(guān)系）是全都的，隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．

離散型隨機(jī)變量是最簡潔的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系．本節(jié)課主要通過離散型隨機(jī)變量展現(xiàn)用實(shí)數(shù)空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的方法．本節(jié)課的重點(diǎn)是熟悉離散型隨機(jī)變量的特征，了解其本質(zhì)屬性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的作用．

二、教學(xué)目標(biāo)解析

1．在對詳細(xì)實(shí)例的分析中，熟悉和體會(huì)隨機(jī)變量對刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和建立隨機(jī)變量概念的必要性，并會(huì)恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量來描述所感愛好的隨機(jī)現(xiàn)象，能敘述隨機(jī)變量可能取的值及其所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；

2．在列舉的隨機(jī)試驗(yàn)中，通過對隨機(jī)變量取值類型的辨別，歸納和概括離散型隨機(jī)變量的特征，形成離散型隨機(jī)變量的概念，并會(huì)利用離散型隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；

3．在舉例、觀看、思索、發(fā)覺中經(jīng)受將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，滲透將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思想方法，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀看和分析問題的意識．

三、教學(xué)問題診斷分析

本節(jié)課同學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是對引入隨機(jī)變量目的與作用的熟悉，以及隨機(jī)變量和一般變量的本質(zhì)區(qū)分．隨機(jī)變量這個(gè)概念其實(shí)早已存在于同學(xué)的意識之中，而且在不少場合都已不自覺的“實(shí)際使用”，只是沒有明朗化．同學(xué)學(xué)習(xí)這一概念就是把這些“實(shí)際使用的”規(guī)章、程序、步驟等進(jìn)一步加以明確．所以，老師的責(zé)任就是為同學(xué)建立隨機(jī)變量這個(gè)概念修通渠道．可通過同學(xué)熟識的擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)讓同學(xué)體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)生，在師生舉例中來體會(huì)隨機(jī)變量概念的進(jìn)展，特殊是諸如拋擲一枚硬幣等試驗(yàn)，其結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，怎么讓同學(xué)自然地想到用數(shù)來表示其試驗(yàn)結(jié)果，并且所用的數(shù)又盡量簡潔，便于討論．教學(xué)中需多舉試驗(yàn)結(jié)果本身已具有數(shù)值意義的實(shí)例，來發(fā)揮正遷移作用．通過多舉例讓同學(xué)理解：一旦給出了隨機(jī)變量，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，熟悉隨機(jī)現(xiàn)象就變成熟悉這個(gè)隨機(jī)變量全部可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率．

另外，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系，從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式看，下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化，上位學(xué)習(xí)依靠的主要是順應(yīng)，上位學(xué)習(xí)一般采納的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．因此，從這一角度來分析，同學(xué)對隨機(jī)變量概念的學(xué)習(xí)和真正理解比離散型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)要困難一些．故在隨機(jī)變量的教學(xué)中，要特殊重視同學(xué)舉例，讓同學(xué)在充分的自主活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過程，體驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，體會(huì)隨機(jī)變量對刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和討論隨機(jī)現(xiàn)象的工具性作用，從而來把握隨機(jī)變量的內(nèi)核．

四、教學(xué)支持條件分析

同學(xué)在必修3概率一章中學(xué)習(xí)過的隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)大事、簡潔的概率模型和必修1中學(xué)習(xí)過的變量、函數(shù)、映射等學(xué)問是學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟和“接納”隨機(jī)變量概念的重要學(xué)問基礎(chǔ)，教學(xué)時(shí)應(yīng)充分留意這一教學(xué)條件；4

另外，為更好地形成隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量兩個(gè)概念，教學(xué)中可借助媒體列舉和呈現(xiàn)豐富的實(shí)例和問題，以留給同學(xué)更多的時(shí)間思索和概括．

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)基本流程

（二）教學(xué)過程

1.理解隨機(jī)變量概念

問題1：拋擲一枚骰子，可能消失的結(jié)果有哪些？概率分別是多少？

[設(shè)計(jì)意圖]以同學(xué)熟識的隨機(jī)試驗(yàn)為例，在復(fù)習(xí)舊知中孕育新知．

[師生活動(dòng)]畫表一，指出試驗(yàn)結(jié)果分別有“1點(diǎn)的面朝上”、“2點(diǎn)的面朝上”、“3點(diǎn)的面朝上”、“4點(diǎn)的面朝上”、“5點(diǎn)的面朝上”、“6點(diǎn)的面朝上”，它們都是基本領(lǐng)件．為了討論這些大事，經(jīng)常把它們分別與一個(gè)數(shù)字對應(yīng)起來．比如，用數(shù)字1與“1點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對應(yīng)，用數(shù)字2與“2點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對應(yīng)，等等．師生共同填寫數(shù)字，形成表二．

引導(dǎo)同學(xué)分析，像這樣“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，說明X是一個(gè)變量．

[設(shè)計(jì)意圖]“用數(shù)字來表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”實(shí)際上早已存在于同學(xué)的意識之中，而且在不少場合都已不自覺地“實(shí)際使用”，如射擊競賽中會(huì)用“環(huán)數(shù)”去表示射擊成果，擲骰子時(shí)會(huì)用“點(diǎn)數(shù)”去表示擲出結(jié)果，抽獎(jiǎng)時(shí)會(huì)先對獎(jiǎng)券“編號”，隨機(jī)抽取一部分同學(xué)時(shí)會(huì)用“學(xué)號”去代替等等，只是沒有明朗化．因而，“用數(shù)字來表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”可以通過老師有啟發(fā)地提問，有意義地講授進(jìn)行，讓同學(xué)覺得問題的提出，概念的發(fā)生、進(jìn)展過程較為自然，能夠從老師的講授中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步討論現(xiàn)實(shí)世界的．

問題2：在這里（指著表二），每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對應(yīng)，這個(gè)對應(yīng)關(guān)系是什么？

[設(shè)計(jì)意圖]建立一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．讓同學(xué)感悟：一旦給出了隨機(jī)變量，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，熟悉隨機(jī)現(xiàn)象就變成熟悉這個(gè)隨機(jī)變量全部可能的取值和取每一個(gè)值時(shí)的概5

率，從而感受把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)字化（成為實(shí)數(shù)）的必要性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的必要性．同時(shí)讓同學(xué)感受概念的從無到有、自然形成的過程．

[師生活動(dòng)]啟發(fā)誘導(dǎo)，引導(dǎo)同學(xué)發(fā)覺在這里建立了一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．形成下表三：拋擲一枚骰子

讓同學(xué)觀看、思索：剛才，用數(shù)字表示試驗(yàn)結(jié)果的變量X，它依據(jù)什么在變化？讓同學(xué)發(fā)覺它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，它的變化是有規(guī)律的，這是個(gè)特別的變量，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，在試驗(yàn)之前不知道會(huì)消失哪個(gè)值（即它的取值依靠于試驗(yàn)結(jié)果，因此取值具有隨機(jī)性，即在試驗(yàn)之前不能確定它的取值，一旦完成一次試驗(yàn)，它的取值隨之確定）．同時(shí)，老師指出：在這個(gè)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系（也即建立了一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射）使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）都用一個(gè)確定的數(shù)字表示（即全部可能取值是明確的）．在這個(gè)對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母表示．

問題3：隨機(jī)變量這個(gè)概念與我們曾經(jīng)學(xué)過的函數(shù)概念有類似的地方嗎?

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)同學(xué)與曾經(jīng)學(xué)過的函數(shù)概念比較，從而加深對隨機(jī)變量概念的理解．

[師生活動(dòng)]“類比”函數(shù)概念，領(lǐng)悟隨機(jī)變量和函數(shù)概念在本質(zhì)上都是一種對應(yīng)關(guān)系，都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)，在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．隨機(jī)變量的取值范圍我們稱為隨機(jī)變量的值域．如拋擲一枚骰子，隨機(jī)變量的值域?yàn)?；表示?點(diǎn)的面朝上”；“3點(diǎn)的引導(dǎo)同學(xué)利用隨機(jī)變量表達(dá)一些大事，例如拋擲一枚骰子中，

面朝上”可以用表示；表示“5點(diǎn)的面朝上”或“6點(diǎn)的面朝上”．

同時(shí)指出：通過映射把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)進(jìn)行對應(yīng)，也就是，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，這樣“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對應(yīng)概率集合的映射”來表示，即可把“對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的討論詳細(xì)轉(zhuǎn)化為對隨機(jī)變量概率分布的討論”．這樣我們就可以借用有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來討論隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)了．

接著，進(jìn)一步指出：在學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)（必修3）》時(shí)我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過概率、方差等概念，學(xué)過簡潔的概率模型，在今后的學(xué)習(xí)中，我們將利用隨機(jī)變量描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象，進(jìn)一步體會(huì)概率模型的作用及運(yùn)用概率思想思索和解決一些實(shí)際問題．（體現(xiàn)章引言）

2．對隨機(jī)變量的深刻熟悉(對對應(yīng)思想——映射的體驗(yàn))

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問題4：你能再舉些例子嗎？（請同學(xué)列舉隨機(jī)試驗(yàn)，并將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化，不必寫出概率）

[設(shè)計(jì)意圖]讓同學(xué)參加舉例，體驗(yàn)將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化（把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極其重要的數(shù)學(xué)方法）和將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程.其意義在于兩個(gè)方面:其一,同學(xué)通過查找(查找本身就是一個(gè)甄別隨機(jī)與非隨機(jī)的過程),選擇自己感愛好的隨機(jī)現(xiàn)象,并學(xué)會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)大事;其二,在將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程中體會(huì)隨機(jī)變量在討論隨機(jī)現(xiàn)象中的重要作用.同時(shí)進(jìn)一步深刻理解隨機(jī)變量的概念,領(lǐng)悟隨機(jī)變量學(xué)習(xí)的重要性，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀看和分析問題的意識．

[師生活動(dòng)]老師關(guān)注同學(xué)的舉例，關(guān)注其關(guān)鍵過程：隨機(jī)試驗(yàn)中全部可能消失的結(jié)果有哪些？如何將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化？要求同學(xué)畫表，體會(huì)映射的過程．老師給同學(xué)充分展現(xiàn)和溝通所舉例子的時(shí)間．同時(shí)，老師也參加舉例（教材中有關(guān)于抽取產(chǎn)品、射擊、掃瞄某網(wǎng)頁等例子可以納入進(jìn)來），深刻體會(huì)將實(shí)際問題（隨機(jī)現(xiàn)象）數(shù)學(xué)化（數(shù)字化）的過程，感受建立隨機(jī)變量概念的重要意義．

對同學(xué)列舉的試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)大事，諸如投擲一枚硬幣的試驗(yàn)等，要引導(dǎo)同學(xué)分析比較，讓同學(xué)體會(huì)對于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，可以用不同的隨機(jī)變量來表示．但用哪兩個(gè)數(shù)字來表示，主要是要盡量簡潔，合理，便于討論．如表四：拋擲一枚骰子

在同學(xué)舉例中學(xué)習(xí)如何用隨機(jī)變量去定義試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)大事（中間表示映射的一欄表格可以省略）．

問題5：任何隨機(jī)試驗(yàn)的全部結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示嗎？

[設(shè)計(jì)意圖]讓同學(xué)領(lǐng)悟任何隨機(jī)試驗(yàn)的全部結(jié)果都可以用數(shù)字來表示（試驗(yàn)結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的可以通過賦值，將其數(shù)量化），同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用不同的數(shù)字表示，表示的原則主要是有實(shí)際意義，簡潔合理，便于討論．

3．形成離散型隨機(jī)變量概念

問題6：隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個(gè)（些）例子，而隨機(jī)變量的取值不是整數(shù)呢？

[設(shè)計(jì)意圖]關(guān)注同學(xué)的舉例，借同學(xué)舉出的例子，引導(dǎo)分析數(shù)學(xué)化之后的隨機(jī)變量取值的集合的特征（一個(gè)新概念產(chǎn)生之后，我們應(yīng)當(dāng)端詳它一番），辨別隨機(jī)變量的類型，即某些隨機(jī)變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機(jī)變量的概念．假如同學(xué)列舉的都是離散型隨機(jī)變量，則老師可啟發(fā)