向量的投影課件

一、向量的投影及其性質(zhì)

定義6

一、向量的投影及其性質(zhì)

定義6向量的投影課件證于是證于是類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.定義7設(shè)有兩個(gè)非零向量α，β，任取空間一點(diǎn)O，作OA=α,OB=β，規(guī)定不超過(guò)π的∠AOB(設(shè)φ=∠AOB，O≤φ≤π)稱為向量α與β的夾角.αβoAB記作

類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量л空間一點(diǎn)在軸上的投影定義8

設(shè)已知空間一點(diǎn)A以及一軸l，通過(guò)點(diǎn)A作軸l

的垂直平面π，那么平面π與軸l的交點(diǎn)A′叫做點(diǎn)A在軸l上的投影.

л空間一點(diǎn)在軸上的投影定義8設(shè)已知空間一點(diǎn)A空間一向量在軸上的投影或，軸l叫做投影軸

定義9已知向量AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸l上的投影分別為A’和B’，那末軸l上的有向線段A’B’的值A(chǔ)’B’叫做向量AB在軸l上的投影.

=A’B’即空間一向量在軸上的投影或，軸l叫做投影軸定義9證性質(zhì)1(投影定理)

向量的投影具有下列性質(zhì)：

證性質(zhì)1(投影定理)向量的投影具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1的說(shuō)明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；性質(zhì)1的說(shuō)明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量性質(zhì)2由下面圖形很容易證明該性質(zhì).推廣：性質(zhì)2由下面圖形很容易證明該性質(zhì).推廣：性質(zhì)3向量與數(shù)的乘積在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘積，即Prjlα=λPrjlα證設(shè)α與l軸的夾角為φ，

λ>0λαφ1

=

φφ1=π-

φλαα

λ<0λα與l軸的夾角為φ1，當(dāng)λ>0時(shí)，φ1=φ

=λPrjlα；

由性質(zhì)1，Prj(λα)=|λα|cos(φ1)=λ|α|cosφ性質(zhì)3向量與數(shù)的乘積在軸上的投影等于向量在軸上的投影當(dāng)λ<0時(shí)φ1=π-φλ>0λαφ1

=

φφ1=π-

φλαα

λ<0=λPrjlα；

Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1)=-λ|α|(-cosφ)當(dāng)λ=0時(shí)=λPrjlα；

Prj(λα)=0當(dāng)λ<0時(shí)φ1=π-φλ>0λαφ1=φφ1=π-橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)這三條軸分別叫做x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；過(guò)空間一個(gè)定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)，且一般具有相同的長(zhǎng)度單位.橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)這三條軸橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.

即以右手握住軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向軸以角度轉(zhuǎn)向軸正向時(shí)，大拇指的指向就是軸的正向.

這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)(或原點(diǎn)).橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的正方Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間直角坐標(biāo)系的八個(gè)卦限Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間直角坐標(biāo)系的八個(gè)卦限空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為三、向量在坐標(biāo)軸上的分量與向量的坐標(biāo)

我們把起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量r=OM稱為點(diǎn)M的向徑.MABC向量OM在坐標(biāo)軸上的投影向量分別為OA、OB、OC,它們稱為向量OM

在x軸、y軸和z軸上的分向量.三、向量在坐標(biāo)軸上的分量與向量的坐標(biāo)我們把起點(diǎn)在坐在坐標(biāo)軸ox、oy、oz上，以O(shè)為起點(diǎn)分別取三個(gè)單位向量i、j、k,其方向與三坐標(biāo)軸的正向相同，稱它們?yōu)榛締挝幌蛄?

顯然，

OM=xi+yi+zk，

其中x,y,z是向徑OM在坐標(biāo)軸上的投影，也就是終點(diǎn)M的坐標(biāo).

MABCijk在坐標(biāo)軸ox、oy、oz上，以O(shè)為起點(diǎn)分別取三個(gè)單位

定義10

設(shè)空間直角坐標(biāo)系中有向量α，把它平移，使起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，M為向量α的終點(diǎn)，則終點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y、z也叫做向量α的坐標(biāo).記作α=xi+yj+zk=(x,y,z)，它叫做向量的坐標(biāo)形式.

α=xi+yj+zk中xi,yj,zk分別叫做向量α在x軸、y軸、z軸上的分向量.xi+yj+zk的稱為α坐標(biāo)分解式。

MABCijk定義10設(shè)空間直角坐標(biāo)系中有向量α，把它平移，使起點(diǎn)向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影(即向量的坐標(biāo))有本質(zhì)的區(qū)別:注意向量α在坐標(biāo)軸上的投影是三個(gè)數(shù)x、y、z,

而向量α在坐標(biāo)軸上的分向量是三個(gè)向量：xi=(x,0,0),yj=(0,y,0),zk=(

0,0,z).

向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影(即向量

利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法及向量與數(shù)的乘法的運(yùn)算如下：

設(shè)α=x1i+y1j+z1k=(x1,y1

,z1),α+β=（x1+x2）i+（y1+y2）j+（z1+z2)k

=(x1+x2,y1+y2

,z1+z2

).

α-β=（x1-x2)i+(y1-y2)j+(z1-z2)k則有：=(x1-x2

,y1--y2

,z1-z2)

β=x2i+y2j+z2k=(x2,y2,z2).

λα=λ(x1+y1j+z1k)=(λx1,λy1,λz1)(λ為實(shí)數(shù))=λx1i+λy1j+λz1k利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法及向量與數(shù)的乘法的例6兩定點(diǎn)為M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，求向量M1M2的坐標(biāo).

解由向量的三角形法則可得M1M2=OM2-OM1，

而OM2=(x2,y2,z2),OM1=(x1,y1,z1)，

所以

M1M2

=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)例6兩定點(diǎn)為M1(x1,y1,z1）和M2(x向量M1M2的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：特殊地：由上例知：對(duì)于空間任意兩定點(diǎn)為M1(x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，向量M1M2的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)設(shè)于是：當(dāng)x1,y1

,z1之一為0，當(dāng)x1

,y1

,z1有兩個(gè)為0，如x1=0,y1

,z

1時(shí),平行應(yīng)理解為：如x1=y1=0,時(shí)，平行應(yīng)理解為：（x2,y2

,z2)=λ(x1

,y1,z1)時(shí)β∥α

設(shè)于是：當(dāng)x1,y1,z1之一為0，當(dāng)x1,y1解設(shè)為直線上的點(diǎn)，解設(shè)為直線上的點(diǎn)，由題意知：由題意知：四、向量的模、方向角和方向余弦

M(x,y,z)ABC向量的模與向量坐標(biāo)的關(guān)系

由兩點(diǎn)間距離公式可得向量的模和坐標(biāo)的關(guān)系.向徑OM的模為：|OM|四、向量的模、方向角和方向余弦

M(x,y,z)ABC向當(dāng)向量的起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，設(shè)起點(diǎn)為M1(x1,y1,z1)終點(diǎn)為M2(x2,y2,z2)，則向量M1M2的模為：當(dāng)向量的起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，設(shè)起點(diǎn)為M1(x1,非零向量的方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.Mx非零向量的方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.向量的方向余弦

向量α的方向角α、β、γ的余弦cosα、cosβ、cosγ叫做它的方向余弦.方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.M（x,y,z)x即顯然

x=|OM|cosα,y=|OM|cosβ,z=|OM|cosγ

向量的方向余弦向量α的方向角α、β、γ的余弦cos方向余弦的特征特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟榉较蛴嘞业奶卣魈厥獾兀簡(jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟閯t

例8設(shè)已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

所以方向余弦

cosα=cosβ=方向角

cosγ=解：因

M1M2=則例8設(shè)已知兩點(diǎn)和從而

例9設(shè)已知兩點(diǎn)A(4，0，5)和B(7，1，3)，求方向和AB一致的單位向量.

解

設(shè)與AB方向一致的單位向量為

而則所以從而例9設(shè)已知兩點(diǎn)A(4，0，5)和B(7，1，3)五、小結(jié)1.空間直角坐標(biāo)系2.空間兩點(diǎn)間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（軸、面、卦限）五、小結(jié)1.空間直角坐標(biāo)系2.空間兩點(diǎn)間距離公式（注3.向