與二次函數(shù)相關(guān)的考題分解

精品文檔-下載后可編輯與二次函數(shù)相關(guān)的考題分解函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型.初中階段主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題等.二次函數(shù)在這幾種函數(shù)中起著“紐帶”作用，利用它可以把其它幾種函數(shù)聯(lián)系在一起.各地的中考數(shù)學(xué)試卷中都有考查二次函數(shù)的題目，其考查形式有填空題、選擇題、解答題.這些考題涉及到二次函數(shù)的所有知識(shí)點(diǎn)，下面結(jié)合2022年典型中考題進(jìn)行說明.

1求二次函數(shù)的解析式

例1（山東淄博）如圖1，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).

（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.

圖1析解（1）因?yàn)閽佄锞€y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A，所以Δ=4a2-4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，所以拋物線解析式為y=x2+2x+1；

（2）因?yàn)閥=（x+1）2，所以頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，即點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于C點(diǎn)對(duì)稱，所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x=1時(shí)，y=x2+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-1，0），B（1，4）代入得

-k+b=0，

k+b=4.解得k=2，

b=2.所以直線AB的解析式為y=2x+2.

2考查二次函低枷笥胄災(zāi)

圖2例2（湖北鄂州）如圖2，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=2，且OA=OC，則下列結(jié)論：

①abc>0；②9a+3b+c-1；

④關(guān)于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一個(gè)根為-1a.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

析解由于圖象開口向下，可知a0，所以abc>0，故①正確；根據(jù)圖象可知當(dāng)x=3時(shí)，y>0，所以9a+3b+c>0，故②錯(cuò)誤；由圖象可知OA

綜上可知正確的結(jié)論有三個(gè)，故選C.

3二次函數(shù)與其它函數(shù)聯(lián)系在一起

圖3例3（浙江溫州）如圖3，在ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2.P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PDAC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在P的右側(cè)，且PE=1，連結(jié)CE.P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P停止運(yùn)動(dòng).在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，圖中陰影部分面積S1+S2的大小變化情況是（）.

A.一直減小B.一直不變

C.先減小后增大D.先增大后減小

分析利用勾股定理求出AB，設(shè)PD=x，AB邊上的高為h，根據(jù)ABC的面積求出h，根據(jù)PD∥BC求出AD.構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.

解在RtABC中，因?yàn)椤螦CB=90°，AC=4，BC=2，所以AB=AC2+BC2=42+52=25，設(shè)PD=x，AB邊上的高為h，h=AC?BCAB=455，因?yàn)镻D∥BC，所以PDBC=ADAC，所以AD=2x，AP=5x，所以S1+S2=12?2x?x+12（25-1-5x）?455=x2-2x+4-255=（x-1）2+3-255，所以當(dāng)0

當(dāng)1≤x≤2時(shí)，S1+S2的值隨x的增大而增大.

圖4故選C.

4與幾何知識(shí)聯(lián)系在一起

例4（臺(tái)灣）如圖4，坐標(biāo)平面上，二次函數(shù)y=-x2+4x-k的圖形與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，且k>0.若ABC與ABD的面積比為1∶4，則k值為何？（）

A.1B.12C.43D.45

析解先求出頂點(diǎn)和C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積關(guān)系得出關(guān)于k的方程，解方程即可.

因?yàn)閥=-x2+4x-k=-（x-2）2+4-k，所以頂點(diǎn)D（2，4-k），C（0，-k），所以O(shè)C=k.因?yàn)锳BC的面積=12AB?OC=12AB?k，ABD的面積=12AB（4-k），ABC與ABD的面積比為1∶4，所以k=14（4-k），解得：k=45.故選D.

5利用二次函數(shù)的知識(shí)解決生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題

圖5例5（湖北黃石）科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園.如圖5所示，圖中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示科技館從8∶30開門后經(jīng)過的時(shí)間（分鐘），縱坐標(biāo)表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù).圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為

y=ax2，0≤x≤30，

b（x-90）2+n，30≤x≤90，10：00之后來的游客較少可忽略不計(jì).

（1）請(qǐng)寫出圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過684人，后來的人在館外休息區(qū)等待.從10：30開始到12：00館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時(shí)，館外等待的游客可全部進(jìn)入.請(qǐng)問館外游客最多等待多少分鐘？

析解（1）把（30，300）和（90，700）分別代入y=ax2，0≤x≤30，

b（x-90）2+n，30≤x≤90，得300=a×302，所以a=13，700=b（90-90）+n，所以n=700.

當(dāng)n=700.a=13時(shí)，有b×（30-90）2+700=13×302，所以b=-19.

所以y=13x2，0≤x≤30，

-19（x-90）2+700，30≤x≤90，

（2）首先要求出館內(nèi)人數(shù)到達(dá)684人所用的時(shí)間，此時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)的第二段表達(dá)式，-19（x-90）2+700=684，所以x=78.由684人減少到624人需要684-6244=15（分鐘），所以館外游客最多等待15+30+（90-78）=57分鐘.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）探究：在直線AC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得ACP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）將直尺以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向左平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，平移后的直尺為W′X′Y′Z′，其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點(diǎn)M，與拋物線的其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，可使得以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

分析（1）根據(jù)三角形的面積公式求出m的值，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出a值，從而得出結(jié)論；（2）假設(shè)存在.過點(diǎn)P作y軸的平行線，交x軸與點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)N.根據(jù)拋物線的解析式找出點(diǎn)A的坐標(biāo).設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，-12n2+2n+6）（-2

解（1）略.

物線的解析式為y=-12x2+2x+6.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，-12n2+2n+6）（-2

因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，-12n2+2n+6），所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，n+2）.因?yàn)镾ACP=12PN?（xC-xA）=

-32（n-1）2+272，所以當(dāng)n=1時(shí)，SACP取最大值，最大值為272，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，152）.所以在直線AC上方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使得ACP的面積最大，面積的最大值為272，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，152）.

因?yàn)镋F=2，且點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（12，0）.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（12-2t，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（12-2t-2，0+2），即N（10-2t，2）.

因?yàn)辄c(diǎn)N（10-2t，2）在拋物線y=-1