湖南省益陽市乍埠鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

湖南省益陽市乍埠鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={x|≥0}，B={x|log2x＜2}，則（?RA）∩B=(

)A．（0，3） B．（0，3] C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）參考答案：A【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；分析法；集合．【分析】求出集合A，B，利用集合的基本運(yùn)算即可的結(jié)論．【解答】解：集合A={x|≥0}=（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞），∴（?RA）=[﹣1，3）B={x|log2x＜2}，∴，∴B=（0，4），∴（?RA）∩B=（0，3）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解集及其集合間的運(yùn)算．比較基礎(chǔ)．2.若，則向量與的夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，那么的公比為（

）A

B

C

D參考答案：C略4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（A） （B）

（C） （D）參考答案：C5.已知全集，，則A.

B.

C.或

D.參考答案：A略6.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中，有，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，，則（

）A．16

B．8

C.4

D．2參考答案：A在等差數(shù)列中，，由得，所以或，因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，所以，又因?yàn)?，故選A.

7.已知向量，滿足+2=0，（+）·=2，則·=（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，即可求出的值．【解答】解：向量，滿足+2=，即++=，∴+=﹣，又（）=2，∴﹣?=2，∴=﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的問題，是基礎(chǔ)題．8.=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D10.已知P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則△F1PF2的面積為A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列,中，是公比為的等比數(shù)列.記若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.參考答案：12.設(shè)F1和F2是雙曲線﹣y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是

．參考答案：1【考點(diǎn)】雙曲線的應(yīng)用；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，根據(jù)根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x﹣y的值，再根據(jù)∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，進(jìn)而根據(jù)2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，進(jìn)而可求得△F1PF2的面積．解：設(shè)|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面積為xy=1故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．要靈活運(yùn)用雙曲線的定義及焦距、實(shí)軸、虛軸等之間的關(guān)系．13.已知a，b均為單位向量，有下列四個(gè)命題：

其中真命題是

。參考答案：14.已知數(shù)列{an}滿足，，則______．參考答案：10000【分析】化簡(jiǎn)遞推關(guān)系式，得，可知數(shù)列是等比數(shù)列，求解即可．【詳解】解：數(shù)列滿足，，可得，可得，數(shù)列是等比數(shù)列，則.故答案為：10000．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．15.四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面SAD是以SD為斜邊的等腰直角三角形，若四棱錐S-ABCD的體積取值范圍為，則該四棱錐外接球表面積的取值范圍是

．參考答案：

16.雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為．參考答案：（﹣4，0），（4，0）,2.【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率即可求出答案．【解答】解：∵雙曲線﹣=1，∴c2=a2+b2=4+12=16，∴c=4，∴雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），（4，0），離心率e===2，故答案為：（﹣4，0），（4，0），217.已知數(shù)列滿足（q為常數(shù)），若∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，則

．參考答案：﹣2或或126三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的方程為，曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）分別求出直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程：（2）點(diǎn)A是曲線C上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是直線l上位于第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)求出的最大值.參考答案：（1），；（2）【分析】（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程易得拋物線方程，再用，，可將直線與曲線的直角坐標(biāo)系方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系方程；（2）直接在極坐標(biāo)系下設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后計(jì)算其比值，求出最大值即可.【詳解】（1）因?yàn)椋灾本€的極坐標(biāo)系方程為，又因?yàn)橹本€為拋物線的準(zhǔn)線，所以拋物線開口朝右，且，即所以曲線的平面直角坐標(biāo)系方程為，因?yàn)椋詷O坐標(biāo)系方程為；（2）設(shè)，則，則，.記，則則因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以所以取最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系方程與極坐標(biāo)系方程得轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)系下的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，如對(duì)極坐標(biāo)系下的運(yùn)算比較陌生也可全部轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下進(jìn)行處理.19.如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6,高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B、D的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.記,用表示四棱錐P-ACFE的體積.（Ⅰ）求的表達(dá)式；（Ⅱ）當(dāng)x為何值時(shí),取得最大值？(Ⅲ）當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值參考答案：(Ⅰ)即;

(Ⅱ),時(shí),

時(shí),

時(shí)取得最大值.(Ⅲ)以E為空間坐標(biāo)原點(diǎn),直線EF為軸,直線EB為軸,直線EP為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則;

,設(shè)異面直線AC與PF夾角是略20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),(其中e是自然界對(duì)數(shù)的底,)（Ⅰ）求的解析式;（Ⅱ）設(shè)求證：當(dāng)，時(shí)，；（Ⅲ）是否存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。參考答案：（Ⅰ）設(shè)，則，所以又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以故函數(shù)的解析式為

（Ⅱ）證明：當(dāng)且時(shí)，，設(shè)

因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以

又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)時(shí)，即（Ⅲ）解：假設(shè)存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值是3，則①當(dāng)，由于，則，故函數(shù)是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．所以，解得滿足題意。綜上可知，存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３21.如圖，在四棱錐中，底面是梯形，且，平面平面，，，．（）求證：平面平面．（）若，為等邊三角形，求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：見解析．解：（）證明：，，，，即，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．（）設(shè)中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，因?yàn)闉榈冗吶切危杂?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，由（）可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為．22.某商場(chǎng)營(yíng)銷人員進(jìn)行某商品的市場(chǎng)營(yíng)銷調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù)，該商品每天的銷量就會(huì)發(fā)生一定的變化，經(jīng)過試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下表：反饋點(diǎn)數(shù)t12345銷量（百件）/天0.50.611.41.7（Ⅰ）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量y（千件）與返還點(diǎn)數(shù)t之間的相關(guān)關(guān)系.試預(yù)測(cè)若返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天的銷量；（Ⅱ）若節(jié)日期間營(yíng)銷部對(duì)商品進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購(gòu)買該商品的消費(fèi)群體十分龐大，經(jīng)營(yíng)銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間（百分比）[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)頻數(shù)206060302010

將對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在[1,3)和[11,13]的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個(gè)區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨脹型”消費(fèi)者的概率.參考答案：(Ⅰ)2千件(Ⅱ)0.8【分析】（Ⅰ）求出樣本中心點(diǎn)，再代入回歸方程得解，把t=6代入回歸方程預(yù)測(cè)若返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天的銷量；（Ⅱ）利用古典概型的概率公式求抽出的3人中至少有1名“欲望膨脹型”消費(fèi)者的概率.【詳解】（Ⅰ）易知，所以1.04=+0.08，所以.則y關(guān)于t的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷量約為2千件.