高等代數(shù)課件（北大版）第一章多項(xiàng)式

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多項(xiàng)式§11對(duì)稱多項(xiàng)式§3整除的概念§2一元多項(xiàng)式§1數(shù)域§7多項(xiàng)式函數(shù)§9有理系數(shù)多項(xiàng)式§8復(fù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解第一章多項(xiàng)式2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元1一、不可約多項(xiàng)式二、因式分解及唯一性定理§1.5因式分解定理2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、不可約多項(xiàng)式二、因式分解及唯一性定理§1.5因式分解2因式分解與多項(xiàng)式系數(shù)所在數(shù)域有關(guān)如：（在有理數(shù)域上）問題的引入（在實(shí)數(shù)域上）（在復(fù)數(shù)域上）2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院因式分解與多項(xiàng)式系數(shù)所在數(shù)域有關(guān)如：（在有理數(shù)域上）問題的引3設(shè)，且，若不能表示成數(shù)域P上兩個(gè)次數(shù)比低的多項(xiàng)式的

定義：乘積，則稱為數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式.說明：①一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約依賴于系數(shù)域.

②一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式.

一、不可約多項(xiàng)式2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院設(shè)，且4③多項(xiàng)式不可約的因式只有非零常數(shù)及其自身的非零常數(shù)倍.或

④多項(xiàng)式不可約，對(duì)有證：設(shè)則

或即或2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院③多項(xiàng)式不可約的因式只有非5不可約.，若

則或

證：若結(jié)論成立.若不整除，則

定理5：不可約，

則必有某個(gè)使得

推論：2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院不可約.6若，則可唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.

所謂唯一性是說，若有兩個(gè)分解式

1.定理：則，且適當(dāng)排列因式的次序后，有

其中是一些非零常數(shù)．

二、因式分解及唯一性定理2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院若，則7證：對(duì)的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納.

時(shí)，結(jié)論成立．下證

的情形.設(shè)對(duì)次數(shù)低于n的多項(xiàng)式結(jié)論成立．（一次多項(xiàng)式都不可約）

若是不可約多項(xiàng)式.

若不是不可約多項(xiàng)式，則存在

且使

結(jié)論顯然成立．由歸納假設(shè)皆可分解成不可約多項(xiàng)式的積.

2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證：對(duì)的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納.時(shí)，結(jié)論成立．8再證唯一性

.⑴可分解為一些不可約多項(xiàng)式的積.都是不可約設(shè)有兩個(gè)分解式多項(xiàng)式.對(duì)作歸納法．

若則必有

2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院再證唯一性.⑴可分解為一些不可約多項(xiàng)式的積.都是不可約設(shè)9假設(shè)不可約多項(xiàng)式個(gè)數(shù)為時(shí)唯一性已證.

由(１)

不妨設(shè)則

使得

(1)兩邊消去由歸納假設(shè)有

即得2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院假設(shè)不可約多項(xiàng)式個(gè)數(shù)為時(shí)唯一性已證.由(10總可表成

對(duì)其中為的首項(xiàng)系數(shù)，為互不相同的，

首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，的標(biāo)準(zhǔn)分解式.稱之為2.標(biāo)準(zhǔn)分解式：2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院總可表成對(duì)其中為的首項(xiàng)系數(shù)，為互不相同的，11說明①若已知兩個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式,則可直接寫出就是那些同時(shí)在的標(biāo)準(zhǔn)分解式中出現(xiàn)的不可約多項(xiàng)式方冪的乘積，所帶方冪指數(shù)等于它在中所帶的方冪指數(shù)中較小的一個(gè)．2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院說明①若已知兩個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式,則12例如，若的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為則有2023/8/12數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例如，若的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為則有2023/8/1數(shù)學(xué)13

②雖然因式分解定理在理論有其基本重要性，但并未給出一個(gè)具體的分解多項(xiàng)式的方法．