定積分的概念新人教版選修

1.5.3定積分的概念定積分的概念內(nèi)容：應(yīng)用求定積分利用定積分求不規(guī)則圖形的面積定積分的幾何意義本課主要學(xué)習(xí)定積分的概念、幾何意義及定積分的性質(zhì).通過求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程,了解定積分的背景，從求曲邊梯形的面積和變速運(yùn)動行駛的路程出發(fā),讓學(xué)生自己感受這兩類問題都是共同的特點(diǎn):特定形式和的極限,從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)定積分的概念,再結(jié)合圖像理解定積分的幾何意義和掌握定積分的運(yùn)算性質(zhì)就容易理解和掌握了.設(shè)置了3個(gè)例題，通過解決具體問題鞏固定積分的概念。

例題設(shè)置難易適度,每個(gè)例題后有針對性的練習(xí),便于學(xué)生鞏固和掌握.另外題型涉及到用定積分的概念、運(yùn)算性質(zhì)和幾何意義去求解問題,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。微積分在幾何上有兩個(gè)基本問題1.如何確定曲線上一點(diǎn)處切線的斜率；2.如何求曲線下方“曲線梯形”的面積。xy0xy0xyo直線幾條線段連成的折線曲線？知識回顧：用“以直代曲”解決問題的思想和具體操作過程：分割以曲代直作和逼近求由連續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法:

(2)以直代曲:任取xi

[xi-1,xi]，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高為f(xi),寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx近似地去代替.(4)逼近:所求曲邊梯形的面積S為(3)作和:取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：xi-1y=f(x)x

yObaxixi(1)分割:在區(qū)間[a,b]上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間:每個(gè)小區(qū)間寬度⊿x

如果當(dāng)n+∞時(shí)，Sn就無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作：從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四個(gè)步驟”:分割---以直代曲----求和------逼近.

1.曲邊梯形面積問題;2.變力作功問題;3.變速運(yùn)動的距離問題.我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分的定義

它們都?xì)w結(jié)為:分割、近似求和、取逼近值問題情境:定積分的定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)的長度為,在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),依次為x1,x2,…….xi,….xn,作和如果無限趨近于0時(shí),Sn無限趨近于常數(shù)S,那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作:.定積分的相關(guān)名稱：

———叫做積分號，f(x)dx—叫做被積表達(dá)式，

f(x)——叫做被積函數(shù),

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分下限積分上限按定積分的定義，有：

(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為

(2)設(shè)物體運(yùn)動的速度v=v(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間[a,b]內(nèi)運(yùn)動的距離s為

(3)設(shè)物體在變力F=F(r)的方向上有位移，則F在位移區(qū)間[a,b]內(nèi)所做的功W為注：定積分?jǐn)?shù)值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān),與積分變量記號無關(guān)1.由曲線y=x2+1與直線x=1,x=3及x軸所圍成的曲邊梯形的面積,用定積分表示為

.中,積分上限是

,積分下限是

,積分區(qū)間是

.2-2[-2,2]3.定積分=

.8函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分能否為負(fù)的?定積分

定積分

=

.定積分的幾何意義當(dāng)

f(x)≥0，定積分的幾何意義就是

bAoxyay=f(x)S曲線y=f(x)，直線x=a、x=b、

y=0所圍成的曲邊梯形的面積當(dāng)函數(shù)f(x)

0，x

[a,b]時(shí)定積分

幾何意義就是位于x

軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù).oxyaby=f(x)S用定積分表示下列陰影部分面積：S=______;S=______;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5S=______;XOyy=cosx當(dāng)函數(shù)f(x)在x

[a,b]有正有負(fù)時(shí),

定積分幾何意義就是圖中幾個(gè)曲邊圖形面積的代數(shù)和,(x軸上方面積取正號,x軸下方面積取負(fù)號)OXS2S1yS3定積分的幾何意義：

在區(qū)間[a,b]上曲線與x軸所圍成圖形面積的代數(shù)和(即x軸上方的面積減去x軸下方的面積).-465OxyAB例1：計(jì)算下列定積分.

求定積分，只要理解被積函數(shù)和定積分的意義，并作出圖形，即可解決.

定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)3.Ox

yab

y

f(x)Ｃ例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3.解：xyf(x)=sinx1-1１．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的逼近值．2．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取逼近精確值——定積分求近似以直（不變