河南省洛陽市理工學院附屬中學高三數(shù)學文期末試題含解析

河南省洛陽市理工學院附屬中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知二次函數(shù)的導函數(shù)為，且＞0，的圖象與x軸恰有一個交點，則的最小值為()參考答案：C略2.設(shè)復數(shù)z=，則z=（）A．1+i B．1﹣i C．1 D．2參考答案：C【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由求解．【解答】解：∵z==，∴z=|z|2=1．故選：C．3.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是A.3

B.5

C.7

D.9參考答案：B4.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C:相切,則該雙曲線離心率等于(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.若變量x，y滿足，則x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，然后結(jié)合x2+y2的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與原點距離的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，聯(lián)立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故選：C．6.“”是“”成立的（

） A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B7.已知b是實數(shù)，若是純虛數(shù)，則b=(

)A．2 B．﹣2 C． D．參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】利用復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可得出．解：∵==是純虛數(shù)，則b=，解得b=2．故選：A．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)集合，，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點A．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度B．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度C．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向左平行移動個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度參考答案：【知識點】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).C3【答案解析】A解析：解：根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換可知，橫坐標伸長到原來的2倍可得，再向右平行移動個單位長度，所以A正確.【思路點撥】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換方法，可依次進行變換，再找出正確選項.10.一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體棱長的最大值為（

）（A）2

（B）3

（C）1

（D）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在中，已知，,，點為邊上一點，滿足，點是上一點，滿足，則

．參考答案：考點：數(shù)量積的應(yīng)用，平面向量的幾何應(yīng)用由題知：

所以

所以BE=。

故答案為：12.如圖所示，在正方形中，點為邊的中點，點為邊上的靠近點的四等分點，點為邊上的靠近點的三等分點，則向量用與表示為

．參考答案：13.如圖，圓內(nèi)的正弦曲線

與軸圍成的區(qū)域記為(圖中陰影部分)，隨機往圓內(nèi)投一個點，則點落在區(qū)域內(nèi)的概率是

．參考答案：陰影部分的面積為，圓的面積為，所以點落在區(qū)域內(nèi)的概率是。14.對于任意x∈R，滿足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的所有實數(shù)a構(gòu)成集合A，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集為空集的所有實數(shù)a構(gòu)成集合B，則A∩?RB=

．參考答案：（1，2]考點：交、并、補集的混合運算．專題：集合．分析：分a﹣2為0與不為0兩種情況求出（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立a的范圍，確定出A，求出使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集為空集的所有實數(shù)a的集合確定出B，求出B補集與A的交集即可．解答： 解：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，當a﹣2=0，即a=2時，﹣4＜0，滿足題意；當a﹣2≠0，即a≠2時，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向下，且與x軸沒有交點，即a﹣2＜0，△=4（a﹣2）2+16（a﹣2）＜0，解得：a＜2，﹣2＜a＜2，綜上，a的范圍為﹣2＜a≤2，即A=（﹣2，2]，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集為空集的所有實數(shù)a構(gòu)成的B=（﹣∞，1），∴?RB=．故答案為：（1，2]點評：此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．15.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為_______．參考答案：【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解即可．【詳解】由，得：或，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示；，表示平面區(qū)域內(nèi)取一點到原點的距離的平方，即原點到的距離為，原點到的距離為：，所以，的最小值為＝故答案為：【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單性質(zhì)，考查目標函數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.△ABC外接圓半徑為，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若A=60°，b=2，則c的值為．參考答案：【考點】余弦定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可解得a，利用余弦定理可得：c2﹣2c﹣5=0，解方程即可得解．【解答】解：∵△ABC外接圓半徑為，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若A=60°，b=2，∴由正弦定理可得：，解得：a=3，∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．故答案為：．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.在△ABC中，∠A=，O為平面內(nèi)一點．且，M為劣弧上一動點，且．則p+q的取值范圍為．參考答案：1≤p+q≤2【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，設(shè)外接圓的半徑為r，對=p+q兩邊平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范圍．【解答】解：如圖所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；設(shè)|=r，則O為△ABC外接圓圓心；

∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M為劣弧AC上一動點，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范圍是1≤p+q≤2．故答案為：1≤p+q≤2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．參考答案：(Ⅰ)當時，，或。函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為………………

3分(Ⅱ)，當，單調(diào)增。當，單調(diào)減.單調(diào)增。當，單調(diào)減，

…………

8分（Ⅲ）令，

,

即，

………12分略19.已知是公差不為零的等差數(shù)列，成等比數(shù)列.求：（I）數(shù)列的通項公式；（II）數(shù)列的前項和.參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，

由成等比數(shù)列,得.

………3分

解得（舍去）,

故的通項公式為.

………6分（Ⅱ）由(I)知，，

（1），（2）

，得

.

……10分

所以從而

………12分略20.設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4。（1）當a=3且曲線過原點時，求的解析式；（2）若在(－∞,+∞)無極值點，求a的取值范圍。參考答案：（1）（2）[1,9]試題分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)方程的兩個根分別為1,4得到關(guān)于的方程組，再依據(jù)且曲線過原點，分別求出的值，從而求得函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)在內(nèi)無極值點，再依據(jù)可知在內(nèi)恒成立，可以得到，解出的取值范圍即可；試題解析：由，得．由于的兩個根分別為1,4，（*）（1）當時，由（*）式得解得，又因為曲線過原點，所以，故．（2）由于，在內(nèi)無極值點，在內(nèi)恒成立．由（*）式得，又．解得，即的取值范圍為．考點：導數(shù)的應(yīng)用；21.已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）+，g（x）=lnx．（1）已知f（x）在[e，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）已知m，n，ξ滿足n＞ξ＞m＞0，且g'（ξ）=，試比較ξ與的大??；（3）已知a=2，是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f（x）=kg（x）在[e，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說明理由．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式比較大?。緦ｎ}】導數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求導，再根據(jù)f（x）在[e，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，得到f′（x）≥0或f′（x）≤0，即可求出a的范圍；（2）由題意得到，構(gòu)造函數(shù)h（x）=2lnx﹣x+，（x＞1），利用導數(shù)求得h（x）的最大值，繼而得到2lnx＜x﹣，令，化簡整理即可得到ξ與的大小關(guān)系；（3）假設(shè)方程f（x）=kg（x）存在兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，且x2＞x1≥e，利用做商法得到，根據(jù)條件左邊大于1，右邊小于1，得到上式矛盾，問題得以證明．【解答】解：（1）∵，∴，∵f（x）在[e，+∞）上單調(diào)，∴或，∴或，∵當x≥e時，，∴…（2）∵，∴設(shè)，則，∴h（x）＜h（1）=0，∴當x＞1時，令，得，∴?，∴，即…（3）假設(shè)方程f（x）=kg（x）存在兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，且x2＞x1≥e，則，即???，∵x2＞x1≥e，∴，而，∴，∴方程不存在兩個不相等的實數(shù)根．…【點評】本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，以及反證法，培養(yǎng)了學生的分類討論的能力，轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于難題．22.已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F(xiàn)為棱BB1的中點，M為線段AC1的中點．求證：（Ⅰ）直線MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．參考答案：【分析】（1）延長C1F交CB的延長線于點N，由三角形的中位線的性質(zhì)可得MF∥AN，從而證明MF∥平面ABCD．（2）由A1A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1A1，由DANB為平行四邊形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC1A1，從而證得平面AFC1⊥ACC1A1．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）延長C1F交CB的延長線于點N，連接AN．因為F是BB1的中點，所以，F(xiàn)為C1N的中點，B為CN的中點．又M是線段AC1的中點，故M