絕對值不等式的類型課件

絕對值不等式的類型及解法絕對值不等式的類型及解法1.含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集.不等式

a>0a=0a<0|x|<a_______________|x|>a___________________________{x|-a＜x＜a}??{x|x＞a或x＜-a}{x∈R|x≠0}R2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法.(1)|ax+b|≤c?____________.(2)|ax+b|≥c?__________________.-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c1.含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集.不等式a1.不等式|x－1|＜2的解集是_____.【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.答案：(－1,3)2.不等式|4－3x|≥2的解集是_____.【解析】|4－3x|≥2?|3x－4|≥2?3x－4≤－2或3x－4≥2，解得或x≥2.答案：1.不等式|x－1|＜2的解集是_____.2.不等式|4－類型一簡單絕對值不等式的解法

1.不等式的解集是_____.2．不等式的解集為______.【解析】1.解得2≤x≤6.答案：［2,6］類型一簡單絕對值不等式的解法【解析】1.答案：［2,【拓展提升】絕對值不等式的常見類型及其解法(1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式.

此類不等式的簡單解法是等價轉(zhuǎn)化法，即①當(dāng)a>0時，|f(x)|<a?-a<f(x)<a.|f(x)|>a?f(x)>a或f(x)<-a.②當(dāng)a=0時，|f(x)|<a無解.|f(x)|>a?f(x)≠0.③當(dāng)a<0時，|f(x)|<a無解.|f(x)|>a?f(x)有意義即可.【拓展提升】絕對值不等式的常見類型及其解法③當(dāng)a<0時，|f(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式.

此類問題的簡單解法是利用平方法，即

|f(x)|<|g(x)|?［f(x)］2<［g(x)］2?［f(x)+g(x)］［f(x)-g(x)］<0.(3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式.

此類不等式的簡單解法是等價轉(zhuǎn)化法，即①|(zhì)f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x),②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(shù)(x)可正也可負(fù)).

若此類問題用分類討論法來解決，就顯得較復(fù)雜.(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式.(3)形如|f(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式.

此類問題的簡單解法是利用等價轉(zhuǎn)化法，即

a<|f(x)|<b(0<a<b)?a<f(x)<b或-b<f(x)<-a.(5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式.

此類問題的簡單解法是利用絕對值的定義，即

|f(x)|<f(x)?x∈?，

|f(x)|>f(x)?f(x)<0.(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式.類型二含多個絕對值不等式的解法

【典型例題】1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集為______.2.不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集為______.【變式練習(xí)】若將題1中的不等式改為求它的解集.類型二含多個絕對值不等式的解法【變式練習(xí)】若將題1中的不【解析】1.|x－1|＞|x－2|?(x－1)2＞(x－2)2所以原不等式的解集為答案：【解析】2.方法一：如圖,設(shè)數(shù)軸上與-1,1對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,那么A,B兩點(diǎn)間的距離為2,因此區(qū)間［-1,1］上的數(shù)都不是不等式的解.設(shè)在A點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)A1到A,B兩點(diǎn)的距離和為3,A1對應(yīng)數(shù)軸上的x.所以-1-x+1-x=3,得同理設(shè)B點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)B1到A,B兩點(diǎn)的距離和為3，B1對應(yīng)數(shù)軸上的x,所以x-1+x-(-1)=3.所以2.方法一：如圖,設(shè)數(shù)軸上與-1,1對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,那從數(shù)軸上可看到，點(diǎn)A1，B1之間的點(diǎn)到A，B的距離之和都小于3；點(diǎn)A1的左邊或點(diǎn)B1的右邊的任何點(diǎn)到A，B的距離之和都大于3，所以原不等式的解集是從數(shù)軸上可看到，點(diǎn)A1，B1之間的點(diǎn)到A，B的距離之和都小于方法二：當(dāng)x≤-1時,原不等式可以化為-(x+1)-(x-1)≥3,解得當(dāng)-1＜x＜1時,原不等式可以化為x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,無解.當(dāng)x≥1時,原不等式可以化為x+1+x-1≥3.所以綜上,可知原不等式的解集為方法二：當(dāng)x≤-1時,原不等式可以化為方法三：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x+1|+|x-1|-3≥0.構(gòu)造函數(shù)y=|x+1|+|x-1|-3,即作出函數(shù)的圖象(如圖).函數(shù)的零點(diǎn)是從圖象可知當(dāng)或時,y≥0.即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集為答案：方法三：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x+1|+|x-1|-3≥0.從圖3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.(1)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,理解絕對值的幾何意義,給絕對值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋.(2)以絕對值的零點(diǎn)為分界點(diǎn),將數(shù)軸分為幾個區(qū)間,利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想.確定各個絕對值符號內(nèi)多項式的_______性，進(jìn)而去掉絕對值符號.(3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.正確求出函數(shù)的_____并畫出函數(shù)圖象(有時需要考查函數(shù)的增減性)是關(guān)鍵.

正、負(fù)零點(diǎn)3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型【互動探究】若將題1中的不等式改為求它的解集.【解析】又2－x≥0，所以x≤2.所以原不等式的解集為【誤區(qū)警示】本題易忽視隱含條件2-x≥0而致誤.【互動探究】若將題1中的不等式改為【拓展提升】|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三種解法：分區(qū)間(分類)討論法\,圖象法和幾何法.分區(qū)間討論的方法具有普遍性,但較麻煩;幾何法和圖象法直觀,但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況.【拓展提升】|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b(2)分區(qū)間(分類)討論的關(guān)鍵在于對絕對值代數(shù)意義的理解,即也即x∈R.x為非負(fù)數(shù)時,｜x｜為x;x為負(fù)數(shù)時,｜x｜為-x,即x的相反數(shù).(2)分區(qū)間(分類)討論的關(guān)鍵在于對絕對值代數(shù)意義的理解,(3)｜x-a｜+｜x-b｜≥c,｜x-a｜+｜x-b｜≤c(c>0)型不等式的圖象解法和畫出函數(shù)f(x)=｜x-a｜+｜x-b｜-c的圖象是密切相關(guān)的,其圖象是折線,正確地畫出其圖象的關(guān)鍵是寫出f(x)的分段表達(dá)式.不妨設(shè)a<b,于是這種圖象法的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù),正確畫出函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的零點(diǎn),體現(xiàn)了函數(shù)與方程結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的思想.(3)｜x-a｜+｜x-b｜≥c,｜x-a｜+｜x-b｜≤c

其他類型的絕對值不等式【典型例題】1.不等式｜2x-3｜＜3x+1的解集是_____.2.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|,如果對任意x∈R,f(x)≥2,則a的取值范圍是_______.3.解不等式：|x2－3|＜2x.其他類型的絕對值不等式【解析】1.|2x-3|<3x+1,由題意知3x+1>0,原不等式轉(zhuǎn)化為-(3x+1)<2x-3<3x+1.以上不等式等價于所以原不等式的解集為答案：【解析】1.|2x-3|<3x+1,由題意知3x+1>0,原2.若a=1,則f(x)=2|x-1|,不滿足題設(shè)條件.若a<1,則?f(x)的最小值為1-a.若a>1,則?f(x)的最小值為a-1.綜上可知，所求a的取值范圍是(-∞,-1］∪［3,+∞).答案：(-∞,-1］∪［3,+∞)2.若a=1,則f(x)=2|x-1|,不滿足題設(shè)條件.3.因為|x2－3|＜2x，所以x＞0，所以|x2－3|＜2x?－2x＜x2－3＜2x?解不等式組得3.因為|x2－3|＜2x，所以x＞0，【拓展提升】含參數(shù)的不等式問題分類及解題策略(1)一類要對參數(shù)進(jìn)行討論，另一類對參數(shù)并沒有進(jìn)行討論，而是去絕對值時對變量進(jìn)行討論，得到兩個不等式組，最后把兩不等式組的解集合并，即得該不等式的解集.(2)解絕對值不等式的基本思想是想方設(shè)法去掉絕對值符號，去絕對值符號的常用手段有以下幾種：形如｜f(x)｜≤g(x)或｜f(x)｜>g(x)的求解方法：(ⅰ)根據(jù)實數(shù)的絕對值的意義分類討論，【拓展提升】含參數(shù)的不等式問題分類及解題策略即(ⅱ)根據(jù)公式：|x|<a?-a<x<a(a∈R且a>0);｜f(x)｜<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x);|x|>a?x>a或x<-a(a∈R且a≥0);｜f(x)｜>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).(ⅲ)根據(jù)|a|2=a2(a∈R)，若不等式兩邊非負(fù),可在不等式兩邊同時平方,如｜f(x)｜≤｜g(x)｜?f2(x)≤g2(x).

即【規(guī)范解答】含參數(shù)的絕對值不等式的解法【規(guī)范解答】因為a∈R,故分以下兩種情況討論：(1)當(dāng)a+1≤0①,即a≤-1時，原不等式無解，即不等式的解集為?【規(guī)范解答】含參數(shù)的絕對值不等式的解法原不等式無解，即不等式(2)當(dāng)a+1>0,即a>-1時，……………………6分原不等式可變?yōu)?a-1<2x+3<a+1.……………8分所以………10分綜上可知，當(dāng)a>-1時，原不等式的解集為②當(dāng)a≤-1時，原不等式的解集為?.

………12分(2)當(dāng)a+1>0,【防范措施】含參數(shù)的絕對值不等式解含參數(shù)的絕對值不等式的題型，容易忽略對參數(shù)的符號進(jìn)行討論，如本例需對a+1的符號進(jìn)行討論，否則易導(dǎo)致錯誤結(jié)果.

【防范措施】1.解關(guān)于x的不等式：|x2-a|<a.【解析】1.當(dāng)a≤0時，不等式的解集為?.當(dāng)a>0時，原不等式等價于-a<x2-a<a?0<x2<2a,所以綜上所述，當(dāng)a≤0時，原不等式的解集為?;當(dāng)a>0時，原不等式的解集為2.若不等式|ax+2|＜6的解集為(－1,2)，則實數(shù)a=______.【類題試解】1.解關(guān)于x的不等式：|x2-a|<a.2.若不等式|ax+2.若不等式|ax+2|＜6的解集為(－1,2)，則實數(shù)a=______.【解析】由|ax+2|＜6得－8＜ax＜4,當(dāng)a＞0時，因為不等式的解集為(－1,2)，所以解得兩值相矛盾.當(dāng)a＜0時，則解得a=－4.綜上得，a=－4.答