七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題01 絕對(duì)值的三種化簡(jiǎn)方法（原卷版）（人教版）

/專題01絕對(duì)值的三種化簡(jiǎn)方法絕對(duì)值版塊的內(nèi)容在我們這學(xué)期比重較大，尤其是絕對(duì)值的化簡(jiǎn)。并且，在壓軸題中，常見的題型是利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值和利用其幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值，本專題就這兩塊難點(diǎn)詳細(xì)做出分析?！局R(shí)點(diǎn)梳理】1.絕對(duì)值的定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|2.絕對(duì)值的意義①代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0；②幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越小。3.絕對(duì)值的化簡(jiǎn)：類型一、利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值例1．有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．例2．有理數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3【變式訓(xùn)練1】已知，數(shù)、、的大小關(guān)系如圖所示：化簡(jiǎn)____．【變式訓(xùn)練2】有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖．（1）判斷正負(fù)，用“>”或“<”填空：，，．（2）化簡(jiǎn)：【變式訓(xùn)練3】有理數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示：（1）填空：______0；______0；______0；（填“＜”、“＞”或“＝”）（2）化簡(jiǎn)：【變式訓(xùn)練4】有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：(1)用“＞”或“＜”填空a_____0，b_____0，c﹣b______0，ab_____0．(2)化簡(jiǎn)：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|．類型二、利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值例1.同學(xué)們都知道，|5-（-2）|表示5與-2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索（1）求|5-（-2）|=________；（2）同樣道理|x+1008|=|x-1005|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)點(diǎn)到-1008和1005所對(duì)的兩點(diǎn)距離相等，則x=________；（3）類似的|x+5|+|x-2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)點(diǎn)到-5和2所對(duì)的兩點(diǎn)距離之和，請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x-2|=7，這樣的整數(shù)是__________．（4）由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【變式訓(xùn)練1】閱讀下面的材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為∣AB∣，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離∣AB∣=∣a-b∣．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_________，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是________，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是___________；(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是________，如果∣AB∣=2，那么x為__________．(3)當(dāng)代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是__________．【變式訓(xùn)練2】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|m﹣n|．那么，數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點(diǎn)之間的距離可以表示為，表示數(shù)y與﹣1兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．（2）如果表示數(shù)a和﹣2的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么a＝；若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）當(dāng)a＝時(shí)，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【變式訓(xùn)練3】（問題提出）的最小值是多少？（閱讀理解）為了解決這個(gè)問題，我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手．的幾何意義是這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么可以看作這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1的距離；就可以看作這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個(gè)點(diǎn)的距離之和．下面我們結(jié)合數(shù)軸研究的最小值．我們先看表示的點(diǎn)可能的3種情況，如圖所示：（1）如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．（2）如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），看出到1和2的距離之和等于1．（3）如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．因此，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)在1，2之間（包括在1，2上）時(shí)，有最小值1．（問題解決）（1）的幾何意義是，請(qǐng)你結(jié)合數(shù)軸探究：的最小值是．（2）請(qǐng)你結(jié)合圖④探究的最小值是，由此可以得出為．（3）的最小值為．（4）的最小值為．（拓展應(yīng)用）如圖，已知使到-1，2的距離之和小于4，請(qǐng)直接寫出的取值范圍是．類型三、分類討論法化簡(jiǎn)絕對(duì)值例1.化簡(jiǎn)：.【變式訓(xùn)練1】若，則的值為_________．【變式訓(xùn)練2】（1）數(shù)學(xué)小組遇到這樣一個(gè)問題：若a，b均不為零，求的值．請(qǐng)補(bǔ)充以下解答過程（直接填空）①當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有2個(gè)正，0個(gè)負(fù)時(shí)，x=；②當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有1個(gè)正，1個(gè)負(fù)時(shí)，x=