非齊次方程的求解問題課件

1幾種常見的固有函數(shù)系的形式(1)(2)(3)(4)以上幾種形式對于一維振動方程、熱傳導方程和矩形域上的拉普拉斯方程是適用的。圓域上的拉普拉斯方程對應的固有函數(shù)系為(5)小結1幾種常見的固有函數(shù)系的形式(1)(2)(3)(4)以上幾種22.4非齊次方程的求解問題本節(jié)考察非齊次方程的定解問題，并介紹一種常用的解法：固有函數(shù)法。下面我們將以三種類型定解問題的解法為例，來說明這種解法的要點與解題步驟。一、有界弦的強迫振動問題二、有限長桿的熱傳導問題(有熱源)三、泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)22.4非齊次方程的求解問題本節(jié)考察非齊次方程的定解問題3一、有界弦的強迫振動問題(54)首先，我們考察下列問題此時，弦的振動是由兩部分干擾引起的：其一是外界的強迫力，其二是弦所處的初始狀態(tài)。由物理意義知，這種振動可以看做是僅由強迫力引起的振動和僅由初始狀態(tài)引起的振動之合成。3一、有界弦的強迫振動問題(54)首先，我們考察下列問題此時4(54)于是，我們可以設問題(54)的解為其中表示僅由強迫力引起的弦振動的位移；而表示僅由初始狀態(tài)引起的弦振動的位移；和分別滿足如下定解問題：4(54)于是，我們可以設問題(54)的解為其中表示僅由強迫5(54)(55)(56)和分別滿足如下定解問題：5(54)(55)(56)和分別滿足如下定解問題：6為此，我們首先討論齊次邊界條件與零初值條件的強迫振動問題：(47)(48)(46)上述問題，可采用類似于線性非齊次常微分方程所用的參數(shù)變易法，并保持這樣的設想：即這個定解問題的解可分解為無窮多個駐波的疊加，而每個駐波的波形仍然是由該振動體的固有函數(shù)所決定。6為此，我們首先討論齊次邊界條件與零初值條件的強迫振動問題：7為此，我們首先討論齊次邊界條件與零初值條件的強迫振動問題：(47)(48)(46)(14)由2.1節(jié)的知識可知，與(46)相應的齊次方程滿足齊次邊界條件(47)的固有函數(shù)滿足7為此，我們首先討論齊次邊界條件與零初值條件的強迫振動問題：8為此，我們首先討論齊次邊界條件與零初值條件的強迫振動問題：(47)(48)(46)因此可知與(46)相應的齊次方程且同時滿足齊次邊界條件(47)的固有函數(shù)系為8為此，我們首先討論齊次邊界條件與零初值條件的強迫振動問題：9(47)(48)(46)第一步：設所求的解為其中是關于的待定函數(shù)。第二步：將方程中的自由項也按上述固有函數(shù)系展成傅里葉級數(shù)：(49)(50)9(47)(48)(46)第一步：設所求的解為其中是關于的待10(47)(48)(46)(50)其中(51)(49)把(49)-(50)代入方程(46)中可得10(47)(48)(46)(50)其中(51)(49)把(11由此得(47)(48)(46)在表達式(49)中利用初值條件(48)得(49)11由此得(47)(48)(46)在表達式(49)中利用初值12(47)(48)(46)于是得如下常微分方程的初值問題(52)應用常微分方程中的參數(shù)變易法或拉氏變換法，得問題(52)的解為(53)12(47)(48)(46)于是得如下常微分方程的初值問題(13應用常數(shù)變易法求解二階線性非齊次常微分方程(*)步驟：1.先寫出出方程(*)所對應的齊次方程的通解形式此時為任意常數(shù)。2.假設非齊次方程(*)的通解形式為(**)將(**)式代入非齊次方程(*)可得滿足13應用常數(shù)變易法求解二階線性非齊次常微分方程(*)步驟：114補充用拉普拉斯變換求解記對方程兩邊作解拉普拉斯變換得因此對上式作拉普拉斯逆變換得14補充用拉普拉斯變換求解記對方程兩邊作解拉普拉斯變換得因此15(47)(48)(46)于是得如下常微分方程的初值問題(52)應用常微分方程中的參數(shù)變易法或拉氏變換法，得問題(52)的解為(53)15(47)(48)(46)于是得如下常微分方程的初值問題(16(47)(48)(46)(53)(49)將代入即得定解問題(46)-(48)的解。16(47)(48)(46)(53)(49)將代入即得定解問17例1

求解下列問題其中均是常數(shù)。解前幾節(jié)的知識可知，與原方程相應的齊次滿足齊次第二類邊界條件的固有函數(shù)滿足方程17例1求解下列問題其中均是常數(shù)。解前幾節(jié)的知識可知，與原18因此可知與方程相應的齊次方程且同時滿足齊次第二類邊界條件的固有函數(shù)系為例1

求解下列問題其中均是常數(shù)。解首先，設所求的解為其中是關于的待定函數(shù)。18因此可知與方程相應的齊次方程且同時滿足齊次第二類邊界條件19例1

求解下列問題其中均是常數(shù)。解將代入原方程化簡得比較等式兩邊系數(shù)即得19例1求解下列問題其中均是常數(shù)。解將代入原方程化簡得比較20中利用初值條件得例1

求解下列問題其中均是常數(shù)。解在20中利用初值條件得例1求解下列問題其中均是常數(shù)。解在21于是，我們得到兩組常微分方程的初值問題利用通解公式有首先當時，利用條件可得21于是，我們得到兩組常微分方程的初值問題利用通解公式有首先22于是，我們得到兩組常微分方程的初值問題(53)利用公式當時，22于是，我們得到兩組常微分方程的初值問題(53)利用公式當23由于23由于24將代入即得所求解為24將代入即得所求解為25二、有限長桿的導熱問題(有熱源)(70)首先，我們考察下列問題此時，導熱現(xiàn)象是由兩部分引起的：其一是內部有熱源，其二是長桿的初始溫度。那么這種導熱現(xiàn)象可以看做是僅由內部熱源引起的導熱和僅由初始溫度引起的導熱之合成。25二、有限長桿的導熱問題(有熱源)(70)首先，我們考察下26于是，我們可以設問題(70)的解為其中表示僅由內部熱源引起的溫度函數(shù)；而表示僅由初始溫度引起的溫度函數(shù)；和分別滿足如下定解問題：(70)26于是，我們可以設問題(70)的解為其中表示僅由內部熱源引27(70)和分別滿足如下定解問題：(*)(**)27(70)和分別滿足如下定解問題：(*)(**)28為此，我們首先討論齊次邊界條件與零初始條件的情形，(58)(59)(57)我們依然用固有函數(shù)法來求這個定解問題的解。以兩端溫度保持0度為例：由2.2節(jié)的知識可知，與(57)相應的齊次方程滿足齊次第一類邊界條件(58)的固有函數(shù)滿足28為此，我們首先討論齊次邊界條件與零初始條件的情形，(5829因此可知與(57)相應的齊次方程且同時滿足齊次第一類邊界條件(58)的固有函數(shù)系為為此，我們首先討論齊次邊界條件與零初始條件的情形，(58)(59)(57)以兩端溫度保持0度為例：29因此可知與(57)相應的齊次方程且同時滿足齊次第一類邊界30(58)(59)(57)第一步：將定解問題的解關于第二步：將方程中的自由項也按上述固有函數(shù)系展成傅里葉級數(shù)：(60)(61)按固有函數(shù)系展開傅里葉級數(shù)30(58)(59)(57)第一步：將定解問題的解關于第二步31(61)其中(62)(60)把(60)-(61)代入方程(57)中可得(58)(59)(57)31(61)其中(62)(60)把(60)-(61)代入方程32由此得在表達式(60)中利用初值條件(59)得(60)(58)(59)(57)32由此得在表達式(60)中利用初值條件(59)得(60)(33于是得如下常微分方程的初值問題(63)應用一階線性微分方程的通解公式或拉氏變換法，得問題(52)的解為(64)(58)(59)(57)33于是得如下常微分方程的初值問題(63)應用一階線性微分方34求解直接利用一階線性微分方程的通解公式得解利用條件即得所以原問題的解可表示為34求解直接利用一階線性微分方程的通解公式得解利用條件即得所35補充用拉普拉斯變換求解記對方程兩邊作解拉普拉斯變換得因此對上式作拉普拉斯逆變換得35補充用拉普拉斯變換求解記對方程兩邊作解拉普拉斯變換得因此36于是得如下常微分方程的初值問題(63)應用一階線性微分方程的通解公式或拉氏變換法，得問題(52)的解為(64)(58)(59)(57)36于是得如下常微分方程的初值問題(63)應用一階線性微分方37(60)將代入即得定解問題(57)-(59)的解。值得指出的是：對于有熱源的有限長桿的熱傳導方程(57)和零初值條件(59),公式(64)是通用的。(64)(58)(59)(57)37(60)將代入即得定解問題(57)-(59)的解。值得指38例2

求解下列問題其中為常數(shù)。解類似于2.1例2中的分析，與原方程相應的齊次滿足齊次邊界條件的固有函數(shù)滿足方程(65)38例2求解下列問題其中為常數(shù)。解類似于2.1例2中的分析39因此可知與方程相應的齊次方程且同時滿足齊次邊界條件的固有函數(shù)系為解首先，設所求的解為例2

求解下列問題其中為常數(shù)。(65)(66)39因此可知與方程相應的齊次方程且同時滿足齊次邊界條件的固有40例2

求解下列問題其中為常數(shù)。(65)解再將按上述固有函數(shù)系展成傅里葉級數(shù)(67)其中(66)40例2求解下列問題其中為常數(shù)。(65)解再將按上述固有函41把(66)-(67)代入(65)的方程中可得例2

求解下列問題其中為常數(shù)。(65)解(67)(66)41把(66)-(67)代入(65)的方程中可得例2求解下42解從而有例2

求解下列問題其中為常數(shù)。(65)(68)在表達式(66)中利用(65)中的初值條件得(66)(69)42解從而有例2求解下列問題其中為常數(shù)。(65)(68)在43于是得如下常微分方程的初值問題(68)應用常微分方程中的通解公式或拉氏變換法，得問題(68)-(69)的解為(69)43于是得如下常微分方程的初值問題(68)應用常微分方程中的44將代入即得所求解為(66)例2

求解下列問題(65)44將代入即得所求解為(66)例2求解下列問題(65)45固有函數(shù)法的解題步驟：小結1.將所考慮的定解問題的解按固有函數(shù)系展開2.將非齊次方程中的自由項也按固有函數(shù)系展開如果自由項已經含有固有函數(shù)的形式，可直接進入下一步。3.將步驟1、2中的形式代入非齊次方程中化簡，并比較待定系數(shù)得到一個常微分方程4.將利用初值條件得到步驟3中常微分方程的附加條件。然后求解常微分方程的初值問題。5.將步驟4中得到的常微分方程初值問題的解代回步驟1。45固有函數(shù)法的解題步驟：小結1.將所考慮的定解問題的解按固46三、泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)用固有函數(shù)法求解非齊次的拉普拉斯方程的邊值問題。我們通過舉例來說明求解這類問題的要點與步驟。例3在以原點為中心以1為半徑的圓內，試求泊松方程的解，使它滿足邊界條件解由于區(qū)域是圓域，作極坐標變換并記則問題歸結為46三、泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)用固有函數(shù)法求解非齊47(71)(72)由2.3節(jié)的討論可知，與(71)相應的齊次方程滿足單值性條件的固有函數(shù)滿足(41)因此，與(71)相應的齊次方程且同時滿足單值性條件的固有函數(shù)系為47(71)(72)由2.3節(jié)的討論可知，與(71)相應的齊48(71)(72)由固有函數(shù)法，設方程(71)的解為(73)將(73)式代入方程(71)化簡得比較上式兩端關于的系數(shù)，48(71)(72)由固有函數(shù)法，設方程(71)的解為(7349(71)(72)(73)(74)(75)可得將邊界條件(72)代入(73)式,則有(77)(76)49(71)(72)(73)(74)(75)可得將邊界條件(50(71)(72)(73)(74)(75)可得(76)再根據(jù)函數(shù)的有界性，得(78)50(71)(72)(73)(74)(75)可得(76)再根51(75)(76)(77)(78)首先注意方程(75)(76)是齊次的歐拉方程，則通解分別為由條件(78)得再由條件(77)得因此，51(75)(76)(77)(78)首先注意方程(75)(752(74)通解為由于方程(74)是非齊次的歐拉方程，則(77)(78)由條件(78)得再由條件(77)得故52(74)通解為由于方程(74)是非齊次的歐拉方程，則(753(73)然后將代入級數(shù)則得定解問題(71)(72)的解為化成直角坐標，則得(71)(72)53(73)然后將代入級數(shù)則得定解問題(71)(72)的解為54(71)(72)解法二思路：如果我們知道泊松方程的一個特解則通過作函數(shù)變換就可將泊松方程化成拉普拉斯方程，然后通過求解拉普拉斯方程的邊值問題來得到泊松方程的邊值問題。顯然方程(71)有一個特解令則問題(71)(72)可化為54(71)(72)解法二思路：如果我們知道泊松方程的一個特55我們設這個拉普拉斯