第三章-剛體的定軸轉動課件

第三章剛體的定軸轉動第三章剛體的定軸轉動本章教學內容：3-1剛體的定軸轉動3-2力矩轉動定律轉動慣量3-3角動量角動量守恒定律3-4力矩的功剛體繞定軸轉動的動能定理3-5經典力學的成就和局限性本章教學內容：3-1剛體的定軸轉動教學基本要求

一

理解描寫剛體定軸轉動的物理量，并掌握角量與線量的關系.

二

理解力矩和轉動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉動的轉動定理.

三

理解角動量概念，掌握質點在平面內運動以及剛體繞定軸轉動情況下的角動量守恒問題.

能運用以上規(guī)律分析和解決包括質點和剛體的簡單系統(tǒng)的力學問題.

四理解剛體定軸轉動的轉動動能概念，能在有剛體繞定軸轉動的問題中正確地應用機械能守恒定律教學基本要求一理解描寫剛體定軸轉動的物理

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）剛體的運動形式：平動、轉動.

剛體平動質點運動

平動：若剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同，或者說剛體內任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.§3-1剛體的定軸轉動剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化

轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動.轉動又分定軸轉動和非定軸轉動.

剛體的平面運動.轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動.

剛體的一般運動質心的平動繞質心的轉動+剛體的一般運動質心的平動繞質心的轉動+一剛體轉動的角速度和角加速度參考平面角位移

角坐標<0q0>q約定沿逆時針方向轉動沿順時針方向轉動角速度矢量

方向:右手螺旋方向參考軸一剛體轉動的角速度和角加速度參考平面角位移角坐標<角加速度1）每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面；2）任一質點運動均相同，但不同；3）運動描述僅需一個坐標.定軸轉動的特點

剛體定軸轉動（一維轉動）的轉動方向可以用角速度的正負來表示.角加速度1）每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面；定軸轉二勻變速轉動公式

剛體繞定軸作勻變速轉動質點勻變速直線運動

當剛體繞定軸轉動的角加速度為恒量時，剛體做勻變速轉動.剛體勻變速轉動與質點勻變速直線運動公式對比二勻變速轉動公式剛體繞定軸作勻變速轉動質點勻變速直三角量與線量的關系三角量與線量的關系飛輪30s

內轉過的角度

例1

一飛輪半徑為0.2m、轉速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經30s停止轉動.試求：（1）角加速度和在此時間內飛輪所轉的圈數(shù)；（2）制動開始后t=6s

時飛輪的角速度；（3）t=6s時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

時，設.飛輪做勻減速運動時，

t=0s

飛輪30s內轉過的角度例1一飛輪（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該點的切向加速度和法向加速度轉過的圈數(shù)2222nsm6.31sm)π4(2.0--=×.==wra.（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該

例2

在高速旋轉的微型電機里，有一圓柱形轉子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉動.開始時，它的角速度，經300s后，其轉速達到18000r·min-1.已知轉子的角加速度與時間成正比.問在這段時間內，轉子轉過多少轉？解由題意，令，即，積分得當t=300s

時所以例2在高速旋轉的微型電機里，有一圓柱P*O:力臂

剛體繞Oz

軸旋轉,力作用在剛體上點P,

且在轉動平面內,為由點O到力的作用點P的徑矢.

對轉軸Z的力矩

一力矩§3-2力矩轉動定律P*O:力臂剛體繞Oz軸旋O討論

1）若力不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和

其中對轉軸的力矩為零，故對轉軸的力矩O討論1）若力不在轉動平面內，把力分解為3）剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消O3）剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消O

例1

有一大型水壩高110m、長1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示.求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點Q且與x軸平行的力矩.

解設水深h，壩長L，在壩面上取面積元作用在此面積元上的力yOhyxQyOx例1有一大型水壩高110m、令大氣壓為，則代入數(shù)據(jù)，得yOhyx令大氣壓為，則代入數(shù)據(jù)，得

對通過點Q

的軸的力矩yQOhy代入數(shù)據(jù)，得對通過點Q的軸的力矩yQOhyO二轉動定律2）剛體質量元受外力，內力

1）單個質點與轉軸剛性連接外力矩內力矩OO二轉動定律2）剛體質量元受外力，內力

剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉動慣量成反比.

轉動定律定義轉動慣量O剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正三轉動慣量

物理意義：轉動慣性的量度.

質量離散分布剛體的轉動慣量轉動慣性的計算方法

質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量：質量元三轉動慣量物理意義：轉動慣性的量度.質量

對質量線分布的剛體：：質量線密度

對質量面分布的剛體：：質量面密度

對質量體分布的剛體：：質量體密度：質量元

質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量對質量線分布的剛體：：質量線密度對質量面分布的剛體：：質O′O

解設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′

為處的質量元

例2一質量為、長為

的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量.O′O如轉軸過端點垂直于棒O′O解設棒的線密度為，取一距ORO

例3一質量為、半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心O

并與盤面垂直的軸的轉動慣量.

解設圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為的圓環(huán)而圓環(huán)質量所以圓環(huán)對軸的轉動慣量ORO例3一質量為、四

平行軸定理P

轉動慣量的大小取決于剛體的質量、形狀及轉軸的位置.

質量為

的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為，則對任一與該軸平行，相距為

的轉軸的轉動慣量CO注意圓盤對P軸的轉動慣量O四平行軸定理P竿子長些還是短些較安全？

飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？竿子長些還是短些較安全？飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣

例4

質量為的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質量為的物體B

上.滑輪與繩索間沒有滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計.問：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B

從

再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離

時，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設它們間的摩擦力矩為ABC例4質量為的ABCOO

解（1）隔離物體分別對物體A、B

及滑輪作受力分析，取坐標如圖，運用牛頓第二定律、轉動定律列方程.ABCOO解（1）隔離物體分別對物體A、B如令，可得（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率ABC如令，可得（2）B由靜止出發(fā)作（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩，轉動定律結合（1）中其它方程（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩，轉動定律結ABCABC

例5

一長為質量為勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉動.由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉動.試計算細桿轉動到與豎直線成角時的角加速度和角速度.

解細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得例5一長為質量為式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得

力矩的時間累積效應沖量矩、角動量、角動量定理.一質點的角動量定理和角動量守恒定律

質點運動狀態(tài)的描述

力的時間累積效應沖量、動量、動量定理.剛體定軸轉動運動狀態(tài)的描述§3-3角動量角動量守恒定律力矩的時間累積效應1

質點的角動量

質點以角速度作半徑為

的圓運動，相對圓心的角動量

質量為的質點以速度在空間運動，某時刻相對原點

O

的位矢為，質點相對于原點的角動量大小

的方向符合右手法則.1質點的角動量質點以角速度

作用于質點的合力對參考點O

的力矩，等于質點對該點O

的角動量隨時間的變化率.2

質點的角動量定理作用于質點的合力對參考點O的力矩，等于

質點所受對參考點O

的合力矩為零時，質點對該參考點O

的角動量為一恒矢量.

恒矢量

沖量矩

質點的角動量定理：對同一參考點O

，質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量.3

質點的角動量守恒定律質點所受對參考點O的合力矩為零時，質

例1

一半徑為R

的光滑圓環(huán)置于豎直平面內.一質量為m

的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動.小球開始時靜止于圓環(huán)上的點A

(該點在通過環(huán)心O

的水平面上),然后從A點開始下滑.設小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計.求小球滑到點B

時對環(huán)心O

的角動量和角速度.

解小球受重力和支持力作用,支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里由質點的角動量定理例1一半徑為R的光滑圓環(huán)置于豎考慮到得由題設條件積分上式考慮到得由題設條件積分上式

例2

一質量

的登月飛船,在離月球表面高度

處繞月球作圓周運動.飛船采用如下登月方式:當飛船位于點A

時,它向外側短時間噴氣,使飛船與月球相切地到達點B

,且OA

與OB

垂直.飛船所噴氣體相對飛船的速度為

.已知月球半徑

;在飛船登月過程中,月球的重力加速度視為常量

.試問登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質量是多少?BhORA例2一質量

解設飛船在點A的速度,月球質量mM,由萬有引力和牛頓定律BhORA已知求所需消耗燃料的質量.解設飛船在點A的速度,得得

當飛船在A點以相對速度向外噴氣的短時間里,飛船的質量減少了Δm

而為

,并獲得速度的增量,使飛船的速度變?yōu)?其值為質量

在A點和B

點只受有心力作用,角動量守恒BhORA得得當飛船在A點以相對速度向外噴氣的飛船在A點噴出氣體后,在到達月球的過程中,機械能守恒即于是而BhORA飛船在A點噴出氣體后,在到達月球的過程中,機械能守恒即二剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律1

剛體定軸轉動的角動量2

剛體定軸轉動的角動量定理非剛體定軸轉動的角動量定理O二剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律1剛體

角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.

內力矩不改變系統(tǒng)的角動量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.剛體定軸轉動的角動量定理3

剛體定軸轉動的角動量守恒定律，則若討論

在沖擊等問題中常量角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.內力矩不改

有許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明.花樣滑冰跳水運動員跳水

直升飛機的尾翼為什么要安裝螺旋槳？有許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明.花樣滑冰請看：貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結果，四腳轉向地面，當它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉向的過程，就是角動量守恒過程。為什么貓從高處落下時總能四腳著地？請看：貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這

例3

質量很小長度為l

的均勻細桿,可繞過其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動.當細桿靜止于水平位置時,有一只小蟲以速率

垂直落在距點O為

l/4

處,并背離點O

向細桿的端點A

爬行.設小蟲與細桿的質量均為m.問:欲使細桿以恒定的角速度轉動,小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?

解小蟲與細桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒例3質量很小長度為l的均勻細桿,可繞由角動量定理即考慮到由角動量定理即考慮到

例4

一雜技演員M

由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N

彈了起來.設蹺板是勻質的,長度為l,質量為

,蹺板可繞中部支撐點C

在豎直平面內轉動,演員的質量均為m.假定演員M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh

解碰撞前M

落在A點的速度

碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度例4一雜技演員M由距水平蹺板高為

把M、N和蹺板作為一個系統(tǒng),角動量守恒解得演員N以u

起跳,達到的高度ll/2CABMNh把M、N和蹺板作為一個系統(tǒng),角動量守恒解三、旋進——角動量定理的應用舉例1、陀螺若，則在重力矩作用下，陀螺將繞垂直于板面的軸轉動，即倒地。(2)當時，重力矩將改變的方向，而不改變的大小(因)。最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉

——

旋進旋進角速度三、旋進——角動量定理的應用舉例1、陀螺若，則在重2.車輪的旋進（演示）討論：

改變

的方向，旋進方向是否改變？

改變配重G，對旋進有什么影響？

用外力矩加速（或阻礙）旋進，會發(fā)生什么現(xiàn)象？2.車輪的旋進（演示）討論：3.回轉儀實驗：如圖所示的杠桿陀螺儀。當陀螺儀高速旋轉時，移動平衡物B，桿不會傾斜，而是在水平面內繞O旋轉。這種運動稱為旋進運動，它是在外力矩作用下產生的回轉效應。3.回轉儀實驗：4、拋體的旋進c5、旋進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：地球的旋進；用電子在外磁場中的旋進解釋物質的磁化的本質；…...4、拋體的旋進c5、旋進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：

被中香爐慣性導航儀（陀螺）

角動量守恒定律在技術中的應用

被中香爐慣性導航儀（陀螺）角動自然界中存在多種守恒定律

動量守恒定律—空間平移對稱能量守恒定律—時間平移對稱角動量守恒定律—空間轉動對稱電荷守恒定律—量子力學的相移對稱質量守恒定律宇稱守恒定律—空間反演對稱自然界中存在多種守恒定律動量守恒定律—空間平移對稱電荷守恒力矩的功一力矩作功力的空間累積效應

力的功,動能,動能定理.力矩的空間累積效應力矩的功,轉動動能,動能定理.二力矩的功率§3-4力矩的功剛體繞定軸轉動的動能定理力矩的功一力矩作功力的空間累積效應三轉動動能四剛體繞定軸轉動的動能定理

合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量.三轉動動能四剛體繞定軸轉動的動能定理圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機械能不守恒.角動量守恒；動量不守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；角動量守恒；機械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動量不守恒；角動量守恒；機械能守恒.討論子彈擊入沙袋細繩質量不計圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機械能不守恒.角動量守恒；Rhm'mm

和、分別為圓盤終了和起始時的角坐標和角速度.

例1

一質量為

、半徑為R

的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉動.圓盤上繞有輕繩，一端掛質量為m

的物體.問物體在靜止下落高度h

時，其速度的大小為多少?設繩的質量忽略不計.

解拉力對圓盤做功，由剛體繞定軸轉動的動能定理可得，拉力的力矩所作的功為mRhm'mm和物體由靜止開始下落解得并考慮到圓盤的轉動慣量由質點動能定理m物體由靜止開始下落解得并考慮到圓盤的轉動慣量由質點動能定理m

例2

一長為l,質量為

的竿可繞支點O自由轉動.一質量為、速率為