三次函數(shù)的對稱中心問題

三次函數(shù)的對稱中心問題廣州市第四中學高二3班梁雋銘

指導教師劉運科對于三次函數(shù))，=0?+加'+?+〃(0工0),作出圖彖，經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)其圖象有四種可以發(fā)現(xiàn)，其圖彖具有中心對稱性?如何考慮求出y=ar3+加‘+ex+d(a工0)的圖象的對稱中心坐標呢？卞面是我的探究過程.先考慮較簡單的兩個特殊情況：一、求y=a?+cx(dHO)的圖彖對稱中心坐標.此特殊情況較簡單.因y=ax'+cx(a豐0)是奇函數(shù)，故其對稱中心坐標為0(0,0).二、求y=av3+er+d(adh0)的圖彖對稱中心坐標.此特殊情況也較簡單.將y=cf+cx的圖彖通過適當平移就可得到y(tǒng)=a?+ex+d(ad工0)的圖彖.當d>0時，將y=ax'+cx的圖彖向上平移d個單位長度，就可得到y(tǒng)=ax'+cr+d(adHO)的圖彖；當dvO時，將y=ax5+ex的圖彖向下平移d個單位長度，就可得到y(tǒng)=axi+cx+d(ad0)的圖象因y=ax^+ex是奇函數(shù)，對稱中心坐標為0(0,0),故y=ax'+ex+d(adHO)的圖象對稱中心為P(0,d).上面兩個特殊情況，主要是利用了奇函數(shù)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)?有了上面兩種情況的鋪墊，似乎求y=ax'+bT+cx+d(“HO)的圖彖的對稱中心坐標較容易了，其實不然.因)=ax'+bF+cx+d(“HO)是非奇非偶函數(shù),無法從奇偶性方面找到突破I】.下面先來

考慮當ab^O時，最簡單的一個具體實例：三、求y=疋+疋的圖象對稱中心坐標.首先，利用GC,探究），=亡+妒的圖彖對稱中心坐標.步驟：①.畫出fl（x）=xi+x2的圖象，并適當調(diào)整乂、y的取值范圍，如圖1：②.觀察圖彖，函數(shù)有兩個極值點，對稱中心應該是兩個極值點的中點.按MENU鍵，選擇菜單的FCN鍵，再選擇Extremum,OK,可以得到一個極值點（0,0）;移動光標到另外一個極值點附近，重復剛才的操作，得到另外一個極值點（-扌，/（扌補，如圖2、3：③.求出兩個極值點的中點匕，刃(1)3<③.求出兩個極值點的中點匕，刃(1)3<1}X--+X--13丿<3丿畫出厶（兀）=2計圖彖如圖4,可求厶（0的兩個極值點，發(fā)現(xiàn)是關(guān)于原點成中心對稱的，如圖5、6：④.故可知，厶（小是奇函數(shù)，對稱中心為O（0,0）；故久（對=*+"的對稱中心為++極值：(-3.3333E-1,7.40741e-2)確定那么，如果不使用圖形計算器，該如何考慮呢？受到第二種特殊情況的啟發(fā)，考慮到y(tǒng)=亡+妒的圖彖可能是由某個奇函數(shù)y=ax'+cx(o工0)通過適當平移得到，故有如下的解法：【解】設(shè)將y=av3+cx(ah0)的圖象通過適當平移可以得到y(tǒng)=x3+F的圖彖,則可設(shè)y=x^+X2=t7(X-W7)3+C(X-/W)+7?,顯然，d=l,故y=x3+x2=(x—zn)3+c(^x—m)+n=x3—3mx2+(3nr+c^x+^n—m3—cm),比較系數(shù)，可知:f-3/w=1<3nr+c=0n一屛一cm=01c=——,3n=-2(1?1<n2=X+-X++—1,丿33丿27解得"弓故y=x3+x2119將，〒的圖象向左平移亍個單位長度，再向上平移方個單位長度,即可得到y(tǒng)=疋+界的圖象.因)，=_?—扌x的圖象對稱中心坐標為0(0,0),故的圖象對稱中心坐標為*弓劉將此法推廣到一般情況，就可以解決求y=ax'+bx2+cx+d(abh0)的對稱中心坐標問題：四、求y=ax3+bx~+ex+d(ab工0)的對稱中心坐標.【解】設(shè)y=ax^+bx1+cx+d=a^x-in^+k(^x-m)+n,ci(x-/n)3+k(x-m)+n=OK5-3anvc+(3am2+k)x+(n—m5一km),比較系數(shù)，有-3am=b<3am2+k=cn一〃7‘一km=d必bib‘b‘b‘be丿解侍〃7=,k=c,n=+—7+d，3a3a27/9cr3a^y=axi+bx2+cx+cl(ab^0)的對稱中心坐標為(一上-,—匕=+~—+d.I3d21ct9cr3d丿五、綜上，y=ax5+bx2+cx+d(a^0)的對稱中心坐標為(_2,_丄+蘭__竺+〃]?在上面的解題過程中，我們先考慮特殊情況，再考慮一般情況.[3a27a39az3a丿對于b=0的情況，利用了奇函數(shù)性質(zhì)、平移性質(zhì)來求解：對于bHO的情況，利用待定系數(shù)法求解?下面我們利用導函數(shù)的相關(guān)知識來解決此問題.六.利用導數(shù)知識，求六.利用導數(shù)知識，求y=/(x)=ax'+bx'+cx+d(aHO)的對稱中心坐標.六.利用導數(shù)知識，求六.利用導數(shù)知識，求y=/(x)=ax'+bx'+cx+d(aHO)的對稱中心坐標.【解】f\x)=3ax2+2bx+c,其判別式△=4，-6皿，導函數(shù)圖彖對稱軸方程為bb(1).當△>()時，導函數(shù)有兩個零點vx2,y=/(x)有一個極犬值、一個極小值，兩個極值點的中點即為對稱中心，故對稱中心橫坐標為"寧一存縱坐標為厶+佇—竺+d.厶+佇—竺+d.27d9cr3a(2).當zXWO時，若°>0,則廣(x)$0恒成立，y=門刃在R上單調(diào)遞增，當x=~—時，f(x)取到最小值，函數(shù)增長率最小，對應y=f(x)圖彖上的對稱中心點;b‘b‘be,HF(I27ci9cr3a若ovO,則廣(x)W0恒成立，y=/(x)在b‘b‘be,HF(I27ci9cr3a故對稱中心橫坐