第03講基本不等式（人教A版2019）（原卷版）

第03講基本不等式【人教A版2019】·模塊一基本不等式·模塊二基本不等式的應(yīng)用·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一基本不等式1．均值定理均值定理：如果a、b∈R+(R+表示正實(shí)數(shù))，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，式中等號成立.此定理又稱均值不等式或基本不等式.2．基本不等式推廣：≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).叫做a和b的平方平均值，eq\f(a＋b,2)叫做算術(shù)平均值，eq\r(ab)叫做幾何平均值.3．基本元素為ab，a+b，a2+b2；其中一個為定值，都可以求其它兩個的最值.4．利用基本不等式求最值的條件(1)“一正”：即求最值的兩式必須都是正數(shù).(2)“二定”：要求和a+b的最小值，則乘積ab須是定值；要求乘積ab的最大值，則和a+b須是定值.特殊情況下，至少要求各項(xiàng)的和、積是一個可化簡的定式.(3)“三相等”：只有滿足不等式中等號成立的條件，才能使式子取到最大或最小值.(4)“四同時(shí)”：多次使用基本不等式時(shí)，需同時(shí)滿足每個等號成立的條件.【考點(diǎn)1基本不等式鏈】【例1.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列不等式恒成立的是（

）A．x+1x≥2C．a(chǎn)+b22≥【例1.2】（2023春·上海寶山·高三校考開學(xué)考試）下列定理中，被稱為冪的基本不等式的是（

）A．如果a>b，且b>c，那么a>cB．對任意的實(shí)數(shù)a和b，總有a2+bC．對任意的正實(shí)數(shù)a和b，總有a+b2≥abD．當(dāng)a>1，s>0時(shí)，a【變式1.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若a,b∈R+，則下列關(guān)系正確的是（A．21a+C．a(chǎn)b≤21【變式1.2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知a、b為正實(shí)數(shù)，A=a+b2,A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤H D．H≤A≤G模塊二模塊二基本不等式的應(yīng)用1．最值定理最值定理：兩個正數(shù)的乘積為常數(shù)，則兩數(shù)相等時(shí)，它們的和取得最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)，則兩數(shù)相等時(shí)，它們的乘積取得最大值.即已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．2．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求兩個正數(shù)和的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù).通常要通過添加常數(shù)、湊分母等方式進(jìn)行構(gòu)造，求兩個正數(shù)積的最大值也有類似的湊定值的技巧.(2)已知ax+by=c，求的最小值；或者已知，求ax+by的最小值.(a,b,c,d,e為正常數(shù)，x,y>0)對于上述問題，我們可以轉(zhuǎn)化為求的最小值.【考點(diǎn)2直接求最值】【例2.1】（2023春·新疆巴音郭楞·高二?？计谀┤魓>0，則2x+xA．14 B．12 C．1【例2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)0<x<2時(shí)，x(2?x)的最大值為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【變式2.1】（2023春·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)x>0，則函數(shù)y=x2+x+25A．6 B．7 C．11 D．12【變式2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知0<x<2，則y=x4?A．2 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)3湊定值求最值】【例3.1】（2023春·新疆哈密·高二校考期末）若x>4，則y=x+1x?4的最值情況是（A．有最大值?6 B．有最小值6 C．有最大值?2 D．有最小值2【例3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知0<x<12，則函數(shù)y=x(1?2x)A．12 B．14 C．18【變式3.1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若0<x<14，則x(1?4x)取最大值時(shí)x的值是（A．14 B．16 C．18【變式3.2】（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)x>a時(shí)，2x+8x?a的最小值為10，則a=（A．1 B．2 C．22 D．4【考點(diǎn)4巧用“1”的代換求最值】【例4.1】（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知x>0，y>0，且14x+1y=1A．2 B．1 C．74 D．【例4.2】（2023春·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足a+2b=6，則1a+2+2A．78 B．C．910 D．【變式4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a,b滿足a+b=2，則3+2a8+A．36 B．42 C．49 D．6【變式4.2】（2023春·重慶北碚·高二?？计谀┮阎獂>0，y>0，x+y=1，則2x2?x+1A．4 B．14C．2+2 D．【考點(diǎn)5和積互化求最值】【例5.1】（2023春·山東青島·高二統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+4b?ab=0，則a+2b的最小值為（

）A．162 B．16 C．82【例5.2】（2023春·廣西南寧·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若a,b>0，且ab=a+b+3，則ab的取值范圍是（

）A．a(chǎn)b≤1 B．a(chǎn)b≥9C．a(chǎn)b≥3 D．1≤ab≤9【變式5.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)x>0,y>0,x+y?x2yA．2 B．4 C．12 D．【變式5.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知x>0，y>0，且x+y+xy?3=0，則（

）A．xy的取值范圍是1,9 B．x+y的取值范圍是2,3C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是4【考點(diǎn)6利用基本不等式證明不等式】【例6.1】（2022秋·貴州黔南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：(1)a2(2)a2【例6.2】（2022秋·黑龍江綏化·高一統(tǒng)考期中）已知a、b是正實(shí)數(shù)，且a2(1)a+b≤2；(2)a+b【變式6.1】（2022秋·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┮阎猘,b,c是正實(shí)數(shù).(1)若4a+b=2ab，證明：a+b≥9(2)證明：a+b+c≥ab【變式6.2】（2022秋·安徽合肥·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a,b,c∈R+，且(1)證明：1a+b(2)證明：42a+1【考點(diǎn)7基本不等式的恒成立問題】【例7.1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若對x>0，y>0，有(x+2y)?(2x+A．m≤4 B．m>4C．m<0 D．m≤8【例7.2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若對任意x>0，x3+5x2+4x≥aA．a(chǎn)≥5 B．5≤a≤9 C．a(chǎn)≤5 D．a(chǎn)≤9【變式7.1】（2023春·山西忻州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知a2+b2=k，若4A．4 B．5 C．24 D．25【變式7.2】（2023秋·河南信陽·高一校考期末）若關(guān)于x的不等式ax2+1x2+1A．0,9； B．0,19； C．19,+∞【考點(diǎn)8基本不等式的有解問題】【例8.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知x>0,y>0，且2x+1y=1，若2x+y<A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【例8.2】（2022秋·貴州黔西·高一?？计谀┰赗上定義運(yùn)算?:x?y=x(1?y)，0<x≤2時(shí)，不等式ax?2?1?x<?3a有解，則實(shí)數(shù)aA．a(chǎn)a<33 B．a(chǎn)a<47【變式8.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足4x+9y=xy且x+y<m2?24m有解，則實(shí)數(shù)m【變式8.2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+4y=1，且不等式x+y≤模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知x>1，則y=x+4x?1取得最小值時(shí)x的值為（A．3 B．2 C．4 D．52．（2023春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期末）下列不等式恒成立的是（

）A．ba+aC．a(chǎn)+b≥2ab D．3．（2023春·貴州安順·高二統(tǒng)考期末）已知a>b>0，a+b=1，則9a+1A．16 B．13 C．9 D．64．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．x+1x的最小值是2 B．C．x2+5x2+45．（2023秋·遼寧·高一?？计谀┤?<a<1，0<b<1，且a≠b，則a+b，2ab，2ab，a2+A．a(chǎn)2+bC．2ab D．a(chǎn)+b6．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┘?、乙兩名司機(jī)的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價(jià)分別相同，但第一次與第二次加油的油價(jià)不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算7．（2023春·云南文山·高一?？计谥校┤粽龜?shù)x，y滿足x+y=xy，則x+2y的最小值是（

）A．6 B．2+32 C．3+22 8．（2022秋·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不等式x+ay1x+1y≥16對任意正實(shí)數(shù)A．2 B．4 C．6 D．99．（2023秋·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+y=xy，且不等式x+y4<m2A．(?1,4) B．C．(?4,1) 10．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)b的最大值為8B．1a?1C．a(chǎn)+b有最小值3+D．a(chǎn)211．（2023春·河南開封·高一?？计谀?）已知0<x<1，則x(4?3x)取得最大值時(shí)x的值為？（2）已知x<54，則（3）函數(shù)y=x12．（2022秋·四川綿陽·高一?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x>0，y>0，且滿足(1)求xy的最大值；(2)求x+y的最小值．13．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價(jià)，產(chǎn)品生產(chǎn)者決定根據(jù)這兩種原料提價(jià)的百分比，對產(chǎn)品分兩次提價(jià)，現(xiàn)在有三種提價(jià)方案：方