人教版高中數(shù)學(xué)（必修二）（全冊知識點考點梳理、重點題型分類鞏固練習(xí)）（提高版）（家教、補習(xí)、復(fù)習(xí)用）

新人教版高中數(shù)學(xué)（必修二）

重難點突破

知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)

空間幾何體的結(jié)構(gòu)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)

特征；

2.認(rèn)識由柱、錐、臺、球組成的幾何組合體的結(jié)構(gòu)特征；

3.能用上述結(jié)構(gòu)特征描繪現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

【要點梳理】

【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899棱柱的結(jié)構(gòu)特征】

要點一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個

四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.在棱柱中，兩個

相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公

共邊叫做棱柱的側(cè)棱.側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點.棱柱中不在同一平面

上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線.過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱

的對角面.

2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、

四棱柱、五棱柱....

3、棱柱的表示方法：

①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可

分別表示為ABCO-AgCQ、ABCDE—ABCRE］、ABCDEF-ABCiDiEiK;

②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱4c或棱柱等;

五棱柱可表示為棱柱AG、棱柱A2等；六棱柱可表示為棱柱AG、棱柱AR、棱柱A&

等.

4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行.

要點詮釋：

有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定

是棱柱.如下圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊

形”這一條件，但它不是棱柱.

判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其

余各個面都是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰

的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的

幾何體不是棱柱.

【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899棱錐的結(jié)構(gòu)特征】

要點二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

1、定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面

所圍成的幾何體叫做棱錐.這個多邊形面叫做棱錐的底面.有公共頂點的各個三角

形叫做棱錐的側(cè)面.各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點.相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱

錐的側(cè)棱；

2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；

S-ABCD.

要點詮釋：

棱錐有兩個本質(zhì)特征：

(1)有一個面是多邊形；

(2)其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可.

【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】

要點三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征

1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的

幾何體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸.垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的

底面.平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面.無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直

于軸的邊都叫做圓柱的母線.

2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱0。

要點詮釋：AS

(1)用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與/點

底面全等的圓面./jv\

(2)經(jīng)過圓柱的軸的棧面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是/：\\

圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的裁面通常叫做軸截面./：\\

(3)圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸./\

要點四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征《二二二二\

1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余J一絲二

兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸.

垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面.不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲

面叫做圓錐的側(cè)面.無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線.

2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐SO.

要點詮釋：

(1)用一個平行于圓錐底面的平面去裁圓錐，截面是一個比底面小的圓面.

(2)經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰

是圓錐側(cè)面的兩條母線.

(3)圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側(cè)面的母線.

【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899棱臺的結(jié)構(gòu)特征】

要點五：棱臺和圓臺的結(jié)構(gòu)特征

1、定義：用一個平行于棱錐(圓錐)底面的平面去截棱錐(圓錐)，底面和截面之

間的部分叫做棱臺(圓臺)；原棱錐(圓錐)的底面和截面分別叫做棱臺(圓臺)的下底

面和上底面；原棱錐(圓錐)的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺(圓臺)的側(cè)面；原

棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側(cè)棱；原圓錐的母線被平面截去后

剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點；圓臺

可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓臺的軸.

2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺ABC。-44GA；

3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺0。；

要點詮釋：

(1)棱臺必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體.所以，棱臺可還原

為棱錐，即延長棱臺的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點.

(2)棱臺的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的

高與原棱錐的高之比的平方.

(3)圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成.

(4)圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平

方.

要點六：球的結(jié)構(gòu)特征

1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做

球體，簡稱球.半圓的半徑叫做球的半徑.半圓的圓心叫做球心.

半圓的直徑叫做球的直徑.

2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球0./LI\

要點詮釋：匕「阿~二

(1)用一個平面去截一個球，截面是一個圓面.如果棧面\——i

經(jīng)過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球\\/

心，則截面圓的半徑小于球的半徑.

(2)若半徑為R的球的一個截面圓半徑為r,球心與截面圓的圓心的距離為d,

則有d=NR?-戶.

要點七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺

特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直

棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長

都相等的長方體叫做正方體;

特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那

么這樣的棱錐稱為正棱錐；側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；

特殊的棱臺：由正棱錐棧得的棱臺叫做正棱臺;

注：簡單幾何體的分類如下表：

r圓柱

心體|「三棱柱

棱柱

〔棱柱《四棱柱

多面體J棱錐

I五觸

I梗臺

r圓錐

錐體J三棱錐

簡單棱推四核錐或者閽單

IJ幾何體《

幾何體

I五棱錐(圓柱

圓臺圓錐

臺體三核臺

旋轉(zhuǎn)體

S圓臺

棱臺四座

五棱臺I球體

球體

要點八：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

1、組合體的基本形式：①由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；②由簡單幾何

體截去或挖去一部分而成的幾何體；

2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合;

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.

①多面體與多面體的組合體

由兩個或兩個以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體.如下

圖（1）是一個四棱柱與一個三棱柱的組合體；如圖（2）是一個四棱柱與一個四棱

錐的組合體；如圖（3）是一個三棱柱與一個三棱臺的組合體.

②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體

由一個多面體與一個旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如

圖（1）是一個三棱柱與一個圓柱組合而成的；如圖（2）是一個圓錐與一個四棱柱

組合而成的；而圖（3）是一個球與一個三棱錐組合而成的.

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體

由兩個或兩個以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合

體.如圖（1）是由一個球體和一個圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個圓臺和

兩個圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個圓臺、一個圓柱和一個圓錐組合而成的.

（1）（2）（3）

要點九：幾何體中的計算問題

幾何體的有關(guān)計算中要注意下列方法與技巧：

（1）在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所

構(gòu)成的兩個直角三角形，有關(guān)證明及運算往往與兩者相關(guān).

（2）正四棱臺中要掌握其對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的

計算，有關(guān)問題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個等腰梯形中.另外要能夠?qū)⒄睦馀_、正三棱

臺中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來.

(3)研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在

軸截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系.

(4)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的

重要手段之一.

(5)圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決.

(6)關(guān)于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應(yīng)用平面

幾何的有關(guān)知識解決；關(guān)于球與多面體的切接問題，要恰當(dāng)?shù)剡x取截面，化“空間”

為平面.

【經(jīng)典例題】

類型一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例1.判斷下列說法是否正確.

(1)棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形；

(2)一個n(n23)棱柱共有2n個頂點；

(3)棱柱的兩個底面是全等的多邊形；

(4)如果棱柱有一個側(cè)面是矩形，則其余各側(cè)面也都是矩形.

【答案】(1)(2)(3)正確，(4)不正確.

【解析】(1)由棱柱的定義可知，棱柱的各側(cè)棱互相平行，同一個側(cè)面內(nèi)兩

條底邊也互相平行，所以各側(cè)面都是平行四邊形.(2)一個n棱柱的底面是一個n

邊形，因此每個底面都有n個項點，兩個底面的頂點數(shù)之和即為棱柱的頂點數(shù)，即

2n個.(3)因為棱柱同一個側(cè)面內(nèi)的兩條底邊平行且相等，所以棱柱的兩個底面的

對應(yīng)邊平行且相等，故棱柱的兩個底面全等.(4)如果棱柱有一個側(cè)面是矩形，只

能保證側(cè)棱垂直于該側(cè)面的底邊，但其余側(cè)面的側(cè)棱與相應(yīng)底邊不一定垂直，因此

其余側(cè)面不一定是矩形.

故(1)(2)(3)正確，(4)不正確.

【總結(jié)升華】解決這類與棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的命題真假判定的問題，其關(guān)

鍵在于準(zhǔn)確把握它們的結(jié)構(gòu)特征，也就是要以棱柱、棱錐、棱臺概念的本質(zhì)內(nèi)涵為

依據(jù)，以具體實物和圖形為模型來進(jìn)行判定.

舉一反三：

【變式1】如下圖中所示幾何體中是棱柱有()

A.1B.2個C.3個D.4個

【答案】C

例2.有下面五個命題：

（1）側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；

（2）側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐；

（3）底面是正方形的棱錐是正四棱錐；

（4）正四面體就是正四棱錐；

（5）頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是底面多邊形的外心的棱

錐必是正棱錐.

其中正確命題的個數(shù)是（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】本題主要考查正棱錐的概念，關(guān)鍵看是否滿足定義中的兩個條件.

命題（1）中的“各側(cè)面都是全等的等腰三角形”并不能保證底面是正多邊形，

也不能保證頂點在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱錐，如下圖（1）中的三

棱錐S-ABC,可令SA二SB=BC二Ac=3,SC=AB=1,則此三棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰

三角形，但它不是正三棱錐；命題（2）中的“側(cè)棱都相等”并不能保證底面是正多

邊形，如下圖（2）中的三棱錐P-DEF,可令PD二PE=PF=1,DE=DF=0EF=1,三

條側(cè)棱都相等，但它不是正三棱錐；命題（3）中的“底面是正方形的棱錐”，其頂

點在底面上的射影不一定是底面的中心，如下圖（3）,從正方體中截取一個四棱錐

D-ABCD,底面是正方形，但它不是正四棱錐；命題（4）中的“正四面體”是正三

棱錐.三棱錐中共有4個面，所以三棱錐也叫四面體.四個面都是全等的正三角形

的正三棱錐也叫正四面體；命題（5）中的“頂點在底面上的射影既是底面多邊形的

內(nèi)心，又是外心”，說明了底面是一個正多邊形，符合正棱錐的定義.

舉一反三：

【變式1］如果一個面是多邊形，其余各面都是三角形的

幾何體一定是棱錐.這種說法是否正確？如果正確說明理由；

如果不正確，舉出反例.

【答案】不正確

［解析］如圖所示的幾何體由兩個底面相等的四棱錐組合

而成，它有一個面是四邊形，其余各面都是三角形，但是該幾

何體不是棱錐.

例3.判斷下圖所示的幾何體是不是臺體？為什么？

【解析】三個圖都不是臺體.（1）AAi,DDi交于一點，而BB”CG交于另一點，

此圖不能還原成錐體，故不是臺體：（2）中面ABCD與面ABCD不平行，故也不是

臺體；（3）中應(yīng)。。與。Oi不平行，故也不是臺體.

【總結(jié)升華】判斷一個幾何體是否為臺體，必須緊扣臺體的兩個本質(zhì)特征：（1）

由錐體截得的；（2）截面平行于錐體的底面.即棱臺的兩底面平行，且側(cè)棱必須相

交于同一點；圓臺的兩底面平行，且兩底面圓心的連線與兩底面垂直.

舉一反三：

【變式1】判斷如下圖所示的幾何體是不是臺體？為什么？

【答案】①②③都不是臺體.

【解析】因為①和③都不是由棱錐所截得的，故①③都不是臺體；雖然②是由棱

錐所截，但截面不和底面平行，故不是臺體.只有用平行于錐體底面的平面去截錐

體，底面與截面之間的部分才是臺體.④是一個臺體，因為它是用平行于圓錐SO

底面的平面截圓錐SO而得的.

類型二：幾何體中的基本計算

例4.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392cm,

母線與軸的夾角是45°,求這個圓臺的高、母線長和底面半徑.

【答案】14cm,14yfictn,7c加和21cm.

【解析】圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為xcmI

和3xcm,延長AA|交的延長線于點S.2合4\

在生中，ZAS0=45°,則/弘0=45°./\

1。

/.S0=A0=3xcm,OO,=2xcm.—（6x+2x）-2x=392,解得x

2

=7,...圓臺的高oq=14cm,母線長/=?OQ=14ecm,底面半徑分別為7c加和21

【總結(jié)升華】對于這類旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計算問題，其關(guān)鍵在于作出它們的軸截面（即

過旋轉(zhuǎn)鈾的截面），再把它們轉(zhuǎn)化為平面幾何問題即可.

舉一反三：

【變式1】已知圓臺的上、下底面積之比為1:9,圓臺的高為10,求截得圓臺

的圓錐的高.

【答案】15

【解析】設(shè)圓錐的高為人，上、下底半徑為

則￡=紅竺=].,解得〃=15.

Rh3

類型三、簡單幾何體的組合體

例5.(1)一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，如下圖所示，則截面

可能的圖形是(

①

A.①③D.②③④

(2)如右圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分

別與正方體內(nèi)切,求兩球半徑之和.

【答案】(1)C；(2)

2

【解析】(1)當(dāng)截面平行于正方體的一個側(cè)面時得③，當(dāng)截面過正方體的體對

角線時得②，當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過對角線時得①，但無

論如何都不能截出④.

(2)此題的關(guān)鍵在于作截面.球不可能與邊AB、CD相切，一

個球在正方體內(nèi)，一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應(yīng)在

正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如右圖所示的截面圖.球心U

和。2在AC上，過0八。2分別作AD、BC的垂線交于E、F兩點.設(shè)小球半徑為r,大

球半徑為R.

則由AB=1,AC=百，得A0]=er,。。2=省七

:.r+R+瓜r+R)=6I.R+r=-^-=.

V3+12

【總結(jié)升華】作適當(dāng)?shù)慕孛媸墙鉀Q球與其他幾何體形成的組合體問題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】圓錐底面半徑為1cm,高為近cm,其中有一個內(nèi)接正方體，求這個

內(nèi)接正方體的棱長.

【答案】曰

【解析】過圓錐的頂點S和正方體底面的一條對角線CD作圓錐的截面，得圓錐

的軸截面SEF,正方體對角面C00G，如圖所示.

設(shè)正方體棱長為x,則CC,=x,CQi=叵x.

作SO_LEF于0,則SO=0,0E=1,

C.OD\

.V2

|----X

,：AECC^AEOS,...旦=%,即之=—

SOEOV21

x=,即內(nèi)接正方體棱長為^^加

【總結(jié)升華】此題也可以利用△SCDs/kSEF而求.兩個幾何體相接、相切的問題，

關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)一些截面之間的圖形關(guān)系.常常是通過分析幾個軸截面組合的平面圖

形中的一些相似，利用相似比列出方程而求.注意截面圖形中各線段長度的計算.

類型四、簡單幾何體的表面展開與折疊問題

例6.長方體ABCD-ABCD（如圖）中，AB=3,BC=4,AZ5,現(xiàn)有一甲殼蟲從A

出發(fā)沿長方體表面爬行到C.來獲取食物，試畫出它的最短爬行路線，并求其路程

的最小值.

【解析】把長方體的部分面展開，如右圖所示.

對甲、乙、丙三種展開圖利用勾股定理可得AG的長分別為胸、用、廂，由

此可見乙是最短線路，所以甲殼蟲可以先在長方形ABBA內(nèi)由A到E,再在長方形

BCCB內(nèi)由E到G,也可以先在長方形AADD內(nèi)由A到F,再在長方形DCCD內(nèi)到F

到G,其最短路程為，“

【總結(jié)升華】在幾何體表面求最短路徑問題，就是要“化折為直”，因此需要

把幾何體表面展開，本題注意要分三種情況討論.

舉一反三：

【變式1】如圖，在底面半徑為1,高為2的圓柱上彳點處有一只螞蟻，它要圍

繞圓柱由4點爬到8點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

【答案】2,1+4

【解析】把圓柱的側(cè)面沿W8剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖所示,

連接AB',則48'即為螞蟻爬行的最短距離.

*/AB=AB'=2,A4'為底面圓的周長，且A4'=2乃xl=2%,

A?=y/AB'2+AA'2=j4+(2%y=2jl+乃2,

即螞蟻爬行的最短距離為.

例7.根據(jù)下圖所給的平面圖形，畫出立體圖形.

DA,Z>,Cj

4B\G.

A

(3)

【解析】將各平面圖形折起后形成的空間圖形如下圖所示.

【總結(jié)升華】平面圖布的折疊問題實質(zhì)上是多面體的表面展開問題的逆向問題

(即逆向過程).這兩類問題都是立體幾何中的基本問題，我們必須熟練掌握折疊與

展開這兩個基本功，并能準(zhǔn)確地畫出折疊和展開前后的平面圖形和立體圖形，找到

這兩個圖形之間的構(gòu)成關(guān)系.

舉一反三:

【變式1](2016春吉林期末)如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體

后，其中兩個完全一樣的是()

I④|⑥|①I

③⑤⑥⑤

⑤

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)

【答案】B

【解析】(1)圖還原后，①⑤對面，②④對面，③⑥對面；

(2)圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；

(3)圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；

(4)圖還原后，①⑥對面，②⑤對面，③④對面；

綜上，可得還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是(2)(3),

故選：B.

【鞏固練習(xí)】

1.下列說法中正確的是（）

A.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面

B.棱柱的面中，至少有兩個面互相平行

C.棱柱中一條側(cè)棱的長叫棱柱的高

D.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形

2.下列說法正確的是（）

A.直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

B.夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體

C.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺

D.通過圓臺側(cè)面上一點，有無數(shù)條母線

3.下面的圖形可以構(gòu)成正方體的是（）

魚坤由日

ABCDp

4.在正方體ABCD-ABCD中，P、Q、R分另"是AB、AD、BG的中點，那么，正方體

過P、Q、R的截面是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

5.（2016春湖南月考）一個長方體底面為正方形且邊長為4,高為九若這個長方

體能裝下8個半徑為1的小球和一個半徑為2的大球，則力的最小值為（）

A.8B.2+2V7C.2+2后D.6

6.在下面的四個平面圖形中，哪幾個是側(cè)棱都相等的四面體的展開圖？其序號是

①

④

7.圓臺兩底面半徑分別是2cm和5cm,母線長是cm,則它的軸截面的面積

是.

8.已知地球半徑為R,北緯60°緯線的長度為o

9.三棱柱的底面為正三角形，側(cè)面是全等的矩形，內(nèi)有一個內(nèi)切球，已知球的半徑

為R,則這個三棱柱的底面邊長為.

10.(2016上海嘉定區(qū)模擬)如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2,且在這

個圓錐中有一個高為x的圓柱.

(1)用X表示此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；

(2)當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時，求此圓柱的體積.

11.正四棱錐(棱錐底面是正方形，側(cè)面都是全等等腰三角形)有一個內(nèi)接正方體，

它的頂點分別在正四棱錐的底面內(nèi)和側(cè)棱上.若棱錐的底面邊長為a,高為h,求內(nèi)

接正方體的棱長.

12.如圖所示為長方體力員B'CD',當(dāng)用矩形867T把這個長方體分成兩

部分后，各部分形成的多面體還是棱柱嗎？如果不是，請說明理由；如果是，指出

底面及側(cè)棱.

【答案與解析】

1.【答案】B

【解析】棱柱中也存在互相平行的側(cè)面，故A錯；棱柱上、下底面的距離叫棱柱的

高，若側(cè)棱與底面垂直，則側(cè)棱長即為高；若側(cè)棱與底面不垂直，則側(cè)棱長就不是

棱柱的高，故C錯；長方體是棱柱，其底面為平行四邊形，故D錯.綜上.選B.

2.【答案】C

【解析】圓錐是直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)得到的，如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)就不是圓錐，A

不正確，圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體，故B不正確，通

過圓臺側(cè)面上一點，有且只有一條母線，故D不正確.

故選C

3.【答案】C

【解析】由平面圖形折疊成正方形可知，選C.

4.【答案】D

【解析】如答圖3,取GDi的中點H,連接HR,則再

答圖3

取&B與DQ的中點M、N,則多邊形HNQPMR是正六邊形.

5.【答案】B

【解析】?.?小球半徑為1,下面放4個小球，中間放大球，上面再放4個小球，這

相力才能最小，

下面4個小球的4個圓心跟中間大球的圓心形成一個四棱錐，

這四棱錐的四棱錐底面是個邊長為2的正方形，對角線的一半是逝，斜邊是3,

這個四棱錐的高H=42-(夜)2=77,

的最小值〃而n=2(1+")=2+2々.

故選：B.

6.【答案】①②

7.【答案】63

【解析】畫出軸截面，如下圖，過A作AM±BC于M,則BM=5—2=3(cm),

AM7AB°-BM2=9(cm),，S四邊閡皿=^^^63(cm2)。

【解析】設(shè)北緯60度緯線圈上任一點為A,地心為。，A引線垂直于地軸交于8,

則直角三角形QW中NQ46為60度，故筋=空，而Q4為地球半徑長度，所以

2

AB=R/2,故該緯度緯線周長為2.萬土二萬火。

2

9.【答案】2同

【解析】由題意可知，球內(nèi)接于正三棱柱的截面圖是一個半徑為R的圓內(nèi)接于正三

角形，故可求得正三角形的邊長為20R,即這個三棱柱的底面邊長為267?。

10.【答案】(1)S圓柱側(cè)=一2++4m(0<X<2);(2)TT

【解析】(1)設(shè)圓柱的半徑為廣，則工==，.?.尸2—X,0</<2,

22

.二S圓柱側(cè)二2"廠產(chǎn)277(2—x)x=—2TVC2+4TLY.(0VxV2).

(2)S圓柱側(cè)=2兀(2x-f)=2兀［—(x—iy+l］，

...當(dāng)產(chǎn)1時，S圓柱側(cè)取最大值2〃，

此時，41,所以％?柱=兀r與=兀.

11.【解析】作截面，利用相似三角形知識，設(shè)正方體的棱長為x,則^=口，解

a+h

12.【答案】詳見解析

【解析】截面所產(chǎn)F右側(cè)部分是棱柱，因為它滿足棱柱的定義.

它是三棱柱形'—CFC,其中△比夕和△CR?'是底面.

EF,B'C,8c是側(cè)棱，

截面8。于左側(cè)部分也是棱柱.

它是四棱柱/g'—DCFD'.

其中四邊形/的'和四邊形。C&T是底面.

4Dr,EF,BC,47為側(cè)棱.

空間幾何體的三視圖和直觀圖

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解平行投影與中心投影，了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫

空間圖形兩種方法的各自特點，了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式；

2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱的簡易組合體)的三

視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.

【要點梳理】

【空間幾何體的三視圖與直觀圖395059中心投影與平行投影】

要點一：中心投影與平行投影

1.投影、投影線和投影面

由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)

象叫做投影.其中的光線叫做投影線，留下物體影子的屏幕叫做投影面.

2.中心投影

我們把光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影.中心投影的投影線交于一

點，它的實質(zhì)是一個點光源把一個物體射到一個平面上，這個物體的影子就是它在

這個平面上的中心投影.

3.中心投影的性質(zhì)

(1)中心投影的投影線交于一點；

(2)點光源距離物體越近，投影形成的影子越大.

4.平行投影

我們把在一束平行光線照射下形成的投影叫做平行投影.投影線正對著投影面

時，叫做正投影，否則叫做斜投影.

5.平行投影的性質(zhì)

(1)平行投影的投影線互相平行.

(2)在平行投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與這個平面圖形的

形狀和大小完全相同.

6.中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系

(1)平行投影包括斜二測畫法和三視圖.中心投影后的圖形與原圖形相比雖然

改變較多，但直觀性強，看起來與人的視覺效果一致，最像原來的物體.

(2)畫實際效果圖時，一般用中心投影法，畫立體幾何中的圖形時，一般用平

行投影法.

要點二：空間幾何體的三視圖

【空間幾何體的三視圖與直觀圖395059三視圖】

1.三視圖的概念

把一個空間幾何體投影到一個平面上，可以獲得一個平面圖形，但是只有一個

平面圖形很難把握幾何體的全貌，因此我們需要從多個角度進(jìn)行投影，這樣才能較

好地把握幾何體的形狀和大小.通常，我們總是選擇三種投影.

(1)光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖；

(2)光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖；

(3)光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖.

幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.

2.三視圖的畫法規(guī)則

畫三視圖時，以正視圖為準(zhǔn)，俯視圖在正視圖的正下方，側(cè)視圖在正視圖的正

右方，正、俯、側(cè)三個視圖之間必須互相對齊，不能錯位.

正視圖反映物體的長度和高度，俯視圖反映物體的長度和寬度，側(cè)視圖反映物

體的寬度和高度，由此，每兩個視圖之間有一定的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)這種對應(yīng)關(guān)系得

到三視圖的畫法規(guī)則：

(1)正、俯視圖都反映物體的長度——“長對正”；

(2)正、側(cè)視圖都反映物體的高度——“高平齊”；

(3)俯、側(cè)視圖都反映物體的寬度——“寬相等”.

【空間幾何體的三視圖與直觀圖395059斜二測畫法及典型例題1】

要點三：斜二測畫法

在立體幾何中，空間幾何體的直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形.要

畫空間幾何體的直觀圖，首先要學(xué)會水平放置的平面圖形的直觀圖畫法.

對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖，斜二測畫法是一種特

殊的平行投影畫法.

斜二測畫法的步驟：

(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點0.畫直觀圖時，

把它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸交于點0且使Nx'0'y'=45°(或135°),

它們確定的平面表示水平面.

(2)已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'

軸、y'軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐

標(biāo)軸的位置關(guān)系相同.

(3)已知圖形中，平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行

于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就

得到了平面圖形的直觀圖.

要點詮釋：

用斜二測畫法畫圖的關(guān)鍵是在原圖中找到?jīng)Q定圖形位置與形狀的點并在直觀圖

中畫出.一般情況下，這些點的位置都要通過其所在的平行于x、y軸的線段來確定，

當(dāng)原圖中無需線段時，需要作輔助線段.

要點四：立體圖形的直觀圖

(1)用斜二測畫法畫空間幾何體的步驟

①在已知圖形中，取互相垂直的x軸和y軸，再取z軸，使Nx0z=90°,且N

y0z=90°;

②畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸x',y',z',使Nx'O'v'=45°(或

135°),Nx'O'z'=90°,x'O'y'所確定的平面表示水平平面；

③已知圖形中平行于x軸，y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'

軸，v'軸或z'軸的線段；

④在已知平面圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，

平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

⑤擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間幾何體的直觀圖.

(2)斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質(zhì)

①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即

在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x,z軸的長度不變.

(3)畫立體圖形與畫水平放置的平面圖形相比多了一個z軸，其直觀圖中對應(yīng)

于z軸的是z'軸，平面x'0'y'表示水平平面，平面y'0'z'和x'0'z'表

示直立平面.平行于z軸(或在：軸上)的線段，其平行性和長度都不變.

(4)三視圖與直觀圖的聯(lián)系與區(qū)別

三視圖與直觀圖都是用平面圖形來刻畫空間圖形的位置特征與度量特征，二者

有以下區(qū)別：

①三視圖從細(xì)節(jié)上刻畫了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，由三視圖可以得到一個精確的幾

何體，如零件、建筑圖紙等都是三視圖.

②直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，可視性高，立體感強，由此可以想象實

物的形狀.

要點五：已知三視圖畫直觀圖

三視圖和直觀圖是空間幾何體的兩種不同的表現(xiàn)形式.直觀圖是在某一定點觀

察到的圖形，三視圖是投射線從不同位置將物體按正投影向投影面投射所得到的圖

形，對于同一個物體，兩者可以相互轉(zhuǎn)換.

由三視圖畫直觀圖，一般可分為兩步：

第一步：想象空間幾何體的形狀.

三視圖是按照正投影的規(guī)律，使平行光線分別從物體的正面、側(cè)面和上面投射

到投影面后得到的投影圖，包括正視圖、側(cè)視圖和俯視圖.

正視圖反映出物體的長和高，側(cè)視圖反映出物體高和寬，所以正視圖和側(cè)視圖

可以確定幾何體的基本形狀，如柱體、錐體或臺體等.俯視圖反映出物體的長和寬.對

于簡單幾何體來說，當(dāng)俯視圖是圓形時，該幾何體是旋轉(zhuǎn)體；當(dāng)俯視圖是多邊形時,

該幾何體是多面體.

第二步：利用斜二測畫法畫出直觀圖.

當(dāng)幾何體的形狀確定后，用斜二測畫法畫出相應(yīng)物體的直觀圖.注意用實線表

示看得見的部分，用虛線表示看不見的部分.畫完直觀圖后還應(yīng)注意檢驗.

【典型例題】

類型一、平行投影與中心投影

例1.下列命題中正確的是()

A.矩形的平行投影一定是矩形

B.梯形的平行投影一定是梯形

C.兩條相交直線的投影可能平行

D.一條線段的平行投影如果仍是一條線段，那么這條線段中點的投影必是這條

線段投影的中心

【答案】D

【解析】平行投影因投影線的方向變化而不同，因而平行投影改變幾何圖形的

形狀，因而A、B不正確.

兩條直線的交點無論是平行投影還是中心投影仍是同一個點，這個點在兩條直

線的投影上，因而兩條直線的投影不可能平行，故C錯.

兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比，因而D正確.

【總結(jié)升華】空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相

交的直線，如照片中由近到遠(yuǎn)，物體之間的距離越來越近，最后相交于一點.中心

投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性強，看起來與人的視覺效果一

致，最像原來的物體，所以在繪畫時，經(jīng)常使用這種方法.

例2.如下圖所示，正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AA】、CD的中點，G

是正方形BCCB的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個面上的射影可能是下圖中

的.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】要畫出四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影，只需畫出四個頂點

A、G、F、E在每個面上的投影，再順次連接即得在該面上的投影，并且在兩個平行

平面上的投影是相同的.由此可得在面ABCD和面ABCD上的投影是上圖(1);在

面ADDA和面BCCB上的投影是上圖(2)；在面ABBA和面DCCD上的投影是上圖

(3).故填(1)(2)(3).

【總結(jié)升華】畫出一個圖形在一個平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點如

頂點等，畫出這些關(guān)鍵點的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上的投影.

舉一反三：

【變式1】如下圖所示，E、F分別為正方體面ADD'A;面BCC'B'的中心，則

四邊形BFD'E在該正方體的各個面上的投影可能是下圖中的.

類型二、空間幾何體的三視圖

例3.螺栓是棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體，如下圖，畫出它的三視圖.

【解析】該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的.正視圖反映正六棱

柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面，側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面，俯視圖反

映該物體正投影后是一個正六邊形和一個圓（中心重合）.

它的三視圖如下圖.

正視圖斜視圖

俯視圖

【總結(jié)升華】（1）對于簡單空間幾何體的組合體，一定要認(rèn)真觀察，先認(rèn)識它

的基本結(jié)構(gòu)，然后再畫它的三視圖.

（2）在繪制三視圖時，應(yīng)注意：若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們

的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出.

（3）畫簡單組合體的三視圖應(yīng)注意兩個問題：首先，確定正視、側(cè)視、俯視的

方向，同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖就可能不同；其次，簡單組合體是

由哪幾個簡單幾何體構(gòu)成的，并注意它們的構(gòu)成方式，特別是它們的交線位置.

例4.如下圖（1）所示的是一個獎杯的三視圖，畫出它的立體圖形.

Q

1010

【解析】從獎杯的三視圖可以看出，獎杯的底座是一個正棱臺.它的上底面是

邊長為60mm的正方形，下底面是邊長為100mm的正方形，高為20mm.底座的上

面是一個底面對角線長為40mm,高72mm的正四棱柱，它的底面對

角線分別與棱臺的底面的兩邊平行，底面的中心在棱臺上、下底面中Q

心的連線上，獎杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一個直徑!;'r：'

為28mm的球

根據(jù)以上分析，畫出獎杯的立體圖形，如右圖所示.

【總結(jié)升華】由三視圖還原成實物圖是由實物圖畫三視圖的逆向

思維，其關(guān)鍵仍然是抓住“長對正、高平齊、寬相等”的基本特征，想象視圖中每

部分對應(yīng)的實物部分的形狀，特別要注意幾何體中與投影面垂直或平行的線及面的

位置.

根據(jù)三視圖想象空間幾何體，是培養(yǎng)空間想象能力的重要方式，這需要根據(jù)幾

何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的幾何特點，想象整個幾何體的幾何特征，從而判

斷三視圖所描述的幾何體.通常是根據(jù)俯視圖判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再結(jié)合正

視圖和側(cè)視圖確定具體的幾何結(jié)構(gòu)特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體.

舉一反三：

【變式1】右圖是長和寬分別相等的兩個矩形.給定下列三個命題，

其中真命題的個數(shù)是（）.