設(shè)有線性方程組

設(shè)有線性方程組（1）

第三章線性方程組§1消元法相應(yīng)的一些概念：稱為方程組的系數(shù)；解→解集合→同解方程組稱為方程組的常數(shù)項(xiàng)；引例求解線性方程組分析：用消元法解方程組的過程．解用“回代”的方法求出解于是解得小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．

2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換：（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）3．上述三種變換都是可逆的．

由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．定義：上述三種變換稱為方程組的初等變換。易知，對方程組（1）進(jìn)行一系列的初等變換可得到一個(gè)階梯形方程組，不妨設(shè)為（5）其中方程組（5）與方程組（1）同解方程組（5）無解，（1）無解。分兩種情況：階梯形方程組為1)其中（6）方程組（6）和方程組（1）有唯一解。2）階梯形方程組為其中把上述方程組改寫為（7）由此可見，任給一組值，就唯一地定出的值，即為方程組（7）的一個(gè)解。一般地，由（7）我們可以把通過表示出來。這樣一組表達(dá)式稱為方程（1）的一般解。稱為一組自由未知量。的情形是不可能出現(xiàn)的。消元法解方程組的過程初等變換化為階梯形方程組，去掉恒等式“0=0”若剩下的方程最后一個(gè)等式零等于非零數(shù)，方程組無解；否則有解，轉(zhuǎn)2）或3)。1）2）若階梯形方程組方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)，方程組有唯一解。3）若階梯形方程組方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，方程組有無窮多個(gè)解。用自由未知量表示定理1在齊次線性方程組中，如果那么它必有非零解。證明顯然，方程組在化成階梯形方程組之后，方程的個(gè)數(shù)不會超過原來方程的個(gè)數(shù)，即由得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。定義1由sn

個(gè)數(shù)排列成的s行（橫的），n列稱為一個(gè)s×n

矩陣。數(shù)aij，i＝1，2，…，s，稱為矩陣的元素。i當(dāng)一矩陣的元素全是某一數(shù)域P中的數(shù)時(shí)，它（縱的）的表稱為元素aij

的行指標(biāo)，j稱為列指標(biāo)。就稱為這一數(shù)域P上的矩陣。

因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣

(稱為方程組（1）的增廣矩陣）的變換．定義2所謂數(shù)域P上的矩陣初等行變換是指下列當(dāng)矩陣A經(jīng)過初等行變換變成矩陣B時(shí)，我們寫三種變換：（1）以P中的一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行；（2）把矩陣的某一行的c被加到另一行，c是P中（3）互換矩陣中兩行的位置。任意一個(gè)數(shù)。成n×n

矩陣也稱為n級方陣。一個(gè)n級方陣定義一個(gè)n級行列式稱為A的行列式，記為我們稱形式如的矩陣為階梯形矩陣。小結(jié)：任意一個(gè)矩陣經(jīng)過一系列行初等變換總能變成階梯形矩陣。例1：①,②換行①+③①×(-2)+④②+③②×(-3)+④③+④則上述方程組（1）可寫成矩陣形式若記分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，

§2

n

維向量空間定義2數(shù)域P上一個(gè)n維向量就是由數(shù)域P中n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為第i分量.時(shí)，維向量沒有直觀的幾何形象．可以把上述有關(guān)三維向量的討論推廣到n維向量.定義:1、兩個(gè)向量的相等2、兩個(gè)向量的和3、向量與數(shù)的數(shù)量乘積4、零向量，負(fù)向量易證：向量關(guān)于上述“和”、“數(shù)量乘積”滿足交換律、結(jié)合律、分配律等.（P115:(2)(3)(6)(7)(8)）

定義8

以數(shù)域P中的數(shù)作為分量的n維向量的全體，同時(shí)考慮到在它們上面定義的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域P上的n維向量空間.維向量的表示方法

維向量寫成一行，稱為行向量，通常用等表示，如：

維向量寫成一列，稱為列向量，通常用等表示，如：向量解析幾何線性代數(shù)既有大小又有方向的量有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可隨意平行移動的有向線段代數(shù)形象：向量的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)系向量空間空間解析幾何線性代數(shù)點(diǎn)空間：點(diǎn)的集合向量空間：向量的集合坐標(biāo)系代數(shù)形象：向量空間中的平面幾何形象：空間直線、曲線、空間平面或曲面一一對應(yīng)定義9§3線性相關(guān)性向量稱為向量組的一個(gè)線性組合，如果有數(shù)域使中的數(shù)例令是向量組的一個(gè)線性組合，因?yàn)槿我粋€(gè)維向量都是向量組的一個(gè)線性組合:且維單位向量↘零向量是任一向量組的線性組合。當(dāng)向量是向量組的一個(gè)線性組合時(shí)，也說可以經(jīng)線性表出。小結(jié)一：定義10如果向量組中每個(gè)向量都可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組就稱為可以經(jīng)向量線性表出。如果兩個(gè)向量互相可以線性表出，它們就稱為等價(jià)。組小結(jié)二：每一個(gè)向量組都可以經(jīng)它自身線性表出。可以經(jīng)向量組線性表出。若向量組可以經(jīng)向量組線性表出，向量組可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組向量組等價(jià)的性質(zhì)：1）反身性：每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià)。2）對稱性：如果向量組與等價(jià)，那么向量組與等價(jià)。3）傳遞性：如果向量組與等價(jià)，向量組與向量組與等價(jià)。等價(jià)，那么定義11如果向量組有一向量可以經(jīng)其它的向量線性表出，那么向量組稱為線性相關(guān)的。定義11′向量組稱為線性相關(guān)，如果有數(shù)域中不全為零的數(shù)使例任意一個(gè)包含零向量的向量組必線性相關(guān)。定義12一向量組即沒有不全為零的數(shù)使就稱為線性無關(guān)；或者說，一向量組稱為線性無關(guān)，如果由可以推出不線性相關(guān)，如果一個(gè)向量組的一部分線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線性相關(guān)。如果一個(gè)向量組線性無關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無關(guān)。由定義可知事實(shí)上，由維單位向量組成的向量組線性無關(guān).證

02110011101

1=由于此方程組的系數(shù)行列式定理2與組，如果1）線性表出，2）那么向量組必線性相關(guān)。向量組可以經(jīng)是兩個(gè)向量證明由1）有到不全為零的數(shù)使為了證明線性相關(guān)，只要證可以找做線性組合的系數(shù)全為零，那就證明了的線性相關(guān)性。這一點(diǎn)是能夠做到的，由2），即如果我們找到不全為零的數(shù)使齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，根據(jù)定理1，它有非零解。推論1推論2推論3向量組可以經(jīng)線性表出，且線性無關(guān)，那么任意個(gè)維向量必線性相關(guān)。兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量。定理2的推論：定義13一個(gè)向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無關(guān)組，如果這個(gè)組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中任意添一個(gè)向量（如果有的話）所得的部分向量組都線性相關(guān)。一個(gè)線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組就是這個(gè)向量組本身.任何一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià).一向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組都等價(jià).小結(jié)四：向量組的極大線性無關(guān)組不是唯一的.定理