2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊高分突破必練專題（人教版） 完全平方公式的幾何背景（兩大類型）（解析版）

完全平方公式的幾何背景（兩大類型）【典例1】（2022秋?南昌縣期中）如圖1所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖2的方式拼成一個正方形．（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于；（2）請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖2中陰影部分的面積：方法①；方法②；（3）觀察圖2，直接寫出（m+n）2，（m﹣n）2，mn這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系；（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）由拼圖可知，圖②中陰影部分的邊長為m﹣n，故答案為：m﹣n；（2）陰影部分是邊長為m﹣n的正方形，因此面積為（m﹣n）2，陰影部分的面積可以看作從邊長為m+n的正方形面積中減去4個長為m，寬n的長方形面積，即（m+n）2﹣4mn，故答案為：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）中兩種方法所表示的圖形的面積相等，可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）∵a+b＝8，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣20＝44【變式1-1】（2022春?玄武區(qū)校級期中）觀察圖形，用兩種不同的方法計算大長方形面積，我們可以驗證等式（）A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2 D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2【答案】A【解答】解：整體是長為a+2b，寬為a+b的長方形，因此面積為（a+2b）（a+b），整體是由6個部分的面積和，即a2+3ab+2b2，因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，故選：A．【變式1-2】（2022秋?渝中區(qū)校級月考）如圖，兩個正方形邊長分別為a，b，已知a+b＝7，ab＝9，則陰影部分的面積為（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解答】解：根據(jù)題意可得，S陰＝a2﹣﹣＝（a2﹣ab+b2）＝[（a+b）2﹣3ab]，把a+b＝7，ab＝9代入上式，則S陰＝×（72﹣3×9）＝11．故選：B．【變式1-3】（2022春?阜寧縣期末）圖1，是一個長為2m、寬為2n（m＞n）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖2形式拼成一個正方形，那么中間陰影部分的面積為（）A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2【答案】C【解答】解：方法一：圖2中四個長方形的面積的和＝圖1的長方形的面積＝2m×2n＝4mn，圖2的大正方形的面積＝（m+n）2，圖2中陰影部分的面積＝圖2的大正方形的面積﹣圖2中四個長方形的面積的和＝（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2．方法二：圖中陰影部分是正方形，且四個邊長都是（m﹣n），∴陰影部分的面積＝（m﹣n）2．故選：C．【典例2】（2022春?雙流區(qū)校級期中）著x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）；（3）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝2，CF＝6，長方形EMFD的面積是192，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．【解答】解：（1）設(shè)7﹣x＝a，x﹣4＝b，則（7﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝7﹣x+x﹣4＝3，∴（7﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）設(shè)n﹣2021＝a，n﹣2022＝b，則（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝a2+b2＝11，a﹣b＝（n﹣2021）﹣（n﹣2022）＝1，（n﹣2021）（2022﹣n）＝﹣（n﹣2021）（n﹣2022）＝﹣ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）]＝＝﹣5；（3）根據(jù)題意可得，MF＝x﹣2，F(xiàn)D＝x﹣6，（x﹣2）（x﹣6）＝192，設(shè)x﹣2＝a，x﹣6＝b，則（x﹣2）（x﹣6）＝ab＝192，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，S陰＝（x﹣2）2﹣（x﹣6）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）＝×4＝28×4＝112．陰影部分的面積為112．【變式2】（2022春?鹽都區(qū)月考）閱讀理解：若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：設(shè)30﹣x＝a，x﹣10＝b，則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解決問題：（1）若x滿足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，則（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x滿足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，點E．F是BC、CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為100平方單位，則圖中陰影部分的面積和為平方單位．【解答】解：（1）設(shè)2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，則（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；故答案為：12；（2）設(shè)x﹣2022＝a，x﹣2018＝b，則（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝202，a﹣b＝（x﹣2022）﹣（x﹣2018）＝﹣4，（x﹣2022）（x﹣2018）＝ab＝﹣[（a﹣b）2﹣（a2+b2）]＝[（﹣4）2﹣202]＝93；（3）根據(jù)題意可得，CF＝CD﹣DF＝16﹣x，CE＝BC﹣BE＝12﹣x，（16﹣x）（12﹣x）＝100，設(shè)16﹣x＝a，12﹣x＝b，則（16﹣x）（12﹣x）＝ab＝100，a﹣b＝（16﹣x）﹣（12﹣x）＝4，S陰＝（16﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×100＝216．圖中陰影部分的面積和為216平方單位．故答案為：216．1．（2022春?盱眙縣期中）如圖，點C是線段BG上的一點，以BC，CG為邊向兩邊作正方形，面積分別是S1和S2，兩正方形的面積和S1+S2＝20，已知BG＝6，則圖中陰影部分面積為（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：設(shè)BC＝a，CG＝b，∵四邊形CEFG是正方形，∴CE＝CG＝b，∵兩正方形的面積和S1+S2＝20，∴a2+b2＝20，∵a+b＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36，∴ab＝8，∴S陰＝ab＝4，故選：A．2．（2022春?廬陽區(qū)校級期中）如圖所示，以長方形ABCD的各邊為直徑向外作半圓得到一個新的圖形其周長為16π，同時此圖形中四個半圓面積之和為44π，則長方形ABCD的面積為（）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【解答】解：設(shè)AB＝a，BC＝b，由題意得：πa+πb＝16π，π×+π×＝44π．∴a+b＝16，a2+b2＝176．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴256＝176+2ab．∴ab＝40．∴S長方形ABCD＝40．故選：C．3．（2022春?太原期中）通過兩種不同的方法計算同一圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式，用這種方法可得到整式乘法中的一些運算法則或公式，例如，由圖1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即為多項式乘法法則．利用圖2可得的乘法公式為（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2【答案】B【解答】解：根據(jù)圖2可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選：B．4．（2022春?新泰市期中）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．（1）求圖2中的陰影部分的正方形的周長；（2）觀察圖2，請寫出下列三個代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝24，運用你由（2）所得到的等量關(guān)系，求圖中陰影部分面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，陰影部分的正方形的周長為4（a﹣b）；（2）根據(jù)題意可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）設(shè)AC＝a，BC＝b，則a+b＝8，a2+b2＝24，根據(jù)題意可得，S陰＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（82﹣24）＝10．5．（2022秋?上蔡縣校級月考）（1）試用兩種不同的方法表示圖1中陰影部分的面積，從中你有什么發(fā)現(xiàn)，請用等式表示出來；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決下列問題：①如圖2，兩個正方形的邊長分別為a，b，且a+b＝ab＝9，求圖2中陰影部分的面積．②已知4a2+b2＝57，ab＝6，求2a+b的值；③若（20﹣x）（x﹣30）＝10，則（20﹣x）2+（x﹣30）2的值是．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，方法一：S陰＝a2+b2，方法二：S陰＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；（2）①根據(jù)題意可得，S陰＝a2+b2﹣（a+b）b﹣a2＝（a2﹣ab+b2），∵a+b＝ab＝9，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝92﹣2×9＝63，∴S陰＝×（63﹣9）＝27；②（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝57+4×6＝81，∴2a+b＝±9；③設(shè)20﹣x＝a，x﹣30＝b，則（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝﹣10；∴（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．故答案為：80．6．（2022春?順德區(qū)校級期中）如圖所示，在邊長為a米的正方形草坪上修建兩條寬為b米的道路．（1）為了求得剩余草坪的面積，小明同學(xué)想出了兩種辦法，結(jié)果分別如下：方法①：.方法②：.請你從小明的兩種求面積的方法中，直接寫出含有字母a，b代數(shù)式的等式是：．（2）根據(jù)（1）中的等式，解決如下問題：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．【解答】解：（1）方法①，通過平移兩條路，草坪可看作邊長為（a﹣b）米的正方形，因此面積為（a﹣b）2（平方米），方法②，從大正方形面積里減去兩條路的面積，即（a2﹣ab﹣ab+b2）平方米，也就是（a2﹣2ab+b2）平方米，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案為：（a﹣b）2，a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）①∵a﹣b＝5，∴a2﹣2ab+b2＝25，又∵a2+b2＝20，∴ab＝﹣；②設(shè)x﹣2020＝m，x﹣2022＝n，則m﹣n＝2，m2+n2＝（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，∴m2﹣2mn+n2＝4，即12﹣2mn＝4，∴mn＝4，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4+16＝20，∴（x﹣2021）2＝（）2＝＝＝5，答：（x﹣2021）2的值為5．7．（2022春?上虞區(qū)期末）圖1是一個長為2b，寬為2a的長方形，沿虛線平均分成四塊，然后按圖2拼成一個正方形．解答下列問題．（1）圖2中陰影部分的面積可表示為；對于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，這三者間的等量關(guān)系為．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論計算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，則x﹣y＝．（3）觀察圖3，從圖中你能得到怎樣的一個代數(shù)恒等式？再根據(jù)你所得到的這個代數(shù)恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），試求的值．【解答】解：（1）陰影部分是邊長為b﹣a的正方形，因此面積為（b﹣a）2，根據(jù)拼圖以及面積之間的關(guān)系可得，（b﹣a）2，（b+a）2，ab，這三者間的等量關(guān)系為（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab，故答案為：（b﹣a）2；（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab；（2）由（1）可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9+7＝16，∴x﹣y＝±4，故答案為：±4；（3）整個長方形是長為a+3b，寬為a+b，因此面積為（a+3b）（a+b），整個長方形的面積也可看作8個部分的面積和，即a2+4ab+3b2，因此有（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；∵m2+4mn+3n2＝0（n≠0），即（m+n）（m+3n）＝0，∴m+n＝0或m+3n＝0，∴＝﹣1或＝﹣3．8．（2022春?包頭期末）如圖，學(xué)校有一塊長為（a+2b）m，寬為（a+b）m的長方形土地，四個角留出四個邊長為（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分進行綠化．（1）用含a、b的式子表示要進行綠化的土地面積；（結(jié)果要化簡）（2）當(dāng)a＝6，b＝10時，求要進行綠化的土地面積．【解答】解：（1）由于S綠化面積＝S長方形﹣4S小正方形，因此有，（a+b）（a+2b）﹣4（b﹣a）2＝a2+3ab+2b2﹣4a2+8ab﹣4b2＝（11ab﹣3a2﹣2b2）m2，答：綠化的面積為（11ab﹣3a2﹣2b2）m2；（2）當(dāng)a＝6，b＝10時，原式＝660﹣108﹣200＝352（m2）答：當(dāng)a＝6，b＝10時，綠化的土地面積為352m2．9．（2022?平泉市一模）如圖，將一張矩形大鐵皮切割成九塊，切痕為虛線所示，其中有兩塊是邊長都為m厘米的大正方形，兩塊是邊長都為n厘米的小正方形，五塊是長寬分別是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．（1）用含m、n的代數(shù)式表示切痕總長L；（2）若每塊小矩形的面積為30平方厘米，四個正方形的面積和為180平方厘米，試求（m+n）2的值．【解答】解：（1）L＝2（m+2n）+2（2m+n）＝2m+4n+4m+2n＝6m+6n（cm）；（2）每塊小矩形的面積為30cm2，即mn＝30cm2，四個正方形的面積為180cm2，即m2+n2＝90cm2，∴（m+n）2＝m2+2mn+n2，＝90+2×30＝90+60＝150（cm2）．10．（2022春?江都區(qū)期中）把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方式計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖①，從整體看，是一個面積為可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）（i）由圖②，可得等式：；（ii）利用（i）所得等式，若a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，則a2+b2+c2＝；（2）如圖③，將邊長分別為a、b的兩個正方形拼在一起，B、C、G三點在同一直線上，連接BD和BF，若這兩個正方形的邊長a、b滿足a+b＝10，ab＝20．請求出陰影部分的面積；（3）圖④中給出了邊長分別為a、b的小正方形紙片和兩邊長分別為a、b的長方形紙片，現(xiàn)有足量的這三種紙片．（i）請用所給的紙片拼出一個面積為2a2+5ab+2b2的長方形，并仿照圖①②畫出拼法并標(biāo)注a、b；（ii）結(jié)合（i）拼圖試著分解因式2a2+5ab+2b2．【解答】解：（1）（i）由題意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案