2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)高分突破必練專題（人教版） 對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（原卷版）

對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用應(yīng)用：通過做垂線或者利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形解決問題。【類型一：三角形中的互補(bǔ)模型模型】【典例1】（1）如圖（1），在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖（2），在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【變式1】（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段AE的取值范圍是；則中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，此時(shí)：BE+CFEF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點(diǎn)作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，此時(shí)：BE+DFEF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結(jié)論仍然成立，則∠BCD＝（用含α的代數(shù)式表示）.【類型二：四邊形中的互補(bǔ)模型】【典例2】（1）如圖1，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5cm的正方形，E，F(xiàn)分別在AD，CD邊上，∠EBF＝45°．為了求出△DEF的周長(zhǎng)．小南同學(xué)的探究方法是：如圖2，延長(zhǎng)EA到H，使AH＝CF，連接BH，先證△ABH≌△CBF，再證△EBH≌△EBF，得EF＝EH，從而得到△DEF的周長(zhǎng)＝cm；（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（4）若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上，且2∠EAF＝∠BAD，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【變式2-1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+FD．【變式2-2】“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”證明線段的和差問題：先閱讀背景材料，猜想結(jié)論并填空，然后做問題探究．背景材料：（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．探究的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出的結(jié)論是．探索問題：（2）如圖2，若四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？成立的話，請(qǐng)寫出推理過程．1．閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（1）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．①求證：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；（2）問題拓展：如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．2．如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，其中AD平分∠BAC且∠CBD＝30°，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，EF⊥AC交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF、CF．（1）求∠ADF的大??；（2）求證：△ACF是等邊三角形；（3）猜想AD、BD、DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由．3．（1）問題背景．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是線段BC、線段CD上的點(diǎn)．若∠BAD＝2∠EAF，試探究線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG．再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．（2）猜想論證．如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在線段BC上、F在線段CD延長(zhǎng)線上．若∠BAD＝2∠EAF，上述結(jié)論是否依然成立？若成立說明理由；若不成立，試寫出相應(yīng)的結(jié)論并給出你的證明．4．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，∠EAF＝45°，連接EF，試猜想EF、BF、DE之間的數(shù)量關(guān)系．（1）思路梳理把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，可使AD與AB重合，由∠ABG＝∠D＝90°，得∠FBG＝180°，即點(diǎn)F、B、G共線，易證△AFG≌，故EF、BF、DE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）類比引申如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°．E、F分別是DC、BC上的點(diǎn)．且∠EAF＝∠BAD．猜想圖中線段BF、EF、DE之間的數(shù)量關(guān)系．（3）拓展提高如圖③，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，探究上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．5．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．（1）提示：探究此問題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF．請(qǐng)根據(jù)提示按照提示的方法完成探究求解過程．（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？（成立或不成立）（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．6．在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，現(xiàn)將一個(gè)30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)A處．（1）如圖①，當(dāng)該角的兩邊分別與BC、CD邊相交于E、F時(shí)．求證：EF＝BE+DF；（2）現(xiàn)在將該角繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與BC、CD邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，試探究線段BE與DF之間的等量關(guān)系，并加以證明．（利用圖②進(jìn)行探索）7．【初步探索】（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；【靈活運(yùn)