氫原子薛定諤方程的解課件

定態(tài)薛定諤方程為：11.10氫原子的薛定諤方程的解1、氫原子的定態(tài)薛定諤方程氫原子中電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于核不動(dòng)，電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)。若其半徑為r，則其勢(shì)能函數(shù)為:由于勢(shì)能只與r有關(guān)，是球?qū)ΨQ的，而與方向無(wú)關(guān)，為了計(jì)算方便，采用球坐標(biāo)。球坐標(biāo)下的拉普拉斯算符為：定態(tài)薛定諤方程為：11.10氫原子的薛定諤方程的解1、1在球坐標(biāo)系下：在球坐標(biāo)系下的薛定諤方程：此偏微分方程可以用分離變數(shù)法化成常微分方程求解，即設(shè)代入上式得：在球坐標(biāo)系下：在球坐標(biāo)系下的薛定諤方程：此偏微分方程可以用分2方程（1）的解為方程（2）的解為由標(biāo)準(zhǔn)化條件決定：l=0,1,2,?????,同時(shí)限定給定一lml只能取下列2l+1個(gè)：方程（1）的解為方程（2）的解為由標(biāo)準(zhǔn)化條件決定：l=0,13是連帶的勒讓德函數(shù)角度部分的解：方程（3）的解為其中：Nnl為歸一化常數(shù)，為一常數(shù)，為締合勒蓋爾多項(xiàng)式。同時(shí)規(guī)定了l的取值范圍，即對(duì)于某一確定n,l可能取n個(gè)值：l=0,1,2,…n-1氫原子的波函數(shù)：是連帶的勒讓德函數(shù)角度部方程（3）的解為其中：Nnl為歸一化4討論n、l、ml參數(shù)的物理意義為主量子數(shù)或稱能量量子數(shù)。（1）能量量子化在求解方程（3）時(shí)，電子處于束縛態(tài)時(shí)，E只能取一些分立的負(fù)值，即：n=1的能級(jí)稱為基態(tài)能級(jí)n>1的能級(jí)稱為激發(fā)態(tài)能級(jí)：討論n、l、ml參數(shù)的物理意義為主量子數(shù)或稱能量量子數(shù)。（5如圖所示，n增大時(shí)，能級(jí)間隔減??；n很大時(shí)間隔非常小，可看成連續(xù)變化。126

534氫原子能級(jí)圖-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eVEnl主量子數(shù)

n如圖所示，n增大時(shí)，能級(jí)間隔減小；n很大時(shí)間隔非常小，可看6（2）角動(dòng)量量子化方程（2）得到的波函數(shù)

()表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量是量子化的，其大小為：其中：l稱為角量子數(shù)或稱副量子數(shù)。用來(lái)描述波函數(shù)的空間對(duì)稱性。說(shuō)明：1、L只能取由l決定的一系列分立值，即量子化。2、不同的n值，只要l=0，則L=03、對(duì)于同一n值，l不同時(shí)，L有不同的值。所以氫原子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必須同時(shí)用n,l才能確切地表征。一般s、p、d、f、g……等字母表示l=0,1,2,……，顯然，對(duì)于s態(tài)的電子來(lái)說(shuō)，其動(dòng)量矩L=0.（2）角動(dòng)量量子化方程（2）得到的波函數(shù)()表明：電子繞7（3）角動(dòng)量的空間取向量子化方程（1）得到的波函數(shù)

()表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量空間取向是量子化的，設(shè)：外磁場(chǎng)方向?yàn)閆軸方向，Lz表示L在外場(chǎng)方向投影大小，則：這里的ml即為前面講的m，稱為磁量子數(shù)。對(duì)應(yīng)一個(gè)l，ml有2l+1個(gè)值，即角動(dòng)量的空間取向有2l+1種可能。索末菲在1915-1916年提出：氫原子中的電子繞核作圓周軌道運(yùn)動(dòng)，軌道平面在空間的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，這既是軌道空間量子化假設(shè)（3）角動(dòng)量的空間取向量子化方程（1）得到的波函數(shù)()8 如圖，即為n=4(l=0,1,2,3)電子的角動(dòng)量空間取向量子化的情形。ml=Lz/h1-100011-1-1-2-2223-3 如圖，即為n=4(l=0,1,2,3)電子的角動(dòng)量空間取向9（4）電子自旋電子具有自旋是由施特恩和蓋拉赫用實(shí)驗(yàn)證明的。在相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，由理論推導(dǎo)電子必須具有自旋；但在非相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，電子的自旋是根據(jù)實(shí)驗(yàn)引進(jìn)的。KBNSPK原子射線；B狹縫；NS磁場(chǎng)；P照相板結(jié)果：無(wú)外場(chǎng)時(shí)，P上沉積一條正對(duì)B的痕跡；有外場(chǎng)時(shí)，出現(xiàn)幾條不連續(xù)的線狀痕跡。此實(shí)驗(yàn)最初用s態(tài)銀原子進(jìn)行，原子射線分裂為二條，且二者偏轉(zhuǎn)上下對(duì)稱。因s態(tài)原子l=0本身無(wú)動(dòng)量矩和磁矩。（4）電子自旋電子具有自旋是由施特恩和蓋拉赫101925年倫貝克提出：電子不能看成簡(jiǎn)單的點(diǎn)電荷，除繞核的磁矩外，還有固有磁矩，該磁矩稱自旋磁矩。量子力學(xué)的計(jì)算：自旋動(dòng)量矩S為自旋動(dòng)量矩也是量子化的，它在外場(chǎng)方向投影Sz只能有如下兩種取值：為正時(shí)，稱為自旋向上。為負(fù)時(shí)，稱為自旋向下。1925年倫貝克提出：電子不能看成簡(jiǎn)單的點(diǎn)電荷，除繞核的磁矩11確定氫原子的狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)主量子數(shù)決定電子的能量。角量子數(shù)決定電子軌道角動(dòng)量磁量子數(shù)