彈性力學(xué)課件二

8TheoryofSpatialProblems8.1DifferentialEquationsofEquilibrium8.5GeometricalEquationsandPhysicalEquations8.8AxialSymmetryandSphericalSymmetry8.2StateofStressataPoint8.3PrincipalStressesMaximumandMinimumStresses即，已知x、y、z、xy、xz、

yz求過(guò)P點(diǎn)任一斜面上的應(yīng)力8.2物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)過(guò)彈性體同一點(diǎn)P的不同截面上，應(yīng)力是不相同的，在空間問(wèn)題中，可以用

x，y，z，xy，xz，yz，來(lái)描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)StateofStressataPointWhenthesixstresscomponentsatacertainpointPareknown,wecanfindthestressactingonanyinclinedplanepassingthroughthepoint.XNYNZNNxyzPABC過(guò)P點(diǎn)取圖示四面體PABC為隔離體，其三個(gè)面平行于坐標(biāo)面，各面上的應(yīng)力分量如圖所示,當(dāng)四面體無(wú)限縮小時(shí)，則趨近于P點(diǎn)WeisolateanelementarytetrahedronPABC,withitsfaceABCparalleltotheinclinedplaneconsideredanditsotherthreefacesparalleltothecoordinateplanes.XNYNZNNxyzPABC將斜面ABC上的應(yīng)力分解為XN、YN、ZN，斜面ABC的外法線為N，其方向余弦為：設(shè)ABC的面積為S，則四面體的體積為V，根據(jù)四面體的平衡條件：當(dāng)四面體無(wú)限縮小時(shí)，Theequilibriumconditionofthetetrahedroninthexdirectionyields整理得：FromwhichwehaveWhenthetetrahedronismadeinfinitesimal,thequotientwillapproachzero最后得：同理得：設(shè)斜面ABC上的正應(yīng)力為N剪應(yīng)力NPABC由此可見(jiàn)：若已知某一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量x、y、z、xy、xz、

yz，即可利用上述公式求斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力若ABC是物體的邊界面，則XN、YN、ZN，即為面力分量X、Y、ZWhenthesixstresscomponentsatacertainpointPareknown,wecanfindthenormalandshearingstressactingonanyinclinedplanepassingthroughthepoint.WhenthetriangleABCisontheboundaryofabody,XN、YN、ZNwillbethesurfaceforcecomponents.空間霞問(wèn)題足的應(yīng)柔力邊嗚界條妹件：上述獎(jiǎng)式子遇即為擠應(yīng)力荷分量擾的邊刑界值才與面步力分純量之螺間的民關(guān)系Th半e鄉(xiāng)豐st榴re信ss蓄b室ou襪nd轉(zhuǎn)ar有y孟co今nd甚it等io趁ns謙o帖f減a住sp挨at勁ia脂l趴pr綠ob秒le勤mTh瘋e熱re光la媽ti變on費(fèi)s蠢be疊tw躺ee婚n置th碑e閑bo尺un郵da拾ry闖v沉al侵ue恐s燒of盛s崗tr驢es挑s斥co山mp細(xì)on歸en雨ts爸a唱nd本t鋒he培g謊iv停en困v掌al圈ue慕s局of繡s醋u(yù)r范fa滑ce圖f毯or委ce叉c撥om喪po窯ne隙nt蹦s.8.柜3貢主應(yīng)挨力漲最追大與勸最小糞應(yīng)力一、日主應(yīng)負(fù)力過(guò)P點(diǎn)的就某一妙斜面牙上的壺剪應(yīng)旋力等夏于零坡時(shí)，凡該上瞧斜面死的正把應(yīng)力扁稱為罰主應(yīng)練力，涌該斜裂面稱匯為P點(diǎn)的得應(yīng)力蔽主面悼，斜脈面的份法線娛方向謝稱為P點(diǎn)的江一個(gè)絨應(yīng)力敬主向二、臭主應(yīng)羨力計(jì)礎(chǔ)算公包式設(shè)斜洪面上陷的主抱應(yīng)力哨為（免全應(yīng)沃力）砌，其嬸在x、仁y、塘z軸上亦的投瞧影為XN、YN、ZNPr絨in草ci卡pa及l(fā)主St出re健ss資esMa烘xi親mu膠m亮an獅d祥Mi驅(qū)ni缺mu暮m獎(jiǎng)St零re新ss柏es(P唇ri臂nc揚(yáng)ip盜al何S比tr帆es灣se郊s潑)XNYNZN

xyzPABC將其武代入XN、YN、ZN的表剃達(dá)式販：且：整理雞得：這是名關(guān)于l、叼m、酷n的齊告次線蝦性方夾程組魚(yú),要褲使方題程組認(rèn)有非抖零解垃，l、銀m、泉n前的數(shù)系數(shù)販所組真成的伏行列您式必譽(yù)為零梳，即均：展開(kāi)弦得：此方百程的凈三個(gè)櫻根1、2、3就是P點(diǎn)的稀三個(gè)終主應(yīng)鼓力二、應(yīng)應(yīng)力沖主向設(shè)1的方向余弦為：l1、m1、n1代入下列方程中的任意兩式，比如，前兩式由此方程組可解出，再聯(lián)立式即可求出l1、m1、n1

同理喜，可門以求孝出l2廳、m荒2、乞n2和l3煉、m轉(zhuǎn)3、蒙n3三、西主應(yīng)免力之此間的模關(guān)系枕及最京大、殘最小旨正應(yīng)逢力物體扣內(nèi)任護(hù)一點(diǎn)映是否月存在歐主應(yīng)經(jīng)力？稍存在有幾個(gè)使主應(yīng)周力？練他們養(yǎng)之間雜的關(guān)毯系如電何？方程至少有一個(gè)實(shí)根，即至少存在一個(gè)主應(yīng)力和應(yīng)力主面設(shè)此指主應(yīng)壺力為勸

3，且音將z軸放誼在3的方睡向，繼即3=床

z，zx=xz=0角；yz=zy=0于是窩，平螺行六物面體繁的應(yīng)趁力分佩量如勇圖所臨示

1

1

2

2

x

x

y

y

xy

xy

yx

yxoxy根據(jù)捕前2鐵-3謝節(jié)分往析，誕可以弓斷定墨有兩扔個(gè)主燒應(yīng)力閑

1和2，它葵們相黨互垂惠直且柿與3垂直結(jié)論侵：受丟力物繞體中漿任意他點(diǎn)一彼定存番在三虧個(gè)互斯相垂罷直的箭主應(yīng)的力及治應(yīng)力位主面且腳

1+2+3=x+y+z因?yàn)辇R

1、2、3隨坐藥標(biāo)而豈變化體，所交以1+2+3，x+y+z也不天隨坐凈標(biāo)而懼變結(jié)論柴：物膽體內(nèi)般任意井點(diǎn)，盲互相碧垂直背的三弦個(gè)面斬上的蜂正應(yīng)摩力之爭(zhēng)和不平變，辱且等俊于三迫個(gè)主索應(yīng)力葬之和三個(gè)捆主應(yīng)禽力中陪，最績(jī)大的種一個(gè)頑是最阻大正菠應(yīng)力廟，最泡小的育一個(gè)奧就是歡最小奶正應(yīng)皺力特殊治情況卻：三朵個(gè)主江應(yīng)力凍相等倒時(shí)，焦所有欠各截勵(lì)面上遍的正盒應(yīng)力拆相等溝，且貝剪應(yīng)嚴(yán)力等顫于零同學(xué)舊可自下行證樹(shù)明：懶最大希、最名小剪隱應(yīng)力罪，在苗數(shù)值固上等食于最尿大于熱最小歇主應(yīng)另力之塊差的州一半往，作抬用在義通過(guò)必中間旨主應(yīng)厘力且肉平分災(zāi)最大駱主應(yīng)窩力與帥最小閃主應(yīng)刊力的捎夾角拆的平帆分線肆上本兇章德小延結(jié)1、玩空間滋問(wèn)題拾的基自本未文知量床：x、y、z、xy、xz、

yz、

x、y、z、

xy、xz、yz、u哈、v分、w，根據(jù)嘴平衡珍微分按方程椅、幾抗何方存程、飯物理傷方程?？汕笱矇劢馍隙鑫雌拗?、榜空間撓軸對(duì)腳稱問(wèn)尿題的命基本倡未知鉛量：疾

r、

、z、zr、

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、w叛，采用格柱坐哨標(biāo)，