彈塑性力學(xué)之物理方程

物理方程

應(yīng)力只取決于應(yīng)變狀態(tài)，與達(dá)到該狀態(tài)的過程無關(guān)

x=

x(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

y=

y(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

…….

zx=

zx

(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)一般表示對于線性彈性材料，應(yīng)力與應(yīng)變是線性關(guān)系

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy+c15

yz+c16

zx

y

=c21

x+c22

y+c23

z+c24

xy+c25

yz+c26

zx

z

=c31

x+c32

y+c33

z+c34

xy+c35

yz+c36

zx

xy

=c41

x+c42

y+c43

z+c44

xy+c45

yz+c46

zx

yz

=c51

x+c52

y+c53

z+c54

xy+c55

yz+c56

zx

zx

=c61

x+c62

y+c63

z+c64

xy+c65

yz+c66

zx

系數(shù)cmn共36個取決于材料彈性性質(zhì)，與坐標(biāo)系選取有關(guān)張量形式表示

ij

=Cijkl

kl

其中Cijkl稱為四階彈性張量，共81個分量。同樣也取決于坐標(biāo)系，服從四階張量的坐標(biāo)變換定律彈性張量的對稱性（1）根據(jù)應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對稱性

Cijkl=Cjikl

（2）根據(jù)應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對稱性

Cijkl=Cijlk

獨立的分量也是36個。

（3）應(yīng)變能存在，則彈性張量關(guān)于ij和kl也應(yīng)對稱

Cijkl=Cklij

獨立的彈性常數(shù)共有21個兩種表示方式之間的關(guān)系

彈性系數(shù)c的下標(biāo)1、2、3、4、5、6對應(yīng)于張量C的指標(biāo)11、22、33、12、23、31例如：c11＝C1111

c12＝C1122

c13＝C1133

c14＝C1112

彈性系數(shù)cmn也應(yīng)具有對稱性

cmn＝cnm

材料對稱性彈性對稱面該面對稱的兩個方向具有相同的彈性關(guān)系

以最蘆后一上個方姨程為娘例

zx反號澇，而

x，

y，

z和

xy不變頁，c61＝c62＝c63＝c64＝0

x=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy

y=c12

x+c22

y+c23

z+c24

xy

z=c13

x+c23

y+c33

z+c34

xy

xy=c14

x+c24

y+c34

z+c44

xy

yz=c55

yz+c56

zx

zx=c56

yz+c66

zx正交櫻各向俊異性旗材料具有翁三個采相互胃正交燦的彈鋤性對逢稱面串。獨腥立彈抽性常躁數(shù)減衛(wèi)少到9個

x=c11

x+c12

y+c13

z

y=c12

x+c22

y+c23

z

z=c13

x+c23

y+c33

z

xy=c44

xy

yz=c55

yz

zx=c66

zx各種脫增強革纖維畝復(fù)合劫材料笛和木舍材等明屬于朗這類儉材料橫觀錦各向粱同性炊材料存在挺一個距彈性燥對稱乒軸，巾在垂輸直該饒軸的仇平面輔內(nèi)材爐料各暈向同字性將x，y軸互禍換時腎，材妻料彈飯性關(guān)肅系不邪變c11=c22，c13=c23，c55=c66將坐懼標(biāo)系富繞z軸旋蜂轉(zhuǎn)450，剪寬切應(yīng)斜力應(yīng)見變關(guān)娃系不脈變，c44=(c11

c12)

x=c11

x+c12

y+c13

z

y=c12

x+c11

y+c13

z

z=c13

x+c13

y+c33

z

xy=(c11

c12)

xy

yz=c55

yz

zx=c55

zx獨立幼的彈后性常桃數(shù)減炎少到5個。山例如良：層偽狀結(jié)雖構(gòu)的案巖體常。各向貸同性綠彈性謀體廣義Ho害ok劑e定律將x軸與z軸互嫂換，茅或?qū)軸與z軸互犧換時尸，材損料彈背性關(guān)平系不篇變，c11=c33，c12=c13，c55=c66=(c11

c12)于是嚴(yán)，獨偽立的腰彈性剪常數(shù)個減少徑到2個

x=c11

x+c12

y+c12

z

y=c12

x+c11

y+c12

z

z=c12

x+c12

y+c11

z

xy=(c11

c12)

xy

yz=(c11

c12)

yz

zx=(c11

c12)

zx令c12=

，c11

c12=2G

、G稱為La渾me彈性圈常數(shù)

x=2G

x+

xy=G

xy

y=2G

y+

yz=G

yz

z=2G

z+

zx=G

zx

=

x+

y+

z是體達(dá)積應(yīng)扣變廣義Ho戒ok步e定律疏的張襲量形毫式

ij=

kk

ij+2G

ij

ij=Cij凍kl

klCij單kl=

ij

kl+G(

ik

jl+

il

jk)式中

ij是二寨階單死位張旋量某個重面上槽的剪首切應(yīng)奇力為堅零時鬧，剪派應(yīng)變喚也為達(dá)零應(yīng)力合的主恥方向慚與應(yīng)磨變的則主方視向重歸合體積喉應(yīng)力噴與體己積應(yīng)牢變關(guān)烈系將等酸式對聾應(yīng)相頌加，寨可得蓬平均陸應(yīng)力捧與體疤積應(yīng)泄變的非關(guān)系服：3

0=(勞2G+3

)

式中

0=(

x+

y+

z)/懇3是平裕均應(yīng)榴力。

0=K

式中K=雁(3

+2G)/箭3是體包積變脹形模弟量。偏應(yīng)緩力與有偏應(yīng)招變關(guān)寒系

x=2G

x+

sx+

0=2G(ex+

)+

將體雅應(yīng)力絡(luò)與體饑應(yīng)變巖關(guān)系賴代入乒：sx=2Gex同理?？傻枚簊y=2Geysz=2Gez張量州形式愧表示尊為sij=撒2Geij在線韻彈性再范圍純內(nèi)，灘偏應(yīng)蔥力只甘產(chǎn)生尸偏應(yīng)獲變，彩即只搜產(chǎn)生亦形狀墾改變迅，體積鎖應(yīng)力刻只產(chǎn)明生體調(diào)應(yīng)變夏，即例只產(chǎn)庭生體襖積改違變。彈性駝常數(shù)判之間博的關(guān)漂系單軸量拉伸使用剝物理權(quán)關(guān)系對，有疼：

x=掩2G

x+

(

x+

y+

z)0牢=鉤2G

y+

(

x+

y+

z)

y=

z純剪容實驗使用潤物理鋪方程司，

xy=咬2G

xy，G是剪否切模擔(dān)量。G、

、K、E和

共5個彈妄性常齒數(shù)，巧但只韻有2個獨瞎立由應(yīng)昌力表持示應(yīng)劉變正應(yīng)肺力只待產(chǎn)生悅正應(yīng)蒙變；劫剪應(yīng)偽力只菌產(chǎn)生雪剪應(yīng)蒜變。每個群應(yīng)變功等于犧各個怎應(yīng)力喬單獨矩作用絮時產(chǎn)跳生的碧應(yīng)變錄之和抹。彈性環(huán)應(yīng)變標(biāo)能一維散情況一細(xì)脈長桿土，長蘆度L，橫少截面飛積S，兩之端受企拉力P作用瘋，伸壞長量困為

L，外力渡功為由于嚇應(yīng)力

x=P/S，

x=

L/L，上淹式可行寫成單位唯體積母的應(yīng)羨變能W為求應(yīng)府變能竿相對餐應(yīng)變緊的偏鏟導(dǎo)三維祥情況考察丘微小帳六面忠體，避作用纏的應(yīng)監(jiān)力分齒量

ij，由蔽此產(chǎn)耽生的宣應(yīng)變距分量

ij各應(yīng)澇力分控量

ij都只兵在指畫標(biāo)與書它相孤同的炕應(yīng)變遮分量

ij上做烈功，根據(jù)滑能量可平衡幟，單開位體線積的氧應(yīng)變缸能應(yīng)話是所以dW=

ijd

ij對于臉彈性殿體，蓋應(yīng)變逮能只瘋?cè)Q沿于狀積態(tài)，猴而與獄達(dá)到鄉(xiāng)豐該狀疫態(tài)的協(xié)路徑目無關(guān)是應(yīng)儉變狀胃態(tài)的延單值頑函數(shù)W=W(

ij)，應(yīng)攔變能參增量dW必須訪是全蜘微分=

ijd

ij上式鹽對于耽任意醉的應(yīng)宮變增英量d

ij都應(yīng)逮成立惹，可導(dǎo)公出如狹下對倡稱性Cij插kl=Ckl搜ij將物糊理方思程

ij=Cij繭kl

kl代入dW=

ijd

ij，考瓜慮對懼稱性腿，則W=Cij泉kl

ij

kl=

ij

ij應(yīng)變隔能分性解應(yīng)變祥能可蠻分解饅為體前積改價變能殿和形砍狀改廁變能洲。W=

ij

ij=吼(sij+

0

ij)(eij+

kk

ij)=

0

kk+sijeij第一軍項是帆體積準(zhǔn)應(yīng)