北京課改版數(shù)學(xué)八年級上冊12.3 三角形中的主要線段 素養(yǎng)提升練（含解析）

第第頁北京課改版數(shù)學(xué)八年級上冊12.3三角形中的主要線段素養(yǎng)提升練（含解析）第十二章三角形

12.3三角形中的主要線段

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識點1三角形的中線

1.(2023貴州貴陽中考)如圖,在△ABC中有四條線段DE,BE,EF,FG,其中有一條線段是△ABC的中線,則該線段是()

A.線段DEB.線段BEC.線段EFD.線段FG

2.(2023北京大興期中)如圖,AD是△ABC的中線,AB=8cm,△ABD與△ACD的周長差為2cm,則AC=cm.

第2題圖

第3題圖

3.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,AD是△ABC的中線,E,F分別是AD,CE的中點,且S△BEF=

1,則S△ABD=.

知識點2三角形的角平分線

4.(2023北京房山期末)如圖,在△ABC中,∠A=45°,∠C=75°,BD是△ABC的角平分線,則∠BDC的度數(shù)為()

A.60°B.70°C.75°D.105°

5.(2022北京海淀期中改編)如圖,D為△ABC內(nèi)一點,CD平分∠ACB,∠D=90°,∠A=∠ABD,若∠DBC=54°,則∠A的度數(shù)為()

A.36°B.44°C.27°D.54°

6.(2022北京門頭溝期末)如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線與∠ACB的平分線交于點P.

(1)當(dāng)∠A=60°時,求∠BPC的度數(shù);

(2)當(dāng)∠A=α°時,直接寫出∠A與∠BPC的數(shù)量關(guān)系.

知識點3三角形的高

7.(2022浙江杭州中考)如圖,CD⊥AB于點D,已知∠ABC是鈍角,則()

A.線段CD是△ABC的AC邊上的高線

B.線段CD是△ABC的AB邊上的高線

C.線段AD是△ABC的BC邊上的高線

D.線段AD是△ABC的AC邊上的高線

8.若一個三角形的兩條邊長之比是2∶3,則這兩條邊上的高之比是.

9.(2023貴州仁懷期中)如圖,AD,BE分別是△ABC的高,若AD=4,BC=6,AC=5,求BE的長.

10.(2022四川自貢貢井期中)如圖,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,CE是AB邊上的中線,AB=12cm,BC=20cm,AC=16cm,求:

(1)AD的長;

(2)△BCE的面積.

能力提升全練

11.(2022北師大附中期中,3,★☆☆)如圖,△ABC中BC邊上的高為()

A.線段AEB.線段BD

C.線段BFD.線段CF

12.

(2023北京朝陽期末,5,★☆☆)如圖,在△ABC中,AD是高,AE是中線,若AD=3,S△ABC=6,則BE的長為()

A.1B.C.2D.4

13.(2023江蘇泰州中考,5,★☆☆)如圖所示的網(wǎng)格是由邊長相等的小正方形組成的,點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點上,則△ABC的重心是()

A.點DB.點E

C.點FD.點G

14.(2023北京二十中月考,12,★☆☆)如圖,在△ABC中,AD,BE分別是△ABC的高和角平分線,若∠C=70°,∠AEB=95°,則∠BAD=°.

15.(2022北京海淀師達(dá)中學(xué)月考,17,★★☆)如圖,AB⊥BD于點B,AC⊥CD于點C,且AC與BD交于點E,已知AE=10,DE=5,CD=4,則AB的長為.

16.(2022云南昆明五華期末,12,★★☆)如圖,點D是△ABC中AB邊上的點,點E是CD的中點,連接AE、BE,若△ABC的面積為8,則陰影部分的面積為.

17.(2023北京朝陽期末,16,★★★)一個三角形的三條高的長都是整數(shù),若其中兩條高的長分別為4和12,則第三條高的長為.

18.(2023北京三十五中期中,23,★☆☆)已知△ABC(如圖),按下列要求畫圖:

(1)△ABC的中線AD;

(2)△ABD的角平分線DM;

(3)△ACD的高線CN;

(4)若C△ADC-C△ADB=3(C表示周長),且AB=4,則AC=.

素養(yǎng)探究全練

19.【推理能力】如圖,△ABC三邊上的中線AD、BE、CF的交點為G,若S△ABC=12,則圖中陰影部分的面積是.

20.【推理能力】【等面積法】等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.

(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB,則CD的長為;

(2)如圖2,在△ABC中,AB=4,BC=2,則△ABC的高CD與AE的比是;

(3)如圖3,在△ABC中,∠C=90°(∠A<∠ABC),點D,P分別在邊AB,AC上,且BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分別為點E,F.若BC=10,求DE+DF的值.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.B根據(jù)三角形中線的定義知線段BE是△ABC的中線,故選B.

2.答案6

解析∵AD為△ABC的中線,∴BD=CD,∴△ABD與△ACD的周長之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,∵AB=8cm,△ABD與△ACD的周長差為

2cm,∴8-AC=2,∴AC=6cm.

3.答案2

解析∵D,E,F分別是BC,AD,CE的中點,

∴S=2S,S=2S,S=2S,

∵S=1,

∴S=2,∴S=1,∴S=2.

4.C∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=75°,

∴∠ABC=180°-45°-75°=60°,

∵BD是△ABC的角平分線,

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°,

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-30°-75°=75°.

故選C.

5.C∵∠D=90°,∠DBC=54°,∴∠BCD=36°,∵CD平∠ACB,∴∠ACB=2∠BCD=72°,

∵∠A=∠ABD,∴∠A+∠A+54°+72°=180°,∴∠A=27°.

故選C.

6.解析(1)∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,

∵點P是∠ABC的平分線和∠ACB的平分線的交點,

∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,

∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×120°=120°.

(2)∵∠A=α°,∴∠ABC+∠ACB=180°-α°,

∵點P是∠ABC的平分線和∠ACB的平分線的交點,

∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,

∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-α°)=90°+α°.∴∠BPC=90°+∠A.

7.B線段CD是△ABC的AB邊上的高線,線段AD不是△ABC的BC邊上的高線,也不是AC邊上的高線.故選B.

8.答案3∶2

解析根據(jù)三角形的面積等于底×高÷2可知,這兩條邊上的高之比是3∶2.

9.解析∵AD,BE分別是△ABC的高,

∴S△ABC=BC·AD=AC·BE,

∴BC·AD=AC·BE,

∵AC=5,BC=6,AD=4,

∴BE==.

10.解析(1)∵∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,

∴AD·BC=AB·AC,∴AD==(cm).

(2)∵CE是AB邊上的中線,

∴S△BCE=S△ABC=××12×16=48(cm2).

能力提升全練

11.A題圖中,BC邊上的高為線段AE,故選A.

12.C∵AD⊥BC,AD=3,S△ABC=6,

∴BC·AD=6,∴BC=4,

∵AE是BC邊上的中線,

∴BE=BC=2.故選C.

13.A三角形三條中線相交于一點,這一點叫做它的重心,直線CD經(jīng)過△ABC的AB邊上的中點,直線AD經(jīng)過△ABC的BC邊上的中點,∴點D是△ABC的重心.

14.答案40

解析∵∠AEB=95°,

∴∠BEC=180°-95°=85°,

∵∠BEC+∠CBE+∠BCE=180°,∠C=70°,

∴∠CBE=180°-70°-85°=25°,

∵BE是∠ABC的平分線,

∴∠ABC=2∠CBE=50°,

∵AD是高線,∴∠ADB=90°,

∴∠BAD=180°-90°-50°=40°.

15.答案8

解析∵AB⊥BD,AC⊥CD,

∴AB是△ADE的邊DE上的高,CD是邊AE上的高,

∴S△AED=DE·AB=AE·CD,

∴DE·AB=AE·CD,

∵AE=10,DE=5,CD=4,

∴AB=8.

16.答案4

解析∵點E是CD的中點,∴S△ACE=S△ADE=S△ACD,S△BCE=S△BDE=S△BCD,∴陰影部分的面積=S△ACE+S△BDE=S△ACD+S△BCD=S△ABC=×8=4.

17.答案4或5

解析設(shè)三角形三邊的長分別為a,b,c,第三條高的長為h,面積為S,不妨取a=,b=,c=,∵a-b<c18.解析(1)如圖,AD為所作.

(2)如圖,DM為所作.

(3)如圖,CN為所作.

(4)∵AD為△ABC的中線,

∴BD=CD,

∵C△ADC-C△ADB=3,

∴AC+AD+CD-(AB+AD+BD)=3,

∴AC-AB=3,

∵AB=4,

∴AC=AB+3=4+3=7.

素養(yǎng)探究全練

19.答案4

解析設(shè)△AFG,△BFG,△BDG,△CDG,△CEG,△AEG的面積分別為S1,S2,S3,S4,S5,S6,根據(jù)中線平分三角形面積可得S1=S2,S3=S4,S5=S6,S1+S2+S3=S4+S5+S6①,S2+S3+S4=S1+S5+S6②,由①-②可得S1=S4,∴S1=S2=S3=S4,∵S1+S2+S3=S4+S5+S6,∴S5+S6=S2+S3=2S1,∵S5=S6,∴S5=S6=S1,∴S1=S2=S3=S4=S5=S6=2,∴S2+S5=4,故陰影部分的面積為4.

20.解析(1)∵CD⊥AB,