實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第二課時(shí)面積問(wèn)題銷售利潤(rùn)問(wèn)題）

九年級(jí)數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清二十一章一元二次方程實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程第二課時(shí)面積問(wèn)題，銷售利潤(rùn)問(wèn)題（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程。2.通過(guò)列方程解應(yīng)用題體會(huì)一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。老師對(duì)你說(shuō)：1.幾何面積問(wèn)題：利用勾股定理建立一元二次方程。利用面積公式建立二元一次方程。2.銷售利潤(rùn)問(wèn)題：總利潤(rùn)＝單利潤(rùn)×數(shù)量現(xiàn)單利潤(rùn)＝原單利潤(rùn)＋漲價(jià)部分（－降價(jià)部分）現(xiàn)數(shù)量＝原數(shù)量－（原數(shù)量＋）3.數(shù)字問(wèn)題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、

千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：

100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.

基礎(chǔ)提升教材核心知識(shí)點(diǎn)精練知識(shí)點(diǎn)1：幾何圖形問(wèn)題【例1-1】如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形雞舍，為了節(jié)省材料，雞舍的一邊利用長(zhǎng)為12米的墻，另外三邊用長(zhǎng)為27米的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直墻的一邊留下一個(gè)寬1米的門，所圍成矩形雞舍的長(zhǎng)、寬分別是多少時(shí)，雞舍面積為90平方米？

【答案】雞舍的邊長(zhǎng)AB、BC分別是9米，10米．【分析】設(shè)AB的長(zhǎng)度為x米，則CD的長(zhǎng)度為x-1米，BC的長(zhǎng)度為【詳解】解：設(shè)AB的長(zhǎng)度為x米，則CD的長(zhǎng)度為x-1米，BC的長(zhǎng)度為根據(jù)題意得：x28-2解得：x1=5，當(dāng)x=5時(shí)，28-2當(dāng)x=9時(shí)，28-2即AB=9，BC答：雞舍的邊長(zhǎng)AB、BC分別是9米，10米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，矩形的面積公式，一元二次方程的解法，根據(jù)題目的等量關(guān)系正確列方程是解題關(guān)鍵．【例1-2】如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以厘米/秒的速度移動(dòng)，如果、分別是從同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，的面積等于平方厘米？五邊形的面積最?。孔钚≈凳嵌嗌?？【答案】(1)2秒或4秒；(2)3秒時(shí)，五邊形的面積最小，最小值是39平方厘米【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，再由面積公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時(shí)，面積為9，則此時(shí)五邊形的面積最小，從而可得答案．（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，則，解得：或．∴經(jīng)過(guò)2秒或4秒時(shí)，的面積等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時(shí)，面積為9，則此時(shí)五邊形的面積最小，最小值為．【點(diǎn)撥】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，熟練的解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)字問(wèn)題【例2-1】閱讀材料，回答下列問(wèn)題：反序數(shù)：有這樣一對(duì)數(shù)，一個(gè)數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過(guò)來(lái)變成另一個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是順序相反的兩個(gè)數(shù)，我們把這樣的一對(duì)數(shù)稱為“反序數(shù)”，比如：的反序數(shù)是，的反序數(shù)是．用方程知識(shí)解決問(wèn)題：若一個(gè)兩位數(shù)，其十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大3，這個(gè)兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為，求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為，根據(jù)這個(gè)兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為，根據(jù)題意得：，∴，即，∴，∴解得或（舍去），∴，∴這個(gè)兩位數(shù)為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【例2-2】下圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出3×3個(gè)位置相鄰的9個(gè)數(shù)(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為192，則這9個(gè)數(shù)的和為（）．A．32 B．126 C．135 D．144【答案】D【分析】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，以及利用最大數(shù)與最小數(shù)的積為192，求出兩數(shù)，再利用上下對(duì)應(yīng)數(shù)字關(guān)系得出其他數(shù)即可．【詳解】解：根據(jù)圖象可以得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，設(shè)最小數(shù)為：，則最大數(shù)為，根據(jù)題意得出：，解得：，，（不合題意舍去），故最小的三個(gè)數(shù)為：8，9，10，下面一行的數(shù)字分別比上面三個(gè)數(shù)大7，即為：15，16，17，第3行三個(gè)數(shù)，比上一行三個(gè)數(shù)分別大7，即為：22，23，24，故這9個(gè)數(shù)的和為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律以及一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知得出最大數(shù)與最小數(shù)的差為16．知識(shí)點(diǎn)3：銷售利潤(rùn)問(wèn)題【例3-1】水果批發(fā)市場(chǎng)有一種高檔水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷量將減少20kg．(1)若以每千克能盈利17元的單價(jià)出售，求每天的總毛利潤(rùn)為多少元；(2)現(xiàn)市場(chǎng)要保證每天總毛利潤(rùn)為7500元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，求每千克應(yīng)漲價(jià)多少元；(3)現(xiàn)需按毛利潤(rùn)的10%繳納各種稅費(fèi)，人工費(fèi)每日按銷售量每千克支出元，水電房租費(fèi)每日300元．若每天剩下的總純利潤(rùn)要達(dá)到6000元，求每千克應(yīng)漲價(jià)多少元．【答案】(1)每天的總毛利潤(rùn)為7820元；(2)每千克應(yīng)漲價(jià)5元；(3)每千克應(yīng)漲價(jià)15元或元【分析】（1）設(shè)每千克盈利x元，可售y千克，由此求得關(guān)于y與x的函數(shù)解析式，進(jìn)一步代入求得答案即可；（2）利用每千克的盈利×銷售的千克數(shù)＝總利潤(rùn)，列出方程解答即可；（3）利用每天總毛利潤(rùn)﹣稅費(fèi)﹣人工費(fèi)﹣水電房租費(fèi)＝每天總純利潤(rùn)，列出方程解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)每千克盈利x元，可售y千克，設(shè)y=kx+b，則當(dāng)x＝10時(shí)，y＝600，當(dāng)x＝11時(shí)，y＝600﹣20＝580，由題意得，，解得．所以銷量y與盈利x元之間的關(guān)系為y＝﹣20x+800，當(dāng)x＝17時(shí)，y＝460，則每天的毛利潤(rùn)為17×460＝7820元；（2）解：設(shè)每千克盈利x元，由（1）可得銷量為（﹣20x+800）千克，由題意得x（﹣20x+800）＝7500，解得：x1＝25，x2＝15，∵要使得顧客得到實(shí)惠，應(yīng)選x＝15，∴每千克應(yīng)漲價(jià)15﹣10＝5元；（3）解：設(shè)每千克盈利x元，由題意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣（﹣20x+800）﹣300＝6000，解得：x1＝25，x2，則每千克應(yīng)漲價(jià)25﹣10＝15元或10元．【點(diǎn)評(píng)】此題主要一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，理解銷售問(wèn)題中的基本關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【例3-2】2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)=銷售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元／件）3025銷售價(jià)（元／件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)？(2)冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元？【答案】(1)購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣20件，購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣10件(2)30元或34元【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣x件，購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣(30-x)件，根據(jù)等量關(guān)系：兩款鑰匙扣共花費(fèi)850元，建立一元一次方程即可求解；（2）設(shè)將B款鑰匙扣銷售價(jià)定為每件y元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元；由題意列出關(guān)于y的一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣x件，購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣(30-x)件，由題意得：30x+(30-x)×25=850，解得：x=20，則30-x=30-20=10（件）；答：購(gòu)進(jìn)A款鑰匙扣20件，購(gòu)進(jìn)B款鑰匙扣10件．（2）解：設(shè)將B款鑰匙扣銷售價(jià)定為每件y元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元，由題意得：(y-25)4+(37-y)×2整理得：y2解得：y1=30，答：將B款鑰匙扣銷售價(jià)定為每件30元或34元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元．【點(diǎn)評(píng)】本題是方程的綜合，考查了一元一次方程與一元二次方程在實(shí)際中的應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系并列出方程是鑰匙的關(guān)鍵．能力強(qiáng)化提升訓(xùn)練1.某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月的用電量不超過(guò)度，那么這個(gè)月這戶居民只交10元電費(fèi)；如果超過(guò)度，這個(gè)月除了交10元電費(fèi)外，超過(guò)部分按每度元交費(fèi)．該廠某戶居民1月份用電90度，超過(guò)了度的規(guī)定，試寫出超過(guò)部分應(yīng)交的電費(fèi)．（用含的代數(shù)式表示）(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請(qǐng)根據(jù)其中的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的度是多少．月份用電量/度交電費(fèi)總數(shù)/元2月80253月4510【答案】(1)x（90－x）元；(2)50度【分析】（1）根據(jù)題意可得用電90度超過(guò)了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，再由超過(guò)部分按每度元交電費(fèi)，即可求解；（2）根據(jù)題意可得2月份用電量超過(guò)x度，列出方程，再由3月份用電45度只交電費(fèi)10元，可得x≥45，即可求解．（1）解：∵規(guī)定用電x度，∴用電90度超過(guò)了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，∵超過(guò)部分按每度元交電費(fèi)，∴超過(guò)部分應(yīng)交的電費(fèi)為x（90－x）元．（2）解∶2月份用電量超過(guò)x度，依題意得x（80－x）＝25－10．整理得x2－80x＋1500＝0．解這個(gè)方程得x1＝30，x2＝50．根據(jù)題意得：3月份用電45度只交電費(fèi)10元，∴電廠規(guī)定的x≥45，∴x1＝30不合題意，舍去．∴x＝50．答：電廠規(guī)定的x度為50度．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2.某農(nóng)場(chǎng)去年種植了10畝地的南瓜，畝產(chǎn)量為2000kg，根據(jù)市場(chǎng)需要，今年該農(nóng)場(chǎng)擴(kuò)大了種植面積，并且全部種植了高產(chǎn)的新品種南瓜，今年南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率是種植面積的增長(zhǎng)率的12，設(shè)南瓜種植面積的增長(zhǎng)率為(1)則今年南瓜的種植面積為_(kāi)_______畝；今年南瓜畝產(chǎn)量為_(kāi)______kg（用含x的代數(shù)式表示）(2)今年南瓜的總產(chǎn)量為60000kg【答案】(1)101+x(2)100【分析】（1）南瓜種植面積的增長(zhǎng)率為x，去年種植了10畝地的南瓜，可求出南瓜種植面積，南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率是種植面積的增長(zhǎng)率的12，則南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為1（2）去年南瓜畝產(chǎn)量為2000kg，今年南瓜的總產(chǎn)量為60000kg，南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為【詳解】（1）解：去年種植了10畝地的南瓜，南瓜種植面積的增長(zhǎng)率為x，∴今年南瓜的種植面積為101+∵去年種植南瓜畝產(chǎn)量為2000kg，今年南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率是種植面積的增長(zhǎng)率的1∴南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率是12∴今年南瓜畝產(chǎn)量為20001+故答案為：101+x，（2）解：根據(jù)題意得：101+∴x2+3x-4=0∴南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為100%【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，掌握題目中的數(shù)量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．3.甲、乙兩工程隊(duì)共同承建某高速路隧道工程，隧道總長(zhǎng)2000米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計(jì)劃每天各施工6米．因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米，隧道施工成本為6萬(wàn)元；乙每合格完成1米，隧道施工成本為8萬(wàn)元．（1）若工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的43，求甲最多（2）實(shí)際施工開(kāi)始后因地質(zhì)情況比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m萬(wàn)元時(shí)，則每天可多挖12m米，乙因特殊地質(zhì)，在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖14m米，若最終每天實(shí)際總成本比計(jì)劃多（11m-8）萬(wàn)元，求【答案】（1）1000米；（2）4【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（2000-x）米，由工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的43，即可得出關(guān)于x（2）根據(jù)總成本=每米施工成本×每天施工的長(zhǎng)度結(jié)合每天實(shí)際總成本比計(jì)劃多（11m-8）萬(wàn)元，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（2000-x）米，依題意，得：8（2000-x）≥43×6x解得：x≤1000．答：甲最多施工1000米．（2）依題意，得：（6+m）（6+12m）+8（6-14m）=6×（6+8）+11m整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4．答：m的值為4．【點(diǎn)睛】考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．4.解讀詩(shī)詞(通過(guò)列方程算出周瑜去世時(shí)的年齡)：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？詩(shī)詞大意：周瑜三十歲當(dāng)東吳都督，去世時(shí)的年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小三，個(gè)位數(shù)字的平方等于他去世時(shí)的年齡．【答案】周瑜去世時(shí)的年齡為36歲【分析】設(shè)周瑜去世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-3根據(jù)題意建立方程【詳解】解：設(shè)周瑜去世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-10(x解得x1=5，當(dāng)x=5時(shí)，25<30當(dāng)x=6時(shí)，36>30答：周瑜去世時(shí)的年齡為36歲．【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)字問(wèn)題的應(yīng)用題，考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，在解答中根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，列出正確的方程是解題的關(guān)鍵．堂堂清一、選擇題（每小題4分，共32分）1.有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為8，把它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新數(shù)，新數(shù)與原數(shù)之積為1855，則原兩位數(shù)是（

）A．35 B．53 C．62 D．35或53【答案】D【分析】設(shè)十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為，根據(jù)新數(shù)與原數(shù)之積為1855，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為，根據(jù)題意得：，解得：或，∴這個(gè)兩位數(shù)為35或53，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系列出方程．修建一個(gè)面積為平方米的矩形花園，它的長(zhǎng)比寬多米，設(shè)寬為米，可列方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)寬為x米，則長(zhǎng)為米，根據(jù)矩形花園的面積為100平方米，即可由矩形面積公式得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)寬為x米，則長(zhǎng)為米，依題意得：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3.某網(wǎng)店銷售一批運(yùn)動(dòng)裝，平均每天可銷售20套，每套盈利45元；為擴(kuò)大銷售量，增加盈利，采取降價(jià)措施，一套運(yùn)動(dòng)服每降價(jià)1元，平均每天可多賣4套，若網(wǎng)店要獲利2100元，設(shè)每套運(yùn)動(dòng)裝降價(jià)元，則列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)每套運(yùn)動(dòng)裝降價(jià)x元，則每天的銷售量為（20+4x）件，根據(jù)總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得每套運(yùn)動(dòng)裝降價(jià)x元，則每天的銷售量為（20+4x）件，依題意，得：（45-x）（20+4x）=2100．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

4.如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬、長(zhǎng)的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為，如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，則橫彩條和豎彩條的寬度分別是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】要求彩條的寬度，可設(shè)橫彩條的寬為，則豎彩條寬為，橫彩條的長(zhǎng)為矩形的寬，豎彩條的長(zhǎng)為矩形的長(zhǎng)，由此可分別求出橫豎彩條的面積，由圖可知橫豎彩條有重疊的面積，所以橫豎彩條的面積減去重疊的部分等于總面積的三分之一，由此列方程并求解即可．【詳解】解：設(shè)橫彩條的寬度為，則豎彩條的寬度為，由圖可知一個(gè)橫彩條的面積為：，一個(gè)豎彩條的面積為：，有四個(gè)重疊的部分，重疊的面積為：，因?yàn)樗胁蕳l的面積為總面積的三分之一，所以列方程為：，解得：，（不符合題意，舍去），∴，應(yīng)設(shè)計(jì)橫的彩條寬為，豎的彩條寬為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)題、圖，正確的列出方程是解決本題的關(guān)鍵，此時(shí)注意，重疊的面積在算橫豎彩條的面積時(shí)算了兩次，故減去一次，才等于總面積的三分之一．5.某餐廳主營(yíng)盒飯業(yè)務(wù)，每份盒飯的成本為元．若每份盒飯的售價(jià)為元，每天可賣出份．市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)元，每天要少賣出份．若該餐廳想讓每天盒飯業(yè)務(wù)的利潤(rùn)達(dá)到元，設(shè)每份盒飯漲價(jià)元，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)總利潤(rùn)=每盒的利潤(rùn)×銷售量，而每盒的利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，再結(jié)合“每份盒飯的成本為元．若每份盒飯的售價(jià)為元，每天可賣出份．市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)元，每天要少賣出份”即可得出答案．【詳解】解：每份盒飯漲價(jià)元后，利潤(rùn)為(16+x-12)元，銷售量為(360-40x)盒，∴可得方程為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．正確理解題意，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6.如圖，將一張正方形鐵皮的四個(gè)角同時(shí)切去邊長(zhǎng)為2的四個(gè)小正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋箱子，若箱子的底面邊長(zhǎng)為，原正方形鐵皮的面積為，則無(wú)蓋箱子的外表面積為（）

A．1 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意，得出原正方形鐵皮的邊長(zhǎng)為，從而得到原正方形鐵皮的面積為，即，解得，從而得到無(wú)蓋箱子的外表面積為，即可得到答案．【詳解】解：正方形鐵皮的四個(gè)角同時(shí)切去邊長(zhǎng)為2的四個(gè)小正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋箱子，若箱子的底面邊長(zhǎng)為，原正方形鐵皮的邊長(zhǎng)為，原正方形鐵皮的面積為，又正方形鐵皮的面積為，，解得，無(wú)蓋箱子的外表面積為，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確表示出各個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7.為加快推動(dòng)生態(tài)鞏義建設(shè)步伐，形成“城在林中、園在城中、山水相依，林路相隨”的生態(tài)格局，市政府計(jì)劃在某街心公園的一塊矩形空地上修建草坪，如圖，矩形長(zhǎng)為40m，寬為30m，在矩形內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為，道路的寬度應(yīng)為多少?設(shè)矩形地塊四周道路的寬度為xm，根據(jù)題意，下列方程不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)要使草坪的面積為，列一元二次方程，進(jìn)一步判斷即可．【詳解】解：可列方程，故C選項(xiàng)不符合題意，變形后，可得或，故A選項(xiàng)不符合題意，D選項(xiàng)不符合題意，不能得到，故B選項(xiàng)符合題意，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，理解題意是解題的關(guān)鍵．8.《九章算術(shù)》是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中重要的著作之一，奠定了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就《九章算術(shù)》記載：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問(wèn)戶高、廣各幾何？”大意：有一扇形狀是矩形的門，它的高比寬多6尺8寸，它的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，問(wèn)它的高與寬各是多少？利用方程思想設(shè)矩形門寬為尺，則依題意所列方程為（

）（1丈=10尺，1尺=10寸）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)門寬為x尺，則門的高度為尺，利用勾股定理及門的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，即可得出關(guān)于x的方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)門寬為x尺，則門的高度為尺，依題意得：，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題4分，共20分）9.如圖，在寬為，長(zhǎng)為的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，其余部分作為耕地為．則道路的寬為是．【答案】1米【分析】設(shè)道路的寬為．由題意可得：，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)道路的寬為．由題意可得：，整理得：，

解得：，（不符合題意，舍去）．∴道路的寬為米．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．10.已知一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為，列出關(guān)于的方程：.【答案】【分析】用x表示出十位上數(shù)，即可表示出這個(gè)兩位數(shù)，再根據(jù)題目條件列出方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】∵個(gè)位上的數(shù)字為，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4∴十位上的數(shù)字為所以這個(gè)兩位數(shù)為∵個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4∴化簡(jiǎn)得故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用——數(shù)字問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確的表示出這個(gè)兩位數(shù)，從而建立方程.11.如圖所示，在矩形ABCD中，，點(diǎn)P在邊CD上，且，將沿BP折疊，若點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的邊上，則CD的長(zhǎng)度為．【答案】或【分析】根據(jù)矩形的形狀分類討論，分AD＞DC和AD＜DC兩種情況討論，當(dāng)AD＞DC時(shí)，點(diǎn)F落在AD邊上，則設(shè)CD的長(zhǎng)度為x．根據(jù)翻折的性質(zhì)，有，．即在中，用勾股定理表示出，再在中，利用勾股定理得，解方程即可得解；當(dāng)AD＜DC時(shí)，由翻折變換可知四邊形BCPF是正方形，即有PC=BC，則CD易求．【詳解】解：如圖1所示，AD＞DC時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F落在AD邊上，則設(shè)CD的長(zhǎng)度為x．由翻折變化可知，，．在中，由勾股定理得，，∴．根據(jù)翻折可知BF=BC，在中，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去）；如圖2所示，AD＜DC時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F落在AB邊上，由翻折變換可知，四邊形BCPF是正方形，∴，解得．故CD的長(zhǎng)度為：或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何圖形的翻折、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，注重分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．12.某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客盡可能多得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤(rùn)，則該商品的銷售定價(jià)為元．【答案】56【分析】將銷售單價(jià)定為x元/件，則每星期可賣出件，根據(jù)總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：將銷售單價(jià)定為x元/件，則每星期可賣出件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：．∵要使顧客獲得實(shí)惠，∴．即該商品的銷售定價(jià)為56元．故答案為：56．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13.商場(chǎng)某種商品進(jìn)價(jià)為120元/件，售價(jià)130元/件時(shí)，每天可銷售70件；售價(jià)單價(jià)高于130元時(shí)，每漲價(jià)1元，日銷售量就減少1件，據(jù)此，若銷售單價(jià)為元時(shí)，商場(chǎng)每天盈利達(dá)1500元．【答案】150或170/170或150【分析】設(shè)漲價(jià)x元，根據(jù)單件利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)、利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量列出一元二次方程，然后解方程即可解答．【詳解】解：設(shè)漲價(jià)x元，根據(jù)題意得：（130+x－120）（70－x）=1500，整理得：x2－60x+800=0，解得：x1=20，x2=40，所以銷售單價(jià)為130+20=150元或130+40=170元，故答案為：150或170．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出一元二次方程是解答的關(guān)鍵．三、解答題（共48分）14.（8分）某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電，單價(jià)40元．經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180個(gè)，定價(jià)每增加1元，銷售量?jī)魷p少10個(gè),因受庫(kù)存的影響，每批次進(jìn)貨個(gè)數(shù)不得超過(guò)180個(gè)，商店若將準(zhǔn)備獲利2000元，定價(jià)為多少元？【答案】該商品定價(jià)60元．【分析】設(shè)每個(gè)商品定價(jià)x元，然后根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每個(gè)商品定價(jià)x元，由題意得：x解得x1=50，當(dāng)x=50時(shí)，進(jìn)貨180-10（50-52）=200，不符題意，舍去當(dāng)x=60時(shí)，進(jìn)貨180-10（60-52）=100，符合題意．答：當(dāng)該商品定價(jià)60元，進(jìn)貨100個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)然后列方程求解即可．15.（8分）有一塊長(zhǎng)、寬的矩形鐵皮．

(1)如圖1，如果在鐵皮的四個(gè)角裁去四個(gè)邊長(zhǎng)一樣的正方形后，將其折成底面積為的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子，求裁去的正方形的邊長(zhǎng)；(2)由于需要，計(jì)劃制作一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，為了合理利用材料，某學(xué)生設(shè)計(jì)了如圖2所示的裁剪方案，陰影部分為裁剪下來(lái)的邊角料，其中左側(cè)的兩個(gè)陰影部分為正方形，問(wèn)能否折出底面積為的有蓋盒子？如果能，請(qǐng)求出盒子的體積；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)能，【分析】（1）設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方體盒子的底的長(zhǎng)為，寬為．根據(jù)題意列出方程就可以求出其解．（2）設(shè)左邊的小正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)其底面積為180列出方程，若有解即可能剪裁，否則不能．【詳解】（1）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為．得：，解得：（舍去），．答：裁去的正方形的邊長(zhǎng)為2．（2）能；設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為．得：，解得：（舍去），．體積為【點(diǎn)評(píng)】本題是一道幾何圖形問(wèn)題，考查了利用矩形的面積公式建立一元二次方程求解的運(yùn)用．在解答中注意要檢驗(yàn)方程的根是否使實(shí)際問(wèn)題有意義．這是在解答時(shí)學(xué)生容易忽略的問(wèn)題．（8分）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，墻可利用的最大長(zhǎng)度為15米，花圃一面利用墻，其余三面用籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)為24米．

(1)若圍成的花圃面積為40平方米時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)圍成的花圃面積能否為75平方米，如果能，請(qǐng)求的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)BC的長(zhǎng)為4米(2)不能圍成面積為75平方米的花圃．理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)的長(zhǎng)度為x米，根據(jù)矩形的面積公式，列出方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，列出方程，利用判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：設(shè)的長(zhǎng)度為x米，則的長(zhǎng)度為米，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：．

∵，∴舍去．答：的長(zhǎng)為4米．（2）不能圍成，理由如下：

當(dāng)時(shí)，

整理得，

∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴不能圍成面積為75平方米的花圃．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵。17.（8分）某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的工藝品，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果規(guī)定每天工藝品的銷售量不低于240件且有盈利，銷售單價(jià)x應(yīng)定在什么范圍？(3)如果在（2）的條件下，網(wǎng)店每天銷售利潤(rùn)為3750元，求該種工藝品銷售單價(jià)是多少元？【答案】(1)(2)(3)網(wǎng)店每天銷售利潤(rùn)為3750元，該種工藝品銷售單價(jià)是45元．【分析】（1）設(shè)銷售y（件）與銷售單價(jià)x（元）的關(guān)系式為，把，代入，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）每天工藝品的銷售量不低于240件且有盈利，再建立不等式組解題即可；（3）由每天銷售利潤(rùn)為3750元，再建立一元二次方程，再解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)銷售y（件）與銷售單價(jià)x（元）的關(guān)系式為，把，代入可得：∴，解得：，∴銷售y（件）與銷售單價(jià)x（元）的關(guān)系式為．（2）由題意可得：，解得：；（3）由題意可得：，整理得：，解得：，，∵，∴，∴網(wǎng)店每天銷售利潤(rùn)為3750元，該種工藝品銷售單價(jià)是45元．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，熟練的建立不等式組與一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．18.（8分）閱讀材料，回答下列問(wèn)題：反序數(shù)：有這樣一對(duì)數(shù)，一個(gè)數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過(guò)來(lái)變成另一個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是順序相反的兩個(gè)數(shù)，我們把這樣的一對(duì)數(shù)稱為“反序數(shù)”，比如：的反序數(shù)是，的反序數(shù)是．用方程知識(shí)解決問(wèn)題：若一個(gè)兩位數(shù)，其十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大3，這個(gè)兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為，求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為，根據(jù)這個(gè)兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為，根據(jù)題意得：，∴，即，∴，∴解得或（舍去），∴，∴這個(gè)兩位數(shù)為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19.（8分）把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形……按此規(guī)律排列下去，解答下列問(wèn)題：（1）第5個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有個(gè)．（2）第n個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)能是50個(gè)嗎？如果能，求出n的值；如果不能，試用一元二次方程的相關(guān)知識(shí)說(shuō)明道理．【答案】（1）15；（2）不能，理由見(jiàn)詳解．【分析】（1）第5個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有（1+2+3+4+5）個(gè)；（2）根據(jù)圖形的變化規(guī)律總結(jié)出第n個(gè)圖形黑色三角的個(gè)數(shù)為，即可求解．【詳解】解：（1）由圖形的變化規(guī)律知，第5個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2+3+4+5=15，故答案是：15；（2）不能，理由如下：第n個(gè)圖案中黑