三維曲面的共形參數(shù)化

三維曲面的共形參數(shù)化

隨著3d采集技術的成熟，大量三維模型數(shù)據(jù)被應用于不同的領域，其復雜的幾何形狀使3d書法表面處理成為一項困難的任務。以紋理映射為發(fā)端，曲面參數(shù)化參數(shù)化探討的是：給定一個由空間點集x根據(jù)參數(shù)化特點的不同，主要分為等距、保面積用S和S假設uf06a:Suf0aeS如果上式對應一切可能的曲線uf067對于共形參數(shù)化而言，結(jié)合不同參數(shù)域的選擇，往往能夠確定參數(shù)域的邊界以及函數(shù)求解方法。本文主要以參數(shù)域作為分類依據(jù)，綜述了近年來基于三角網(wǎng)格曲面的共形參數(shù)化方法，對現(xiàn)有的參數(shù)化算法進行優(yōu)缺點比較，并討論了共形參數(shù)化目前存在的主要難點問題和今后可能的發(fā)展趨勢。1離散界定理論曲面共形參數(shù)化方法不僅利用拓撲性質(zhì)，還依賴于各類離散理論對網(wǎng)格進行度量。如，微分1形式、同倫群基底、圓填充理論等。下面簡要介紹幾類廣泛應用于共形參數(shù)化的相關概念與理論基礎。1.1和解分配如果曲面有類似圓盤一樣的拓撲結(jié)構，即曲面是帶有邊界的單連通曲面，那么調(diào)和映射其中，uf0771.2擬共形參數(shù)化擬共形參數(shù)化和共形參數(shù)化不同之處在于共形參數(shù)化將曲面上無窮小圓映射成無窮小圓，而擬共形參數(shù)化則將曲面上無窮小圓映射成無窮小橢圓，曲面的局部形狀不能被完好保持。但是對于找不到共形參數(shù)化方法的曲面而言，擬共形映射也是很好的補充。1.3維曲面性能曲率流，顧名思義，就是讓曲率像熱流一樣進行擴散。通過將曲面黎曼度量形變，使得曲面的曲率依隨時間而演化，最后曲率趨于一個常數(shù)，從而將三維曲面展平到二維參數(shù)域，即尋找一個合適的能量函數(shù)，使曲率流能得到唯一的最優(yōu)解。1.4切割面為曲面的情況通常對于較為復雜帶虧格三角網(wǎng)格曲面的參數(shù)化需要先求曲面的一個切割圖，使得曲面在切割之后拓撲上等價于圓盤。其切割圖中每個度不等于2的節(jié)點將切割圖分成一系列分支{a1.5圓形填充理論圓填充(circlepacking,CP)就是在離散情形下，通過CP方法1.6離散速率流的推廣Hamilton定義了關于高斯曲率的Ricci流其中，g(t)為與時間相關的度量；K(t)為隨時間而變化的高斯曲率。將其推廣到離散情形，即其中，離散曲率流通常采用CP度量作為網(wǎng)格初始度量，在得到邊長后利用余弦定理計算出網(wǎng)格中每個三角形{v其中，uf071離散高斯曲率被定義為角欠(angledeficit)，對于內(nèi)頂點，角欠就是圍繞頂點的周角與2uf070作差，對于邊界頂點，則與uf070作差，角欠在一定程度上反映了曲面局部的凹凸變化。2幾何背景的應用參數(shù)化的應用決定了參數(shù)化的首要步驟就是確定一個合適的參數(shù)空間。根據(jù)曲面拓撲結(jié)構的不同，幾何背景通常是歐氏平面、單位球面和二維雙曲空間中的一種。根據(jù)不同的幾何背景，參數(shù)化的參數(shù)域選擇往往不同。根據(jù)參數(shù)域的不同，把共形參數(shù)化分為平面域、球面域和雙曲空間域3類(圖4)。3對于紋理和圖像的處理復雜度對于共形參數(shù)化而言，參數(shù)域通常是平面域，平面也是歐式空間中最常見的二維表示。平面參數(shù)化最早主要用來進行3D紋理貼圖，對于紋理和圖像而言，平面是最自然的載體，對平面圖像的處理復雜度遠小于直接操作三維曲面。從應用的角度最為常見的平面域就是固定邊界，但在參數(shù)化的過程中可能導致邊界網(wǎng)格變形嚴重，為了解決邊界參數(shù)化失真的情況，自由邊界參數(shù)化和無縫參數(shù)化得到發(fā)展，但是推廣到復雜拓撲曲面的情形，這2類參數(shù)化往往效果不佳。針對平面域，主要有以下幾類常見共形參數(shù)化方法。3.1共形幾何理論早期的平面參數(shù)化方法大多將原始網(wǎng)格映射到平面凸多邊形上，即首先找到原始網(wǎng)格的邊界，并將邊界點映射到平面凸多邊形上，然后將每個內(nèi)部點表示為其一環(huán)點的加權平均，最后通過求解線性方程組得到相應的參數(shù)化結(jié)果。其中有代表性的是TUTTE對于帶有多邊界的聯(lián)通曲面，共形幾何理論改進成環(huán)形映射每次選擇2個邊界映射成環(huán)，保留Koebe迭代線性高效的同時，加快了函數(shù)收斂速率，提高了計算效率。對于零虧格曲面，GU和YAU對于單虧格曲面的共形參數(shù)化，常常使用微分1形式和曲率流進行計算。不同于曲率流，微分1形式計算一個全純映射，進而給出曲面的一種度量，共形于原度量。文獻和對偶上同調(diào)群基并對每個uf077對以上全純微分基形式進行求積分，便能得到對應的共形映射。該方法可找到一個全純1形式的完備基。LUO對于高虧格曲面，文獻這類固定邊界參數(shù)化方法的優(yōu)勢在于用到的變形度量都是線性函數(shù)，缺點在于這些算法通常預先指定邊界在某個凸多邊形上，由于預先指定的邊界與實際情況往往不相符，從而導致參數(shù)化前后變形較大3.2動態(tài)幾何優(yōu)化固定邊界的參數(shù)化算法易于構造函數(shù)并求解，但是容易導致邊界網(wǎng)格扭曲嚴重，且不易推廣到復雜外形的曲面。相比之下，另一類平面參數(shù)化算法文獻其中，N進行線性近似在提高計算效率的同時減少了角度誤差，缺陷是增大了面積變形。圖7為ABF++方法和線性ABF方法變形程度比較，可以看到，這類方法直接對角度進行優(yōu)化以達到保角的效果，線性ABF方法更注重角度和面積變形的均衡。文獻文獻3.3曲面切割的誤差不論是固定邊界還是自由邊界，平面參數(shù)化都針對拓撲等價于圓盤的曲面。由于構造拓撲圓盤的過程中，往往需要對曲面進行切割，對于切割處的參數(shù)化容易產(chǎn)生誤差。因此，近年來對于無縫曲面參數(shù)化的研究日益增多，無縫參數(shù)化常被用來進行無縫紋理映射文獻3.4．當事人面為正面的參數(shù)化和上述平面參數(shù)化方法相比較，SPRINGBORN等相比于無縫參數(shù)化，BFF方法能針對任意錐點放置的參數(shù)化，使參數(shù)化適應尖銳的拐角，從而將曲面共形參數(shù)化到任意形狀。BFF方法的不足之處在于只能處理拓撲于圓盤的曲面。進一步，文獻通過對目前比較流行的平面參數(shù)化方法進行匯總，總結(jié)出相關的參數(shù)化方法、參數(shù)域邊界條件、是否滿足雙射以及方法是否迭代，見表2。4面域的定義和測量條件除了平面參數(shù)化，另一種常見的參數(shù)域就是單位球面，將三維曲面參數(shù)化到球面上。假設有角度uf071uf0ce[0,2uf070)，uf066uf0ce[-uf070/2,uf070(14)(17))，則球面坐標為如圖11所示，對于每對uf071和uf066的取值，都能對應球面上一個點坐標。由于零虧格曲面在拓撲上等價于單位球面，因此對于零虧格曲面而言，球面域是天然且無縫的參數(shù)域。根據(jù)求解方法的不同，球面共形參數(shù)化主要分為基于能量優(yōu)化的方法和基于凸組合嵌入的方法。4.1基于能量優(yōu)化方法該方法主要思想是構造不同的能量函數(shù)，通過對能量函數(shù)進行優(yōu)化從而將源曲面參數(shù)化到單位球面。GU等4.2嵌入凸組合方法該方法可將平面凸組合的方法推廣到球面域，即把網(wǎng)格嵌入球面凸多邊形，在保留凸組合方法求解簡單高效的同時，和球面域的天然特性進行結(jié)合，以產(chǎn)生高質(zhì)量的參數(shù)化。AIGERMAN等5復雜曲面的熱設計除了平面域和球面域，雙曲空間域也是共形參數(shù)化的研究重點。雖然不及平面域的簡易性(易于構造，求解快速)和球面域的天然性(零虧格曲面拓撲等價，曲率恒正)，但是雙曲空間域能夠處理更多錐點的放置情況，并且對于復雜拓撲曲面，即高虧格曲面而言，雙曲結(jié)構有潛力取代定義在流形樣條中的仿射結(jié)構，這也使得目前對于高虧格曲面的處理，大多選擇雙曲平面作為參數(shù)域。AIGERMAN和LIPMAN6其他參數(shù)化邊界經(jīng)過多年的發(fā)展，參數(shù)化已經(jīng)成為幾何模型處理中的關鍵一環(huán)，而共形參數(shù)化又以參數(shù)化前后保角和保形的特性備受青睞。本文對三角網(wǎng)格曲面共形參數(shù)化進行了綜述，從方法角度根據(jù)不同的目標參數(shù)域進行分類，對每一類共形參數(shù)化方法進行歸納總結(jié)：(1)平面參數(shù)化。平面參數(shù)化是最為常用的參數(shù)化方法。其中固定邊界方法的優(yōu)勢在于用到的變形度量計算效率較高，缺點在于預先指定邊界會導致參數(shù)化前后變形較大；自由邊界方法改善了固定邊界的失真，適用性大幅提高；無縫參數(shù)化克服參數(shù)化的預處理從而沒有產(chǎn)生切割偏差；其他參數(shù)化更多的體現(xiàn)在對邊界的可控。(2)球面參數(shù)化。對于零虧格曲面而言，球面參數(shù)化可以達到天然且無縫的效果。能量優(yōu)化的特點在于控制迭代次數(shù)從而實現(xiàn)不同參數(shù)化效果；凸組合嵌入實現(xiàn)雙射，得到高質(zhì)量映射結(jié)果。(3)雙曲空間參數(shù)化。高虧格曲面大多應用雙曲空間參數(shù)化方法。但是現(xiàn)階段仍然有一些問題束縛著共形參數(shù)化的發(fā)展，例如，對于復雜拓撲曲面需要將大量精力放在尋求割線的處理上面，不同的處理