圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)最終要學(xué)習(xí)圓錐曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)了，高二數(shù)學(xué)本身的學(xué)問(wèn)體系而言，它主要是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的深化學(xué)習(xí)和新學(xué)問(wèn)模塊的補(bǔ)充。圓錐曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)有哪些你知道嗎?一起來(lái)看看圓錐曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)，歡迎查閱!

圓錐曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)大全

圓錐曲線的應(yīng)用

一、考綱指要

1.會(huì)按條件建立目標(biāo)函數(shù)討論變量的最值問(wèn)題及變量的取值范圍問(wèn)題，留意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、幾何法求某些量的最值.

2.進(jìn)一步鞏固用圓錐曲線的定義和性質(zhì)解決有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題的方法.

二、命題落點(diǎn)

1.考查地理位置等特別背景下圓錐曲線方程的應(yīng)用,修建大路費(fèi)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離最值問(wèn)題數(shù)學(xué)模型求解，如例1;

2.考查直線、拋物線等基本學(xué)問(wèn),考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的力量，如例2;

3.考查雙曲線的概念與方程，考查考生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的力量，如例3.

例1：(2024?福建)如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東300方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算,從M到B、M到C修建大路的費(fèi)用分別是a萬(wàn)元/km、2a萬(wàn)元/km,那么修建這兩條大路的總費(fèi)用最低是()

A.(2-2)a萬(wàn)元B.5a萬(wàn)元

C.(2+1)a萬(wàn)元D.(2+3)a萬(wàn)元

解析:設(shè)總費(fèi)用為y萬(wàn)元,則y=a?MB+2a?MC

∵河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km.,

∴曲線PG是雙曲線的一支,B為焦點(diǎn),且a=1,c=2.

過(guò)M作雙曲線的焦點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線l的垂線,垂足為D(如圖).由雙曲線的其次定義,得=e,即MB=2MD.

∴y=a?2MD+2a?MC=2a?(MD+MC)≥2a?CE.(其中CE是點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的垂線段).

∵CE=GB+BH=(c-)+BC?cos600=(2-)+2×=.∴y≥5a(萬(wàn)元).

答案:B.

例2：(2024?北京,理17)如圖,過(guò)拋物線y2=2px(p0)上肯定點(diǎn)P(x0,y0)(y00),作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1),B(x2，y2).

(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離;

(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),

求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

解析:(1)當(dāng)y=時(shí),x=.

又拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-,由拋物線定義得,

所求距離為.

(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.

由y12=2px1,y02=2px0,相減得:,

故.同理可得,

由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知,即,

所以,故.

設(shè)直線AB的斜率為kAB,由,,相減得,所以.將代入得,

所以kAB是非零常數(shù).

例3：(2024?廣東)某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響,正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s,相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)

解析：如圖,以接報(bào)中心為原點(diǎn)O,正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn),則A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).

設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點(diǎn),由A、C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲,得|PA|=|PC|,

故P在AC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=-x,因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲,故|PB|-|PA|=340×4=1360.

由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上,

依題意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,

故雙曲線方程為.用y=-x代入上式,得x=±680,

∵|PB||PA|,∴x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.

答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心680m處.

1.圓錐曲線實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題多帶有肯定的實(shí)際生活背景,考生在數(shù)學(xué)建模及解模上均不同程度地存在著肯定的困難,回到定義去,將實(shí)際問(wèn)題與之相互聯(lián)系,敏捷轉(zhuǎn)化是解決此類難題的關(guān)鍵;

2.圓錐曲線的定點(diǎn)、定量、定值等問(wèn)題是隱蔽在曲線方程中的固定不變的性質(zhì),考生往往只能浮于表面分析問(wèn)題,而不能總結(jié)出其實(shí)質(zhì)性的結(jié)論,致使問(wèn)題討論徘徊不前,此類問(wèn)題解決需留意可以從特別到一般去逐步歸納,并設(shè)法推導(dǎo)論證.

1.(2024?重慶)若動(dòng)點(diǎn)()在曲線上變化，則的最大值為()A.B.

C.D.2

2.(2024?全國(guó))設(shè),則二次曲線的離心率的取值范圍為()A.B.C.D.

3.(2024?精華訓(xùn)練三模)一個(gè)酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分,它

的方程是x2=2y,y∈在杯內(nèi)放入一個(gè)清潔球,要求清潔球能

擦凈酒杯的最底部(如圖),則清潔球的最大半徑為()

A.B.1C.D.2

4.(2024?泰州三模)在橢圓上有一點(diǎn)P,F1、F2是橢圓的左右焦點(diǎn),△F1PF2為直角三角形,則這樣的點(diǎn)P有()

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

5.(2024?湖南)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,...組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為.

6.(2024?上海)教材中坐標(biāo)平面上的直線與圓錐曲線兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是.

7.(2024?浙江)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),

右頂點(diǎn)為A(1,0),點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上,

點(diǎn)M(m,0)到直線AP的距離為1,

(1)若直線AP的斜率為k,且|k|?,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)當(dāng)m=+1時(shí),△APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M,

求此雙曲線的方程.

8.(2024?上海)如圖,直線y=x與拋物

線y=x2-4交于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平

分線與直線y=-5交于Q點(diǎn).

(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方

(含A、B)的動(dòng)點(diǎn)時(shí),求ΔOPQ面積的最大值.

9.(2024?北京春)2024年10月15日9時(shí),神舟五號(hào)載人飛船放射升空,于9時(shí)9分50秒精確?????進(jìn)入預(yù)定軌道,開(kāi)頭巡天飛行.該軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.選取坐標(biāo)系如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn).近地點(diǎn)A距地面200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面350km.已知地球半徑R=6371km.

(1)求飛船飛行的橢圓軌道的方程;

(2)飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時(shí)59分返回艙與推動(dòng)艙分別,結(jié)束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約,問(wèn)飛船巡

天飛行的平均速度是多少km/s?(結(jié)果精確

到1km/s)(注:km/s即千米/秒)

關(guān)于雙曲線學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)

雙曲線方程

1.雙曲線的第肯定義：

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：.一般方程：.

⑵①i.焦點(diǎn)在x軸上：

頂點(diǎn)：焦點(diǎn)：準(zhǔn)線方程漸近線方程：或

ii.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線方程：.漸近線方程：或，參數(shù)方程：或.

②軸為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.③離心率.④準(zhǔn)線距(兩準(zhǔn)線的距離);通徑.⑤參數(shù)關(guān)系.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程(分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn))

“長(zhǎng)加短減”原則：

構(gòu)成滿意(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào))

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.

⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.

⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為假如雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.

例如：若雙曲線一條漸近線為且過(guò)，求雙曲線的方程?

解：令雙曲線的方程為：，代入得.

⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條;

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條;

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條;

區(qū)域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.

(2)若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).

⑺若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m=n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m︰n.

簡(jiǎn)證：=.

常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.

雙曲線方程學(xué)問(wèn)點(diǎn)在高考中屬于比較重要的考察點(diǎn)，盼望考生仔細(xì)復(fù)習(xí)，深化把握。

高二數(shù)學(xué)圓錐公式學(xué)問(wèn)點(diǎn)

⑴集合與簡(jiǎn)易規(guī)律:集合的概念與運(yùn)算、簡(jiǎn)易規(guī)律、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面對(duì)量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、肯定值不等式、不等式的應(yīng)用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、圓錐曲線的應(yīng)用

⑽排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

⑾概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

⑿導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2p__2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c_h斜棱柱側(cè)面積S=c_h

正棱錐側(cè)面積S=1/2c_h正棱臺(tái)側(cè)面積S=1/2(c+c)h

圓臺(tái)側(cè)面積S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi_r2

圓柱側(cè)面積S=c_h=2pi_h圓錐側(cè)面積S=1/2_c_l=pi_r_l

弧長(zhǎng)公式l=a_ra是圓心角的弧度數(shù)r0扇形面積公式s=1/2_l_r

錐體體積公式V=1/3_S_H圓錐體體積公式V=1/3_pi_r2h

斜棱柱體積V=SL注：其中,S是直截面面積，L是側(cè)棱長(zhǎng)

柱體體積公式V=s_h圓柱體V=p_r2h

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b=-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-b/aX1_X2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

b2-4ac0注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

b2-4ac0注：方程沒(méi)有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1