期望與方差的性質(zhì)

期望與方差的性質(zhì)第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月2

性質(zhì)

4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互獨立.反例XYpij-101-1010p?jpi?注第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月3

XY

P-101但第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月4

若X≥0，且EX存在，則EX≥0。推論:

若X≤Y，則EX≤EY。證明：設

X為連續(xù)型，密度函數(shù)為f(x),

則由X≥0得：所以證明：由已知Y-X≥0，則E(Y-X)≥0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y)。

第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月5

性質(zhì)2和3性質(zhì)4例1.設X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X與Y相互獨立，求E(3X＋2XY－Y＋5)。解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月6

例2.(二項分布

B(n,p))

設單次實驗成功的概率是p，問n次獨立重復試驗中，期望幾次成功？解:引入則X＝X1+X2+…+Xn

是n次試驗中的成功次數(shù)。因此，這里，X～B(n,p)。第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7

例3.將4個可區(qū)分的球隨機地放入4個盒子中,每盒容納的球數(shù)無限,求空著的盒子數(shù)的數(shù)學期望.解一:設

X為空著的盒子數(shù),則

X的概率分布為XP0123第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月8

解二:

再引入Xi,i=

1,2,3,4.Xi

P10第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月9

例4.將n個球放入M個盒子中,設每個球落入各個盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X的期望。解:引入隨機變量:則X=X1+X2+…+XM

,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每個隨機變量Xi都服從兩點分布,i=1,2,…,M.第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月10

因為每個球落入每個盒子是等可能的均為1/M,所以，對第i個盒子,沒有一個球落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M).故，n個球都不落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M)n,即:第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月11

注：129頁4.27以此題為模型。第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月12

例5.用某臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知正品率隨著該機器所用次數(shù)的增加而指數(shù)下降，即P{第k次生產(chǎn)出的產(chǎn)品是正品}=假設每次生產(chǎn)100件產(chǎn)品，試求這臺機器前10次生產(chǎn)中平均生產(chǎn)的正品總數(shù)。解：設X是前10次生產(chǎn)的產(chǎn)品中的正品數(shù)，并設第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月13

例5.（續(xù)）第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月14

例6.

某廠家的自動生產(chǎn)線，生產(chǎn)一件正品的概率為p(0<p<1)，生產(chǎn)一件次品的概率為q=1-p。生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為c元，正品的價格為s元，次品不能出售。這樣，廠家生產(chǎn)一件正品獲利s－c元，生產(chǎn)一件次品虧損c元（假定每個產(chǎn)品的生產(chǎn)過程是相互獨立的）。若生產(chǎn)了N件產(chǎn)品，問廠家所獲利潤的期望值是多少？第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月15

解：設第j個產(chǎn)品的利潤則

為N件產(chǎn)品的總利潤。Yj-cs-cPqp由已知第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月16

前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.

但是在一些場合，僅僅知道隨機變量取值的平均是不夠的.§4.2隨機變量的方差第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月17

例如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：你認為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近，所以乙炮的射擊效果好.

中心中心第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月18

為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月19

設隨機變量X的數(shù)學期望為E(X),若E(X-E(X))2存在,則稱它為X的方差（此時，也稱X的方差存在)，記為Var(X)或D(X),即定義稱Var(X)的算術平方根為X的標準差或均方差，記為

(X).A.

方差的概念Var(X)=E(X-E(X))2

第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月20

若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機變量的取值相對于其數(shù)學期望的離散程度。若X的取值比較集中，則方差較??；Var(X)=E[X-E(X)]2

方差第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月21

注意：

1)Var(X)

0，即方差是一個非負實數(shù)。2）當X服從某分布時，我們也稱某分布的方差為Var(X)。方差是刻劃隨機變量取值的分散程度的一個特征。第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月22

方差的計算公式(1)若

X為離散型，概率分布為(2)若

X為連續(xù)型，概率密度為f(x),則則第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月23

方差的計算公式常用的公式：證明:第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月24

常見隨機變量的方差

(1)

參數(shù)為p

的0－1分布

概率分布為：前面已經(jīng)計算過：E(X)=p，又所以第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月25

概率分布為：

已計算過：E(X)=np，又

所以

(2)二項分布B(n,p)第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月26

概率分布為：

已計算過：E(X)=λ，又

所以

(3)泊松分布P(λ)第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月27

概率密度為：

已計算過：E(X)=(a+b)/2，又

所以

(4)區(qū)間[a,b]上的均勻分布U[a,b]第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月28

概率密度為：

已計算過：E(X)=1/λ，又

所以

(5)指數(shù)分布E(λ)第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月29

概率密度為：

已計算過：E(X)=

，所以

(6)正態(tài)分布N(,2)第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月30

例7.設求

E(Y),D(Y).解:第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月31

第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月32

例8.

已知X的密度函數(shù)為其中A，B