數(shù)學(xué)建模常用綜合評價方法介紹課件

常用綜合評價方法介紹常用綜合評價方法介紹1第一節(jié)綜合評價概述一、綜合評價的基本概念二、綜合評價的一般步驟三、綜合評價的局限性第一節(jié)綜合評價概述一、綜合評價的基本概念2一、綜合評價的基本概念評價（evaluation）：所謂評價，即價值的確定，是通過對照某些標(biāo)準(zhǔn)來判斷測量結(jié)果，并賦予這種結(jié)果以一定的意義和價值的過程。綜合評價（syntheticalevaluation）：對一個復(fù)雜系統(tǒng)用多個指標(biāo)進(jìn)行總體評價的方法。一、綜合評價的基本概念3一、綜合評價的基本概念綜合評價方法：又稱為多變量綜合評價方法、多指標(biāo)綜合評估技術(shù)。綜合評價是對一個復(fù)雜系統(tǒng)的多個指標(biāo)信息，應(yīng)用定量方法（包括數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法），對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工和提煉，以求得其優(yōu)劣等級的一種評價方法。一、綜合評價的基本概念4一、綜合評價的基本概念綜合評價一般表現(xiàn)為以下幾類問題：ａ分類——對所研究對象的全部個體進(jìn)行分類；ｂ比較、排序（直接對全部評價單位排序，或在分類基礎(chǔ)上對各小類按優(yōu)劣排序）；ｃ考察某一綜合目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)程度（對某一事物作出整體評價）。一、綜合評價的基本概念綜合評價一般表現(xiàn)為以下幾類問題：5二、綜合評價的一般步驟1．確定綜合評價的目的2．確定評價指標(biāo)和評價指標(biāo)體系3．確定各個評價指標(biāo)的權(quán)重4.求單個指標(biāo)的評價值5.求綜合評價值二、綜合評價的一般步驟1．確定綜合評價的目的61.指標(biāo)的選取篩選評價指標(biāo)主要依據(jù)專業(yè)知識，即根據(jù)有關(guān)的專業(yè)理論和實(shí)踐，來分析各評價指標(biāo)對結(jié)果的影響，挑選那些代表性、確定性好，有一定區(qū)別能力又相互獨(dú)立的指標(biāo)組成評價指標(biāo)體系。系統(tǒng)分析法（Systemreview）和文獻(xiàn)資料分析優(yōu)選法是常用的評價指標(biāo)篩選法。1.指標(biāo)的選取71.指標(biāo)的選取1.同向化處理將逆指標(biāo)轉(zhuǎn)換為正指標(biāo)的方法通常有：轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的正指標(biāo)，如中間消耗率——增加值率；倒數(shù)法：X——1/X對于適度指標(biāo)，通常根據(jù)實(shí)際值與適度值（K）的差距的倒數(shù)1／（1＋|X-K|）。2.無量綱化處理1.指標(biāo)的選取1.同向化處理82.權(quán)數(shù)的確定方法按權(quán)數(shù)的表現(xiàn)形式分為：絕對數(shù)權(quán)數(shù)；比重權(quán)數(shù)。通常采用比重權(quán)數(shù)——?dú)w一化權(quán)數(shù)。按確定權(quán)數(shù)的方法分為：主觀賦權(quán)法；客觀賦權(quán)法。2.權(quán)數(shù)的確定方法按權(quán)數(shù)的表現(xiàn)形式分為：92.權(quán)數(shù)的確定方法主觀賦權(quán)法德爾菲法（專家法）——實(shí)際上各個專家可以根據(jù)自己的理解選擇不同的方法相鄰指標(biāo)比較法；（先按重要性將全部評價指標(biāo)排序，再將相鄰指標(biāo)的重要性進(jìn)行比較層次分析法（ＡＨＰ）——互反式兩兩比較構(gòu)權(quán)法。2.權(quán)數(shù)的確定方法主觀賦權(quán)法102.權(quán)數(shù)的確定方法權(quán)數(shù)的特性（指主觀權(quán)數(shù)、人工權(quán)數(shù)）

重要性——權(quán)數(shù)是一種重要性程度的量化值。指對合成值的影響程度大小。重要性本身是個綜合的概念，表現(xiàn)在多個方面，如可以是“價值判斷取向”上的重要性，也可以是合成時“分辨能力（信息含量）高低”的重要性，或“可靠度大小”的重要性。模糊性——重要性本身就是個模糊的概念；習(xí)慣取點(diǎn)值。人工性——沒有絕對的正確錯誤標(biāo)準(zhǔn)；只能盡可能選擇相對科學(xué)合理的權(quán)數(shù)。主觀性——受評權(quán)者主觀意識的影響2.權(quán)數(shù)的確定方法權(quán)數(shù)的特性（指主觀權(quán)數(shù)、人工權(quán)數(shù)）112.權(quán)數(shù)的確定方法客觀賦權(quán)法——從指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)來考慮，它是由客觀數(shù)據(jù)決定?？陀^定權(quán)法包括模糊定權(quán)法、秩和比法、熵權(quán)法和相關(guān)系數(shù)法等2.權(quán)數(shù)的確定方法客觀賦權(quán)法——從指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)來考慮，它123.合成方法合成方法

——由單項(xiàng)評價值計(jì)算綜合評價值的方法。1、算術(shù)平均法（加法合成、加減法合成）2、幾何平均法（乘法合成、乘除法合成）3.混合合成法3.合成方法合成方法133.合成方法1、

加權(quán)算術(shù)平均法的主要特點(diǎn)（1）對于數(shù)據(jù)的要求最寬松，用于合成的某一指標(biāo)數(shù)值可以為0、為負(fù)；（2）各指標(biāo)可以相互補(bǔ)償（等量補(bǔ)償），即此升彼降，總的評價值不變；（3）突出了評價分?jǐn)?shù)較大、權(quán)數(shù)較大者的作用，適用于主因素突出性的評價；（對較大數(shù)值的變動更為敏感）。3.合成方法1、加權(quán)算術(shù)平均法的主要特點(diǎn)143.合成方法2、幾何平均法的主要特點(diǎn)（1）對數(shù)據(jù)要求較高，指標(biāo)數(shù)值不能為0、負(fù)數(shù)，（2）

鼓勵被評價對象在各方面全面發(fā)展，任一方也不能偏廢。此合成方法督促“全面發(fā)展”，而不是靠重點(diǎn)傾斜的方法取勝；（3）

乘除法容易拉開評價檔次，對較小數(shù)值的變動更敏感。3.合成方法2、幾何平均法的主要特點(diǎn)15三、綜合評價的局限性綜合評價方法很多，各種方法得出的結(jié)果不可能完全相同，并且都帶有一定的相對性和局限性。（1）將若干個指標(biāo)數(shù)值綜合成一個數(shù)值，損失了原有指標(biāo)帶來的大量信息，結(jié)果較抽象，難釋其經(jīng)濟(jì)意義；（2）主觀性很強(qiáng)，選擇什么指標(biāo)、選擇多少指標(biāo)，權(quán)數(shù)的分配都很主觀；（3）評價的結(jié)果不具有惟一性。選擇不同的方法，可能有不同的結(jié)果，即使采用同樣的方法，由于各指標(biāo)的賦值不同、權(quán)重不同等，也有可能使評價結(jié)果不同。三、綜合評價的局限性綜合評價方法很多，各種方法得出的結(jié)果不可16第二節(jié)常用綜合評價方法一、計(jì)分法二、綜合指數(shù)法二、Topsis法三、秩和比(RSR)法四、層次分析(AHP)法五、模糊評價方法六、多元統(tǒng)計(jì)分析方法七、灰色系統(tǒng)評價方法第二節(jié)常用綜合評價方法一、計(jì)分法17一、計(jì)分法1.綜合計(jì)分法根據(jù)評價目的及評價對象的特征選定必要的評價指標(biāo)逐個指標(biāo)定出評價等級，每個等級的標(biāo)準(zhǔn)用分值表示以恰當(dāng)?shù)姆绞酱_定各評價指標(biāo)的權(quán)數(shù)選定累計(jì)總分的方案以及綜合評價等級的總分值范圍，以此為準(zhǔn)則，對評價對象進(jìn)行分析和評價，以決定優(yōu)劣取舍特點(diǎn)：簡便易行，過于粗糙。一、計(jì)分法1.綜合計(jì)分法18一、計(jì)分法2.排隊(duì)計(jì)分法將評價單位的各項(xiàng)評價指標(biāo)依優(yōu)劣秩序排隊(duì)，再將名次（位置）轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)評價值，最后由單項(xiàng)評價值計(jì)算各單位的綜合評價值（總分）。一、計(jì)分法2.排隊(duì)計(jì)分法19排隊(duì)計(jì)分法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡便易行，勿須另尋比較標(biāo)準(zhǔn)；各單項(xiàng)評價值有統(tǒng)一的值域；適用范圍廣泛（可用于定序以上層次的數(shù)據(jù)）缺點(diǎn)：原始數(shù)據(jù)信息的損失較大。排隊(duì)計(jì)分法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：20二、綜合指數(shù)法一個或一組變量對某特定變量值大小的相對數(shù)稱指數(shù)，反映某一事物或現(xiàn)象動態(tài)變化的指數(shù)稱個體指數(shù)，綜合反映多種事物或現(xiàn)象動態(tài)平均變化程度的指數(shù)稱總指數(shù)，綜合指數(shù)編制總指數(shù)的基本計(jì)算形式，定量地對某現(xiàn)象進(jìn)行綜合評價的方法稱綜合指數(shù)法二、綜合指數(shù)法一個或一組變量對某特定變量值大小的相對數(shù)稱指數(shù)21個體指數(shù)的計(jì)算：高優(yōu)指標(biāo)的個體指數(shù)p，為實(shí)測值X與標(biāo)準(zhǔn)值M的商p＝X/M

低優(yōu)指標(biāo)的個體指數(shù)

p＝M/X綜合指數(shù)I較為復(fù)雜，沒有統(tǒng)一的表達(dá)形式，常見的有加權(quán)求和，算術(shù)平均，乘積法等二、綜合指數(shù)法個體指數(shù)的計(jì)算：p＝X/M低優(yōu)指標(biāo)的個體指數(shù)p＝M/X綜22Ki為單項(xiàng)評價指數(shù)：綜合評價指數(shù)公式為：

評價指數(shù)可以為正指標(biāo)，也可以為逆指標(biāo)。但必須同向化。一般是把逆指標(biāo)轉(zhuǎn)化為正指標(biāo)——采用倒數(shù)法，此時，綜合評價指數(shù)才是越大越好。二、綜合指數(shù)法（舉例：加權(quán)指數(shù)法）Ki為單項(xiàng)評價指數(shù)：評價指數(shù)可以為正指標(biāo)，也23指標(biāo)名稱計(jì)量

單位全國

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)權(quán)數(shù)報(bào)告期指標(biāo)值甲地區(qū)乙地區(qū)丙地區(qū)（甲）（乙）（1）（2）（3）（4）（5）社會總成本增加值社會總成本利稅率社會勞動生產(chǎn)率商品流通費(fèi)用率積累效果系數(shù)元/百元元/百元萬元/人％％45202155030252551546252.2163548262.4183845211.81428試比較三個地區(qū)的綜合經(jīng)濟(jì)效益。二、綜合指數(shù)法指標(biāo)名稱計(jì)量

單位全國

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)權(quán)數(shù)報(bào)告期指標(biāo)值甲地區(qū)乙地24三個地區(qū)的綜合經(jīng)濟(jì)效益指數(shù)分別為：=110.31%

=116.67%=99.11%二、綜合指數(shù)法三個地區(qū)的綜合經(jīng)濟(jì)效益指數(shù)分別為：=110.31%=11625三、Topsis法TOPSIS（Techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution）法，即逼近理想解排序法，意為與理想方案相似性的順序選優(yōu)技術(shù)，是系統(tǒng)工程中有限方案多目標(biāo)決策分析的一種常用方法。它是基于歸一化后的原始數(shù)據(jù)矩陣，找出有限方案中最優(yōu)方案和最劣方案（分別用最優(yōu)向量和最劣向量表示），然后分別計(jì)算諸評價對象與最優(yōu)方案和最劣方案的距離，獲得各評價對象與最優(yōu)方案的相對接近程度，以此作為評價優(yōu)劣的依據(jù)。三、Topsis法TOPSIS（Techniquefor261.設(shè)有n個評價對象、m個評價指標(biāo)，原始數(shù)據(jù)可寫為矩陣X＝(Xij)n×m

2.對高優(yōu)、低優(yōu)指標(biāo)分別進(jìn)行同向化、歸一化變換

三、Topsis法1.設(shè)有n個評價對象、m個評價指標(biāo)，原始數(shù)據(jù)可寫為矩陣X＝273.歸一化得到矩陣Z＝(Zij)n×m，其各列最大、最小值構(gòu)成的最優(yōu)、最劣向量分別記為Z＋＝(Zmax1

Zmax2…

Zmaxm)

Z－＝(Zmin1

Zmin2…

Zminm)

4.第i個評價對象與最優(yōu)、最劣方案的距離分別為5.第i個評價對象與最優(yōu)方案的接近程度Ci為三、Topsis法3.歸一化得到矩陣Z＝(Zij)n×m，其各列最大、最小值28例4某兒童醫(yī)院1994～1998年7項(xiàng)指標(biāo)的實(shí)際值，用Topsis法比較該醫(yī)院這5年的醫(yī)療質(zhì)量年份出院人數(shù)病床使用率平均住院日病死率搶救成功率治愈好轉(zhuǎn)率院內(nèi)感染率19942158476.77.31.0178.397.52.019952437286.37.40.8091.198.02.019962204181.87.30.6291.197.33.219972111584.56.90.6090.297.72.919982463390.36.90.2595.597.93.6三、Topsis法例4某兒童醫(yī)院1994～1998年7項(xiàng)指標(biāo)的實(shí)際值，用T29變換后，得到矩陣

平均住院日、病死率、院內(nèi)感染率為低優(yōu)指標(biāo)，其余為高優(yōu)指標(biāo)，同向化、歸一化變換三、Topsis法變換后，得到矩陣平均住院日、病死率、院內(nèi)感染率為低優(yōu)指標(biāo)，30計(jì)算各列最大、最小值構(gòu)成的最優(yōu)、最劣向量分別為Z＋＝(0.48330.48050.46340.81780.47760.44870.5612)Z－＝(0.41420.40810.43210.20240.39160.44550.3118)三、Topsis法計(jì)算各年與最優(yōu)、最劣向量的距離（以94年為例）C1＝0.2497/(0.6289＋0.2497)＝0.2842計(jì)算接近程度（以94年為例）計(jì)算各列最大、最小值構(gòu)成的最優(yōu)、最劣向量分別為Z＋＝(0.31年份D+D-Ci排序19940.62890.24970.2842319950.56400.27540.3281219960.53690.15140.2200519970.51410.17620.2552419980.24940.63020.71641可以看出，1998

年綜合效益最好，其次為

1995年，隨后為

1994年、1997年，1996

年最差三、Topsis法年份D+D-Ci排序19940.62890.24970.2832四、秩和比(RSR)法?是利用秩和比RSR（Rank-sumratio）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一組方法。?RSR是一個內(nèi)涵較為豐富的綜合性指標(biāo)，具有0—1連續(xù)變量的特征，它以非參數(shù)分析方法為基礎(chǔ)，通過指標(biāo)數(shù)（列）、分組數(shù)（行）作秩的轉(zhuǎn)換，再運(yùn)用參數(shù)分析的概念和方法研究RSR的分布，解決多指標(biāo)綜合評價問題。四、秩和比(RSR)法?是利用秩和比RSR（Rank-sum33設(shè)有m個指標(biāo)，對n組數(shù)據(jù)進(jìn)行評價，形成n行m列的數(shù)據(jù)陣，則各行，

其中為分別按列編秩后各行的秩次。最小RSR=1/n，最大RSR=1。四、秩和比(RSR)法設(shè)有m個指標(biāo)，對n組數(shù)據(jù)進(jìn)行評價，形成n行m列的數(shù)據(jù)陣，則各34分別對要評價的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行編秩計(jì)算各指標(biāo)的秩和比（RSR）確定RSR的分布求回歸方程排序分檔四、秩和比(RSR)法分別對要評價的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行編秩四、秩和比(RSR)法35采用秩和比法對某病區(qū)護(hù)士的4項(xiàng)考核指標(biāo)進(jìn)行綜合評價業(yè)務(wù)考試成績（X1）操作考核結(jié)果（X2）科內(nèi)測評（X3）工作量考核（X4）四、秩和比(RSR)法采用秩和比法對某病區(qū)護(hù)士的4項(xiàng)考核指標(biāo)進(jìn)行綜合評價四、秩和比36第一步，分別對要評價的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行編秩遇相等評分時，取平均等級。四、秩和比(RSR)法第一步，分別對要評價的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行編秩遇相等評分時，取平均等37第二步，計(jì)算各指標(biāo)的秩和比（RSR）其中：m為指標(biāo)個數(shù)，n為分組數(shù)，Ri為各指標(biāo)的秩次，RSR值即為多指標(biāo)的平均秩次，其值越大越優(yōu)四、秩和比(RSR)法第二步，計(jì)算各指標(biāo)的秩和比（RSR）四、秩和比(RSR)法38四、秩和比(RSR)法四、秩和比(RSR)法39四、秩和比(RSR)法第三步，確定RSR的分布RSR→頻數(shù)f→累積頻數(shù)→秩號范圍→平均秩次→累積頻率→Y（概率單位）。

Y為RSR的累積頻率對應(yīng)的概率單位值，Y=uα+5，uα標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)（α=/n）四、秩和比(RSR)法第三步，確定RSR的分布Y為RSR的累40四、秩和比(RSR)法RSR值正態(tài)性檢驗(yàn)：Z=0.4772，雙側(cè)檢驗(yàn)P=0.9767，說明RSR值呈正態(tài)分布四、秩和比(RSR)法RSR值正態(tài)性檢驗(yàn)：Z=0.4772，41第四步，求回歸方程：RSR=A+BY經(jīng)相關(guān)和回歸分析，應(yīng)變量RSR與自變量概率單位Y之間具有線性相關(guān)（r=0.9528）線性回歸方程為：RSR=0.1877Y-0.4232F=59.078，P=0.0002說明所求線性回歸方程有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義四、秩和比(RSR)法第四步，求回歸方程：RSR=A+BY四、秩和比(RSR)法42第五步，根據(jù)RSR值排序分檔最佳分類歸檔的涵義是各檔方差一致，相差具有顯著性。最佳分檔準(zhǔn)則為每檔至少2例，盡量多分幾組。最佳分檔步驟，首先進(jìn)行方差一致性檢驗(yàn)，在方差一致的前提下，再作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，方差分析結(jié)果判斷各類間是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異，然后利用多重比較檢驗(yàn)各類間差異是否顯著。如果各類間的方差不一致或各類間的差異未達(dá)顯著，則需考慮重新分檔。四、秩和比(RSR)法第五步，根據(jù)RSR值排序分檔四、秩和比(RSR)法43將各護(hù)士護(hù)理考核指標(biāo)合理分檔，分差、良、優(yōu)三檔。四、秩和比(RSR)法將各護(hù)士護(hù)理考核指標(biāo)合理分檔，分差、良、優(yōu)三檔。四、秩和比(44經(jīng)方差齊性檢驗(yàn)X2=2.3006，P>0.05，說明各檔方差一致方差分析顯示：F=22.9722,P=0.0030，說明各檔間有顯著差異兩兩比較，P<0.05,說明各檔彼此之間均有差異，達(dá)到了最佳分檔。四、秩和比(RSR)法經(jīng)方差齊性檢驗(yàn)X2=2.3006，P>0.05，說明各檔方差45常用分檔數(shù)及對應(yīng)概率單位

常用分檔數(shù)及對應(yīng)概率單位

46層次分析法是一種以定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法。它是將半定性、半定量問題轉(zhuǎn)化為定量問題的一種行之有效的方法，使人們的思維過程層次化，通過逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗(yàn)比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服力的定量依據(jù)。五、層次分析法層次分析法是一種以定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化分析問題47層次分析過程可分為四個基本步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗(yàn)；（4）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。五、層次分析法層次分析過程可分為四個基本步驟：五、層次分析法48例某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)獎金、擴(kuò)建企業(yè)的福利設(shè)施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道按怎樣的比例來使用這筆資金較為合理。五、層次分析法例某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用?？晒┻x擇49步1建立層次結(jié)構(gòu)模型在用層次分析法研究問題時，首先要根據(jù)問題的因果關(guān)系并將這些關(guān)系分解成若干個層次。較簡單的問題通常可分解為目標(biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。與其他決策問題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應(yīng)自作主張地作出決策。對于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導(dǎo)必定會詢問為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來自于對決策者意圖的真實(shí)了解。經(jīng)過雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤，而利潤的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)為：（1）是否有利于調(diào)動企業(yè)職工的積極性，（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標(biāo)準(zhǔn)的最終確定將由決策者決定。五、層次分析法步1建立層次結(jié)構(gòu)模型在用層次分析法研究問題時，首先要根據(jù)50根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.7所示。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P圖中的連線反映了因素間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系，哪些因素存在關(guān)聯(lián)關(guān)系也應(yīng)由決策者決定。五、層次分析法根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.7所51對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購電冰箱時，如以質(zhì)量、外觀、價格、品牌及信譽(yù)等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量優(yōu)劣時又可分出若干個不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。建立層次結(jié)構(gòu)模型是進(jìn)行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進(jìn)一步分析研究創(chuàng)造了條件。五、層次分析法對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購52步2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖中目標(biāo)層利潤利用是否合理可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重(權(quán)值）并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。怎樣來確定合理的權(quán)值？五、層次分析法步2構(gòu)造判斷矩陣五、層次分析法53Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對Z的影響之比為aij，則xj和xi對Z的影響之比應(yīng)為。五、層次分析法Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣54定義7.4若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），則稱之為正互反矩陣（易見aii=1,i=1,…,n）。五、層次分析法顯然判斷矩陣是正互反矩陣。定義7.4若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij55從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適。如果在構(gòu)造成對比較判斷矩陣時，確實(shí)感到僅用1~9及其倒數(shù)還不夠理想時，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類的方法，先比較類，再比較每一類中的元素。關(guān)于如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們在成對比較差別時，用5種判斷級較為合適。即使用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對地強(qiáng)表示差別程度，aij相應(yīng)地取1,3,5,7和9。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時，aij可分別取值2、4、6、8。五、層次分析法從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判56步3層次單排序及一致性檢驗(yàn)上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：

i、j、k=1,2,…,n

五、層次分析法滿足該關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。步3層次單排序及一致性檢驗(yàn)i、j、k=1,2,…,57定理若A為一致矩陣，則（1）A必為正互反矩陣。（2）A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣。（3）A的任意兩行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，從而rank（A）=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。（4）A的最大特征根λmax=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為零。（5）若A的最大特征根λmax對應(yīng)的特征向量為W=（w1,…,wn）I，則aij=wi/wj，i,j=1,2,…,n。定理正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實(shí)數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于λmax。（證明從略）五、層次分析法定理

n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根λmax=n，且當(dāng)正互反矩陣A非一致時，必有λmax>n。定理若A為一致矩陣，則（1）A必為正互反矩陣。（2）A的58根據(jù)定理，我們可以由λmax是否等于n來檢驗(yàn)判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重，λmax對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出X={x1,…,xn}在對因素Z的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否能接受它。

為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：（1）求出，稱CI為A的一致性指標(biāo)。容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)A為一致矩陣時，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越嚴(yán)重。利用線性代數(shù)知識可以證明，A的n個特征根之和等于其對角線元素之和（即n）故CI事實(shí)上是A的除λmax以外其余n－1個特征根的平均值的絕對值。若A是一致矩陣，其余n－1個特征根均為零，故CI=0；否則，CI>0，其值隨A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當(dāng)CI略大于零時（對應(yīng)地，λmax稍大于n），A具有較為滿意的一致性；否則，A的一致性就較差。五、層次分析法根據(jù)定理，我們可以由λmax是否等于n來檢驗(yàn)判斷矩陣A是否為59（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未能指明該非一致性是否應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是可以允許的。事實(shí)上，我們還需要一個度量標(biāo)準(zhǔn)。為此，Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣——用從1~9及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值，并定義稱RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對n=1,…,11,，Saaty給出了RI的值，如表所示。N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51五、層次分析法（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未60（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)例比較，Saaty認(rèn)為，在CR<0.10時可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步3中應(yīng)先求出A的最大特征根λmax及λmax對應(yīng)的特征向量W=（w1,…,wn）T，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，使得。再對A作一致性檢驗(yàn)：計(jì)算，查表得到對應(yīng)于n的RI值，求，若CR<0.1，則一致性較為滿意，以i作為因子xi在上層因子Z中所具有的權(quán)值。否則必需重新作比較，修正A中的元素。只有在一致性較為滿意時，W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重。五、層次分析法（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)61現(xiàn)對本節(jié)例7.13（即合理利用利潤問題的例子）進(jìn)行層次單排序。為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造O－C層的成對比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對比較判斷知陣A=于是經(jīng)計(jì)算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩陣A，求出A對應(yīng)于λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)O中所占的權(quán)重。311153C1C2C3C1C2C30五、層次分析法現(xiàn)對本節(jié)例7.13（即合理利用利潤問題的例子）進(jìn)行層次單排序62類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在C2中的權(quán)值及P1、P2在C1中的權(quán)值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312λmax=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T五、層次分析法類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在C263經(jīng)層次單排序，得到圖7.8。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332五、層次分析法經(jīng)層次單排序，得到圖7.8。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性提64設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個因素，它們的層次總排序權(quán)值分別為a1,…,am。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個因素B1,…,Bn，它們關(guān)于Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,…,bnj（當(dāng)Bi與Aj無關(guān)聯(lián)系時，bij=0）?，F(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求B層各因素的層次總排序權(quán)值b1,…,bn，計(jì)算按表7.11所示方式進(jìn)行,即，i=1,…,n。表7.11bnm…bn2bn1Bn………………B2m…b22b21B2B1m…b12b11B1B層總排序權(quán)值A(chǔ)mam……A2a2A1a1層A層B步4

層次總排序及一致性檢驗(yàn)最后，在步驟（4）中將由最高層到最低層，逐層計(jì)算各層次中的諸因素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的相對重要性權(quán)值。設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個因素，它們的層次總65例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單排序權(quán)值的計(jì)算如表7.12所示。層C層PC1C2C3層P的總排序權(quán)值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531對層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。五、層次分析法例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單66設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為CI(j)，(j=1,…,m)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI(j)(CI(j)、RI(j)已在層次單排序時求得)，則B層總排序隨機(jī)一致性比率為CR=

當(dāng)CR<0.10時，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。對于表7.11中的P層總排序，由于C—P層間的三個判斷矩陣的一致性指標(biāo)（即CI(j)，j=1，2，3）均為0，故P層總排序的隨機(jī)一致性比率CR=0，接受層次分析結(jié)果，將留成利潤的25.1%用于發(fā)獎金，21.8%用于擴(kuò)建福利事業(yè)，余下的53.1%用于引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。五、層次分析法設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性67二、最大特征根及對應(yīng)特征向量的近似計(jì)算法眾所周知，求矩陣A的特征根與特征向量在n較大時是非常麻煩的，需要求解高次代數(shù)方程及高階線性方程組。由于判斷矩陣中aij的給出方法是比較粗糙的，它只是決策者主觀看法在一定精度內(nèi)的定量化反映，也就是說，建模本身存在著較大的模型誤差。因而，在計(jì)算特征根和特征向量時，沒有必要化費(fèi)太多的時間和精力去求A的特征根與特征向量的精確值。事實(shí)上，在應(yīng)用層次分析法決策時，這些量的計(jì)算通常采用較為簡便的近似方法。1、方根法在應(yīng)用小型計(jì)算器求判斷矩陣A的最大特征根與對應(yīng)特征向量時可采用方根法。其計(jì)算步驟如下：五、層次分析法二、最大特征根及對應(yīng)特征向量的近似計(jì)算法眾所周知，求矩陣A的68（1）求判斷矩陣每行元素的乘積，i=1,2,…,n（2）求Mi的n次方根

（3）對進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，求特征向量各分量的近似值。（4）求A的最大特征根的近似值從（7.6）式中不難看出，當(dāng)A為一致矩陣時，由A中各行乘積的n次方根組成的向量與A的特征向量成比例。因而當(dāng)A的非一致性不太嚴(yán)重時，方根法求得的Wi（i=1,…,n）可近似用于層次單排序的權(quán)值。（1）求判斷矩陣每行元素的乘積，i=1,2,…,n（2）求69對前面例子中的O—C判斷陣，有每行元素相乘求，得對前面例子中的O—C判斷陣，有每行元素相乘求702、冪法計(jì)算步驟：（步1）任取一標(biāo)準(zhǔn)化向量W(0)，指定一精度要求ε>0，k=0。（步2）迭代計(jì)算，k=0,1,…。若，i=1,…,n，則取W=為A的對應(yīng)于λmax的特征向量的近似，否則轉(zhuǎn)步2。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，即求

其中為的第i個分量。2、冪法計(jì)算步驟：（步1）任取一標(biāo)準(zhǔn)化向量W(0)，指定一精71（步4）求λmax的近似值對前面例子中的O—C判斷矩陣，若取，=0.001，利用冪法求近似特征向量如下：（第一次迭代）

(0)=(0.511,3,1.444)T，=4.955，求得W(1)=(0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）

(2)=(0.321,1.993,0.802)T，=3.116，求得W(2)=(0.103,0.639,0.257)T（步4）求λmax的近似值對前面例子中的O—C判斷矩陣，（第72（第三次迭代）

(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得W(3)=(0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）

(4)=(0.318,1.936,0.785)T，=3.04，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因，取W=W(4)。進(jìn)而，可求得。3、和積法（步1）將判斷矩陣A的每一列標(biāo)準(zhǔn)化，即令,i,j=1,…,n令。（第三次迭代）（第四次迭代）因73（步2）將中元素按行相加得到向量，其分量，i=1,…,n。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，得到W，即

，i=1,…,nW即為A的（對應(yīng)于λmax的）近似特征向量。（步4）求最大特征根近似值。（步2）將中元素按行相加得到向量，其分量74仍以前面例子中的O—C判斷矩陣為例：按列標(biāo)準(zhǔn)化

標(biāo)準(zhǔn)化，以上近似方法計(jì)算都很簡單，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值相差很小，且A的非一致性越弱相差越小，而當(dāng)A為一致矩陣時兩者完全相同。按行相加仍以前面例子中的O—C判斷矩陣為例：按列標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化，以上近75三、層次分析法應(yīng)用舉例在應(yīng)用層次分析法研究問題時，遇到的主要困難有兩個：（1）如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（2）如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際的定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（1）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性（即矛盾性），卻無法排除決策者個人可能存在的嚴(yán)重片面性。（2）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法，如何用更科學(xué)、更精確的方法來研究問題并作出決策，還有待于進(jìn)一步的探討研究。在應(yīng)用層次分析法時，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)再分析若干實(shí)例，以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。三、層次分析法應(yīng)用舉例在應(yīng)用層次分析法研究問題時，遇到的主要76例7.14招聘工作人員某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為招聘來的人員應(yīng)具備某些必要的素質(zhì)，由此建立層次結(jié)構(gòu)如圖7.9所示。招聘人員綜合情況知識能力外表經(jīng)濟(jì)知識外語知識法律知識組織能力公關(guān)能力計(jì)算機(jī)操作氣質(zhì)身高體形C層B層A層0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9例7.14招聘工作人員某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員77該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應(yīng)有稍強(qiáng)一些的要求。根據(jù)以上看法，建立A—B層成對比較判斷矩陣→

求得λmax=3，CR=0。1211121B1B2B3B3B2B1A該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，78類似建立B—C層之間的三個成對比較矩陣:

注：權(quán)系數(shù)是根據(jù)后面的計(jì)算添加上去的

1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W=(0.186,0.737,0.077)T

=3.047,CR=0.08W=(,,)TW

=(0.738,0.168,0.094)T

=3.017,CR=0.08類似建立B—C層之間的三個成對比較矩陣:注：權(quán)系數(shù)是根據(jù)后79經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024招聘工作可如下進(jìn)行，根據(jù)應(yīng)試者的履歷、筆試與面試情況，對他們的九項(xiàng)指標(biāo)作1—9級評分。設(shè)其得分為X=(x1,…,x9)T，用公式y(tǒng)=0.047x1+0.184x2+0.019x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042x8+0.024x9

計(jì)算總得分，以y作為應(yīng)試者的綜合指標(biāo)，按高到低順序錄用。經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：80例7.15

（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個層次結(jié)構(gòu)模型，如圖8.10所示。工作滿意程度研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣工作1工作2工作3目標(biāo)層A準(zhǔn)則層B方案層CB1B2B3B4B5B6C1C2C3例7.15（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示81該生經(jīng)冷靜思考、反復(fù)比較，建立了各層次的成對比較矩陣：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A該生經(jīng)冷靜思考、反復(fù)比較，建立了各層次的成對比較矩陣：13382由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。（方案層）

12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B211C311C231C1C3C2C1B3由于比較因素較多，此成對比較矩陣甚至不是正互反矩陣。（方案層83(層次總排序)如表7.13所示。

表7.13準(zhǔn)則研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值0.160.190.190.050.120.30方案層工作10.140.100.320.280.470.770.40單排序工作20.620.330.220.650.470.170.34權(quán)值工作30.240.570.460.070.070.060.26根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作1。（由于篇幅限止，本例省略了一致性檢驗(yàn)）(層次總排序)如表7.13所示。表7.13準(zhǔn)則研究課題發(fā)展84例7.16

作品評比。

電影或文學(xué)作品評獎時，根據(jù)有關(guān)部門規(guī)定，評判標(biāo)準(zhǔn)有教育性、藝術(shù)性和娛樂性，設(shè)其間建立的成對比較矩陣為由此可求得W=(0.158,0.187,0.656)T，CR=0.048(<0.1)例7.16作品評比。電影或文學(xué)作品評獎時，根據(jù)有關(guān)部門85本例的層次結(jié)構(gòu)模型如圖7.11所示

電影或文學(xué)作品評比教育性藝術(shù)性娛樂性作品1作品n……0.1580.1870.656在具體評比時，可請專家對作品的教育性、藝術(shù)性和娛樂性分別打分。根據(jù)作品的得分?jǐn)?shù)X=(x1,x2,x3)T，利用公式y(tǒng)=0.158x1+0.187x2+0.656x3

計(jì)算出作品的總得分，據(jù)此排出的獲獎順序。讀者不難看出，A矩陣的建立對評比結(jié)果的影響極大。事實(shí)上，整個評比過程是在組織者事先劃定的框架下進(jìn)行的，評比結(jié)果是按組織者的滿意程度來排序的。這也說明，為了使評比結(jié)果較為理想，A矩陣的建立應(yīng)盡可能合理。本例的層次結(jié)構(gòu)模型如圖7.11所示電影或文學(xué)作品評比教育性86例7.17

教師工作情況考評。某高校為了做好教師工作的綜合評估，使晉級、獎勵等盡可能科學(xué)合理，構(gòu)造了圖7.12所示的層次結(jié)構(gòu)模型。教育工作評估教學(xué)工作量指導(dǎo)研究生數(shù)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)效果主要刊物發(fā)表論文數(shù)一般論文數(shù)國家級獲獎項(xiàng)目省部級獲獎項(xiàng)目出版著作字?jǐn)?shù)翻譯著作字?jǐn)?shù)數(shù)量質(zhì)量論文項(xiàng)目著作教學(xué)科研OA1A2B1B2B3B4B5C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10圖7.12例7.17教師工作情況考評。某高校為了做好教師工作的綜合87在C層中共列出了十項(xiàng)指標(biāo)，有些可用數(shù)量表示，有些只能定性表示（如教學(xué)效果只能分為若干等級）。即使對于可以定量表示的指標(biāo)，由于各指標(biāo)具有不同的量綱，例如一篇論文并不等同于一個獲獎項(xiàng)目，互相之間不能直接進(jìn)行比較。為此，在層次單排序與總排序時應(yīng)先統(tǒng)一化成無量綱量。如可將每一指標(biāo)分為若干等級并對每一等級規(guī)定一個合適的得分?jǐn)?shù)。然后再根據(jù)各因子的重要程度利用成對比較及層次排序來確定各因子的權(quán)。在評估某教師時，只要根據(jù)該教師的各項(xiàng)指標(biāo)，利用由層次分析得到的評估公式計(jì)算其最終得分即可。上述諸例有一個共同的特征，模型涉及的因素間存在著較為明確的因果關(guān)系，這些因果關(guān)系又可以分成若干個層次。同一層次中的各因素間相互影響很小基本上可略去不計(jì)，上層因素對下層的某些因素存在著逐層傳遞的支配關(guān)系，但不考慮相反的逆關(guān)系。更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)可以考慮同一層次內(nèi)各因素間的相互影響，也可以考慮下層因素對上層因素的反饋?zhàn)饔?，因研究這類層次結(jié)構(gòu)需要用到更多的數(shù)學(xué)知識，本處不準(zhǔn)備再作進(jìn)一步的介紹，有興趣的讀者可以查閱有關(guān)的書籍和文獻(xiàn)。在C層中共列出了十項(xiàng)指標(biāo)，有些可用數(shù)量表示，有些只能定性表示88

設(shè)U={u1,u2,…,un}為n種因素(或指標(biāo)),V={v1,v2,…,vm}為m種評判(或等級).由于各種因素所處地位不同,作用也不一樣,可用權(quán)重A=(a1,a2,…,an)來描述,它是因素集U的一個模糊子集.對于每一個因素ui,單獨(dú)作出的一個評判f(ui),可看作是U到V的一個模糊映射f

,由f可誘導(dǎo)出U到V的一個模糊關(guān)系Rf,由Rf可誘導(dǎo)出U到V的一個模糊線性變換TR(A)=A°R=B,它是評判集V的一個模糊子集,即為綜合評判.(U,V,R

)構(gòu)成模糊綜合評判決策模型,U,V,R是此模型的三個要素.六、模糊綜合評判決策設(shè)U={u1,u2,…,un}為n種因素(89模糊綜合評判決策的方法與步驟是：

⑴建立因素集U={u1,u2,…,un}與決斷集V={v1,v2,…,vm}.⑵建立模糊綜合評判矩陣.對于每一個因素ui,先建立單因素評判：(ri1,ri2,…,rim)即rij(0≤rij≤1)表示vj對因素ui所作的評判,這樣就得到單因素評判矩陣R=(rij)n×m.⑶綜合評判.根據(jù)各因素權(quán)重A=(a1,a2,…,an)綜合評判:B=A⊕R=(b1,b2,…,bm)是V上的一個模糊子集,根據(jù)運(yùn)算⊕的不同定義,可得到不同的模型.模糊綜合評判決策的方法與步驟是：90模型Ⅰ：M(∧,∨)——主因素決定型bj=∨{(ai∧rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

由于綜合評判的結(jié)果bj的值僅由ai與rij(i=1,2,…,n)中的某一個確定(先取小,后取大運(yùn)算),著眼點(diǎn)是考慮主要因素,其他因素對結(jié)果影響不大,這種運(yùn)算有時出現(xiàn)決策結(jié)果不易分辨的情況.模型Ⅰ：M(∧,∨)——主因素決定型bj=∨{(ai∧r91模型Ⅱ：M(·,∨)——主因素突出型bj=∨{(ai·rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

M(·,∨)與模型M(∧,∨)較接近,區(qū)別在于用airij代替了M(∧,∨)中的ai∧rij.

在模型M(·,∨)中,對rij乘以小于1的權(quán)重ai表明ai是在考慮多因素時rij的修正值,與主要因素有關(guān),忽略了次要因素.模型Ⅱ：M(·,∨)——主因素突出型92模型Ⅲ：M(∧,＋)——主因素突出型bj=∑(ai∧

rij)(j=1,2,…,m).模型Ⅲ也突出了主要因