2023學年完整公開課版聚焦中考22講

人教數(shù)學第五章圖形的性質(zhì)(一)第22講平行四邊形要點梳理

1．n邊形以及四邊形的性質(zhì)(1)n邊形的內(nèi)角和為，外角和為_，對角線條數(shù)為．(2)四邊形的內(nèi)角和為，外角和為，對角線條數(shù)為．(3)正多邊形的定義：各條邊都，且各內(nèi)角都的多邊形叫正多邊形．(n－2)·180°360°360°360°2相等相等要點梳理

2．平行四邊形的性質(zhì)以及判定(1)性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別；②平行四邊形對角，鄰角；③平行四邊形對角線；④平行四邊形是對稱圖形．平行且相等相等互補互相平分中心要點梳理

(2)判定方法：①定義：的四邊形是平行四邊形；②的四邊形是平行四邊形；③的四邊形是平行四邊形；④的四邊形是平行四邊形；⑤的四邊形是平行四邊形．兩組對邊分別平行一組對邊平行且相等兩組對邊分別相等兩組對角分別相等對角線互相平分要點梳理

3．三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．一個方法面積法：在三角形和平行四邊形中，運用“等積法”進行求解，以不同的邊為底，其高也不相同，但面積是定值，從而得到不同底和高的關(guān)系．一個防范圖形的直觀性可幫助探求解題思路，但也可能因直觀判斷失誤或用直觀判斷代替嚴密推理，造成解題失誤．一定要對所有直觀判斷加以證明，不可以用直觀判斷代替嚴密的推理．四個誤區(qū)誤區(qū)一：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)二：一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)三：一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)四：一組對角相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形．

四種輔助線(1)常用連對角線的方法把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題；(2)有平行線時，常作平行線構(gòu)造平行四邊形；(3)有中線時，常作加倍中線構(gòu)造平行四邊形；(4)圖形具有等鄰邊特征時(如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等)，可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點旋轉(zhuǎn)到另一位置．1．(2014·畢節(jié))如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為(

)A．13

B．14

C．15

D．16B2．(2014·濟南)如圖，在?ABCD中，延長AB到點E，使BE＝AB，連接DE交BC于點F，則下列結(jié)論不一定成立的是(

)A．∠E＝∠CDF

B．EF＝DFC．AD＝2BF

D．BE＝2CFD3．(2014·新疆)四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是(

)A．OA＝OC，OB＝OD

B．AD∥BC，AB∥DCC．AB＝DC，AD＝BC

D．AB∥DC，AD＝BCD4．(2014·河北)如圖，△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點．若DE＝2，則BC＝(

)A．2B．3C．4D．5C5．(2014·河南)如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是(

)A．8B．9C．10D．11

C平行四邊形的判定【例1】

(2014·徐州)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形．解：證明：連接BD，設(shè)對角線交于點O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.∴四邊形BEDF是平行四邊形【點評】探索平行四邊形成立的條件，有多種方法判定平行四邊形：①若條件中涉及角，考慮用“兩組對角分別相等”或“兩組對邊分別平行”來證明；②若條件中涉及對角線，考慮用“對角線互相平分”來說明；③若條件中涉及邊，考慮用“兩組對邊分別平行”或“一組對邊平行且相等”來證明，也可以巧添輔助線，構(gòu)建平行四邊形．1．(2013·鞍山)如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求證：(1)△AFD≌△CEB；(2)四邊形ABCD是平行四邊形．解：證明：(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFA＝∠BEC.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)平行四邊形相關(guān)邊、角、周長與面積問題

【例2】

(2014·懷化)如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝∠AFE，EA是∠BEF的角平分線．求證：(1)△ABE≌△AFE；(2)∠FAD＝∠CDE.解：證明：(1)∵EA是∠BEF的角平分線，∴∠1＝∠2，在△ABE和△AFE中，??í?ì∠B＝∠AFE，∠1＝∠2，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(AAS)

(2)∵△ABE≌△AFE，∴AB＝AF，∵四邊形ABCD平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥CB，AB∥CD，∴AF＝CD，∠ADF＝∠DEC，∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝∠AFE，∠AFE＋∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠C，在△AFD和△DCE中，??í?ì∠ADF＝∠FEC，∠C＝∠AFD，AF＝DC，∴△AFD≌△DCE(AAS)，∴∠FAD＝∠CDE

【點評】平行四邊形對邊相等，對邊平行，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分，利用這些性質(zhì)可以解決與平行四邊形相關(guān)的問題，也可將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題．2．(2013·寧夏)在?ABCD中，P是AB邊上的任意一點，過P點作PE⊥AB，交AD于E，連接CE，CP，已知∠A＝60°.(1)若BC＝8，AB＝6，當AP的長為多少時，△CPE的面積最大，并求出面積的最大值；(2)試探究當△CPE≌△CPB時，?ABCD的兩邊AB與BC應(yīng)滿足什么關(guān)系？解：(1)延長PE交CD的延長線于F，設(shè)AP＝x，△CPE的面積為y，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，∵Rt△APE，∠A＝60°，∴∠PEA＝30°，∴AE＝2x，PE＝3x，∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD，在Rt△DEF中，∠DEF＝∠PEA＝30°，DE＝AD－AE＝8－2x，∴DF＝12DE＝4－x，F(xiàn)C＝DC＋DF＝10－x，∴S△CPE＝12PE·CF，即y＝12×3x×(10－x)＝－32x2＋53x，配方得：y＝－32(x－5)2＋2532，當x＝5時，y有最大值2532，即AP的長為5時，△CPE的面積最大，最大面積是2532

(2)當△CPE≌△CPB時，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝120°，

∴∠CED＝180°－∠AEP－∠PEC＝30°，∵∠ADC＝120°，

∴∠ECD＝∠CED＝180°－120°－30°＝30°，∴DE＝CD，即△EDC是等腰三角形，過D作DM⊥CE于M，則CM＝12CE，在Rt△CMD中，∠ECD＝30°，∴cos30°＝CMCD＝32，∴CM＝32CD，∴CE＝3CD，∵BC＝CE，AB＝CD，∴BC＝3AB，則當△CPE≌△CPB時，BC與AB滿足的關(guān)系為BC＝3AB

運用平行四邊形的性質(zhì)進行推理論證【例3】

(2014·聊城)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE與G點，交DF與F點，CE交DF于H點，交BE于E點．求證：△EBC≌△FDA.解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF∥CE，BE∥DF，∴四邊形BHDK和四邊形AMCN是平行四邊形，∴∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，

在△EBC和△FDA中，??í?ì∠EBC＝∠ADF，BC＝AD，∠BCE＝∠DAF，∴△EBC≌△FDA(ASA)

【點評】利用平行四邊形的性質(zhì)，可以證角相等、線段相等，其關(guān)鍵是根據(jù)所要證明的全等三角形，選擇需要的邊、角相等條件；也可以證明相關(guān)聯(lián)的四邊形是平行四邊形．3．(1)(2013·益陽)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．AB＝CDD．AC⊥BDD(2)(2014·賀州)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對角線BD上的點，∠1＝∠2.①求證：BE＝DF；②求證：AF∥CE.解：(2)證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，??í?ì∠AEB＝∠4，∠3＝∠5，AB＝CD，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF；②由①得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE

三角形中位線定理【例4】

(2013·鞍山)如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點，則四邊形EFGH的周長是．11【點評】當已知三角形一邊中點時，可以設(shè)法找出另一邊的中點，構(gòu)造三角形中位線，進一步利用三角形的中位線定理，證明線段平行或倍分問題．4．(2014·邵陽)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AB的中點，DE⊥AC于點E.∠A＝30°，AB＝8，則DE的長度是．2試題如圖，已知六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角均為120°，CD＝10cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，求此六邊形的周長．錯解解：如圖，連接EB，DA，F(xiàn)C，分別交于點M，N，P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等邊三角形．同理，△MAB，△NFA也是等邊三角形．∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN.∴四邊形EDNF是平行四邊形．同理，四邊形EMAF也是平行四邊形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8.∴六邊形ABCDEF的周長＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5