桿梁結構的有限元分析原理

桿梁結構的有限元分析原理第1頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月桿梁單元概述討論桿梁單元和由它們組成的平面和空間桿梁結構系統(tǒng).從構造上來說其長度遠大于其截面尺寸的一維構件承受軸力或扭矩的桿件稱為桿桿梁問題都有精確解承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁平面桁架平面剛架連續(xù)梁空間剛架空間桁架等變截面桿和彎曲桿件第2頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月本章主要內容4.1有限元分析的完整過程4.2有限元分析的基本步驟及表達式4.3桿單元及其坐標變換4.4梁單元及其坐標變換第3頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1有限元分析的完整過程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3為10N作用下二桿結構的變形。第4頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月問題的解題思路：1）用標準化的分段小單元來逼近原結構2）尋找能夠滿足位移邊界條件的許可位移場3）基于位移場的最小勢能原理來求解基本變量為：節(jié)點位移內部各點位移應變應力(1)(3)(2)第5頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月完整的求解過程1）離散化該構件由兩根桿件做成，因此可以自然離散成2個桿單元。假定以這類單元位移的特征為兩個端點位移，就這兩個離散單元給出節(jié)點編號和單元編號。單元1：i=1，j=2單元2：i=2，j=3第6頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月2）單元分析單元位移模式：u(x)=a0+a1x單元節(jié)點條件：u(0)=u1，u(1)=u2

從而得：第7頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月回代得寫成矩陣形式為其中Ni，Nj是形函數(shù)。形函數(shù)矩陣第8頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)幾何方程可得應變的表達寫成矩陣形式為簡記為幾何函數(shù)矩陣或者是應變轉換矩陣第9頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)物理方程可得應力的表達寫成矩陣形式為簡記為應力矩陣或者是應力轉換矩陣第10頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月勢能的表達第11頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月寫成矩陣形式為剛度矩陣節(jié)點力列陣第12頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月3）離散單元的裝配

在得到各個單元的勢能表達式后，需要進行離散單元的裝配，以求出整個系統(tǒng)的總勢能，對于該系統(tǒng)，總勢能包括兩個單元部分第13頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4）邊界條件的處理

處理邊界條件是獲取可能位移場，將左端的約束條件，即u1=0代入上式可以得到簡化的勢能表達式第14頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月5）建立剛度方程

由于上式是基于許可位移場的表達的系統(tǒng)勢能，這是由全部節(jié)點位移分段所插值出的位移場為全場許位移場，且基本未知量為節(jié)點位移，根據(jù)最小勢能原理（即針對未知位移求一階導數(shù)）有第15頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月6）求解節(jié)點位移

將結構參數(shù)和外載荷代入上式有求解得（單位m）第16頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月7）計算單元應變第17頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月8）計算單元應力第18頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月9）計算支反力

對于單元勢能的表達，對其取極值有具體地對于單元1，有其中R1是節(jié)點1的支反力，P2是單元1的節(jié)點2所受的力，即單元2對該節(jié)點的作用力，將前面求得的節(jié)點位移代入上式可得支反力大小。第19頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月以上是一個簡單結構有限元方法求解得完整過程，對于復雜結構，其求解過程完全相同，由于每一個步驟都具備標準化和規(guī)范性的特征，所以可以在計算機上編程而自動實現(xiàn)。討論1：對于一個單元的勢能取極值，所得到的方程為節(jié)點的位移和節(jié)點力之間的關系，也稱為單元的平衡關系，由此可以求出每一個單元所受的節(jié)點力。第20頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月討論2：由前面的步驟，我們也可以直接將各個單元的剛度矩陣按照節(jié)點編號的對應位置來進行裝配，即在未處理邊界條件之前，先形成整體剛度矩陣。其物理意義是，表示在未處理邊界條件前的基于節(jié)點描述的總體平衡關系。在對該方程進行位移邊界條件的處理后就可以求解，這樣與先處理邊界條件再求系統(tǒng)勢能的最小值所獲得的方程完全相同。第21頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2有限元分析的基本步驟及表達式1、物體幾何區(qū)域的離散化2、單元的研究（所有力學信息都用節(jié)點位移）來表達3、裝配集成4、邊界條件的處理并求解節(jié)點位移5、支反力的求取以及其它力學量（應力、應變及位移三大物理量）的計算第22頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2有限元分析的基本步驟及表達式第23頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3桿單元及其坐標變換局部坐標系中的單元描述5.25m3.75m24mF6m3mF24mE=3E7paρ=0.2836kg/m3F=100N第24頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月變截面桿單元的推導單元的位移模式形狀函數(shù)矩陣單元的幾何矩陣第25頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月變截面桿單元的推導單元剛度矩陣為第26頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3桿單元及其坐標變換局部坐標系中的單元描述E=2E10paF=60kNA=250mm2150mm150mmF1.2mm第27頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3桿單元及其坐標變換-局部坐標由于桿單元只有兩個節(jié)點位移，故可以設桿單元的位移模式為之包含兩個待定常數(shù)的形式

u(x)=a1+a2x根據(jù)有限元法的基本思路，將彈性體離散成有限個單元體的組合，以結點的位移作為未知量。彈性體內實際的位移分布可以用單元內的位移分布函數(shù)來分塊近似地表示。在單元內的位移變化可以假定一個函數(shù)來表示，這個函數(shù)稱為單元位移函數(shù)、或單元位移模式。第35頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月回代得寫成矩陣形式為其中Ni，Nj是形函數(shù)。根據(jù)位移條件有u(0)=u0，u(l)=ul，從而得第36頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)幾何方程得根據(jù)物理方程得從而，根據(jù)單元分析結果，進行整體分析，求解整體方程組，進行結果分析第37頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3.2桿單元的坐標變換第38頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月

規(guī)定：桿端位移和桿端力取在截面形心上，符號以與單元系坐標正向相同為正，相反為負。下面討論整體坐標系下與局部坐標系下的轉換關系式。整體坐標系單元桿端位移和桿端力仍定義在截面形心上，符號以與坐標正向同向為正反之為負。局部坐標系整體坐標系4.3.2桿單元的坐標變換-平面問題第39頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月其中是一個單位正交矩陣，單位正交矩陣的逆即等于其轉置。

從上圖可以得出，整體坐標系逆針旋轉α角后與單元系相重合。寫成矩陣形式為

第40頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月由于單元的勢能是一個標量(能量)，不會因坐標系的不同而改變，因此，可將節(jié)點位移的坐標變換關系代入原來基于局部坐標系的勢能表達式中，整體坐標系下的剛度方程第42頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)得其中單剛的性質：是對稱矩陣。是奇異矩陣。坐標變換并不改變矩陣的奇異性質。

第43頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月1結構的離散化與編號第45頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月2各個單元的矩陣描述結構包括有斜桿，所以必須在總體坐標下對節(jié)點位移進行表達，所推導的單元剛度矩陣也要進行變換第46頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月3建立整體剛度方程1.將所得到的各個單元剛度矩陣按節(jié)點編號進行組裝，可以形成整體剛度矩陣;2.同時將所有節(jié)點載荷也進行組裝。

第47頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4邊界條件的處理及剛度方程求解第48頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月5各單元應力的計算第50頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月6支反力的計算將節(jié)點位移的結果代入整體剛度方程中第51頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月基于MATLAB平臺求解該（1）結構的離散化與編號（2）計算各單元的剛度矩陣1.建立一個工作目錄，將所編制的用于平面桁架單元分析的四個MATLAB函數(shù)（1.單元剛度；2.總剛矩陣的組裝；3.單元應力的求解；4.支反力的求解）2.在MATLAB環(huán)境中，輸入彈性模量E、橫截面積A，各點坐標、角度3.調用四次單元剛度矩陣計算函數(shù)，得到各個單元的剛度矩陣第52頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月單元的剛度矩陣的計算functionk=Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha)%該函數(shù)計算單元的剛度矩陣%輸入彈性模量E，橫截面積A%輸入第一個節(jié)點坐標（x1,y1），第二個節(jié)點坐標（x2,y2），角度alpha（單位是度）%輸出單元剛度矩陣k(4X4)。%-------------------------------------------------L=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));x=alpha*pi/180;C=cos(x);S=sin(x);k=E*A/L*[C*CC*S-C*C-C*S;C*SS*S-C*S-S*S;-C*C-C*SC*CC*S;-C*S-S*SC*SS*S];第53頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月總剛度矩陣的組裝functionz=Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j)%該函數(shù)進行單元剛度矩陣的組裝%輸入單元剛度矩陣k，單元的節(jié)點編號i、j%輸出整體剛度矩陣KK%--------------------------------------------------------DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;forn1=1:4forn2=1:4KK(DOF(n1),DOF(n2))=KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);endendz=KK;第54頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）建立整體剛度方程（4）邊界條件的處理及剛度方程求解（高斯消去法）（5）支反力的計算（6）各單元的應力計算基于MATLAB平臺求解該第55頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月基于ANSYS求解該1.前處理2.求解器的設定3.后處理第56頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對于單元2：取i=1，j=2，則，故

對于單元1：取i=3，j=1，則c=1，s=0，故

對于單元3：取i=2，j=3，則c=0，s=1，故

平面桿單元應用2第57頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月整體編號，對號入座得總剛第58頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月桿單元的坐標變換-空間第60頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月整體和局部的坐標轉換關系與平面問題一致。第61頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月ANSYS應用實例2第62頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4梁單元及其坐標變換一般平面梁單元的描述第63頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月純彎梁單元第64頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月由于單元有四個位移分量，可設梁單元的位移模式v(x)為包含4個待定常數(shù)的三次多項式：由材料力學知,各截面的轉角:第65頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)邊界條件可以確定待定系數(shù)，將其進一步回代，可以得到用節(jié)點位移表示的梁單元位移。式中第66頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月單元的應力應變

在彈性范圍內，并且不考慮剪力的影響時，平面剛架單元內任一點的軸向線應變由兩部分組成，即軸向應變與彎曲應變之和，其軸向應變與平面桁架軸向應變相同。軸向應變?yōu)閺澢鷳優(yōu)?/p>

y為梁單元任意截面上任意點至中性軸(x軸)的距離。得出平面剛架單元應變圖3-5彎曲應變計算示意圖

則——平面剛架梁單元的應變轉換矩陣。第67頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)梁的平面假定可知梁單元的軸向應變?yōu)椋哼@里利用平面假設（變形后橫截面仍保持平面，與縱線正交）如圖：第68頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第69頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月從而可以由單向虎克定律得出單元的軸向應力：第70頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月由虛功原理可以推得

第72頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月組裝總剛仍用后處理法，“對號入座，子塊搬家”的方法。如：對于單元1，我們取i=1，j=2。故

第73頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對于單元2，取i=2，j=3。故由于I1=2I2=2I，按照“整體編號，對號入座”的原則，得總剛為第74頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月對于此，列出總剛度方程為第75頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮到邊界條件，修正后的剛度方程為解之得第76頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5平面剛架的有限元法小變形情況下，可以把平面剛架單元看成是發(fā)生軸向位移的桿單元和發(fā)生撓度和轉角的梁單元的組合。將桿單元剛度矩陣與純彎梁單元剛度矩陣進行組合可得到平面梁單元剛度矩陣。第77頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5平面剛架的有限元法單元位移模式（1）平面桁架的單元位移模式（2）平面梁的單元位移模式其中：綜合平面桁架和平面梁單元，得到平面剛架單元的單元位移模式。第78頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月以下簡記為

第79頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月單元的應力和應變桿單元的軸向應變：梁單元的軸向應變：綜合平面桁架和平面梁單元，得到平面剛架單元的應力和應變。簡記為：第80頁，課件共92頁，創(chuàng)作于2023年2月