材料力學彎曲變形

材料力學彎曲變形1第1頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

鋼質(zhì)細長桿(λ≥λ1)，兩端鉸支，長l=1.5m，橫截面是矩形截面，h=50mm，b=30mm，材料是A3鋼，彈性模量E=200GPa；求臨界力和臨界應力。解：(a)判斷發(fā)生彎曲的方向。由于桿截面是矩形，桿在不同方向彎曲的難易程度不同，即：當約束條件相同的情況下，繞y軸的彎曲比繞z軸來的容易；壓桿最易在xz平面內(nèi)(最小剛度平面)發(fā)生彎曲。ybhzyPlxz2第2頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月(b)判斷歐拉公式的適用范圍。因為是細長桿所以可用歐拉公式(c)計算臨界壓力。由歐拉公式(d)計算臨界應力。

對A3鋼σp≈200MPa，細長壓桿在失穩(wěn)時，強度還是有余的；

3第3頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

木柱長l=7m，橫截面是矩形，h=200mm，b=120mm；當它在xz平面(最小剛度平面)內(nèi)彎曲時，兩端視為固定(μ=1/2)

；當它在xy平面(最大剛度平面)內(nèi)彎曲時，兩端視為鉸支(μ=1)

；木材的彈性模量E=10Gpa，λ1=59；求臨界力和臨界應力。解:(a)求在xz平面內(nèi)彎曲時的柔度，兩端固定μ=0.5bhzyyxz4第4頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月(b)求在xy平面內(nèi)彎曲時的柔度，兩端鉸支μ=1(c)判斷桿件易在哪個平面內(nèi)彎曲所以易在xy平面內(nèi)(最大剛度平面內(nèi))發(fā)生彎曲。說明繞z軸的彎曲比繞y更容易。bhzyyxz5第5頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月(d)判斷歐拉公式的適用范圍所以為大柔度桿，可用歐拉公式。(e)求臨界力和臨界應力6第6頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月10.4.3臨界應力總圖(各類壓桿臨界應力的計算)總結(jié)：對于λ＜λ2的小柔度桿，應按強度問題計算，圖中AB線；對于λ＞λ1的大柔度桿，可按歐拉公式計算臨界應力，圖中CD曲線；對于λ2

≤λ≤λ1的中柔度桿，應按經(jīng)驗公式計算臨界應力，圖中BC線。DCBA小柔度桿中柔度桿大柔度桿7第7頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月例10.3

兩端鉸支的壓桿，長l=1.5m，橫截面直徑d=50mm，材料是Q235鋼(a=304MPa,b=1.12MPa,σb=372,σs=235)，彈性模量E=200GPa，σp=190MPa；求壓桿的臨界力；如果：(1)l1=0.75l；(2)l2=0.5l，材料選用優(yōu)質(zhì)碳鋼(σs=306)

；壓桿的臨界力變?yōu)槎啻?(2)判別壓桿的性質(zhì)并計算臨界力:

解：(1)計算壓桿的柔度8第8頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)當l1=0.75l時，λ=0.75×120=90，而

壓桿是中柔度桿，選用經(jīng)驗公式計算臨界力:壓桿是大柔度桿，可用歐拉公式計算臨界力；9第9頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月(b)當l2=0.5l時，λ=0.5×120=60，而

壓桿是小柔度桿，臨界應力就是屈服應力；10第10頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月習題10.6.

三根圓截面壓桿，直徑均為d=160mm材料為Q235鋼，E=200GPa，σp=200MPa，σs=240MPa。三桿均為兩端鉸支，長度分別為l1、l2和l3，且l1=2l2=4l3=5m。試求各桿的臨界壓力Pcr。解：(1)求柔度極限值

查表得Q235鋼：a=304MPa,b=1.12MPa(2)判斷柔度，求各桿的臨界壓力Pcr1桿：可用歐拉公式

11第11頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月2桿：3桿：應按強度問題計算

屬于中柔度桿

12第12頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月

能夠保持壓桿在微小彎曲的狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力稱為臨界壓力。

所以，對細長壓桿而言，討論其穩(wěn)定性的關(guān)鍵就是求出它的臨界壓力或臨界壓應力。對于不同柔度的壓桿總可算出它的臨界應力。將臨界應力乘以壓桿橫截面面積，就可以得到臨界壓力。而臨界壓力是由壓桿的整體變形所確定的，局部削弱(如螺釘孔等)對桿件整體變形影響很??；故無論是用歐拉公式還是經(jīng)驗公式計算時，都可采用未削弱的截面面積和慣性矩。第十章總結(jié)13第13頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月壓桿穩(wěn)定計算1）根據(jù)壓桿的約束條件確定長度系數(shù)μ2）計算桿件自身的柔度λ(10.7)，判斷發(fā)生彎曲的平面（也可由慣性矩來判斷最大、最小剛度平面）3）通過比較λ的大小，判斷計算臨界壓力的公式作為強度問題計算4）由壓桿穩(wěn)定條件確定載荷或桿件尺寸或λp用(10.9)λs用(10.12)14第14頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月例10.4

圖示結(jié)構(gòu)中，AB為圓截面桿，直徑d=80mm，A端固定，B端鉸支；BC是正方形截面桿，邊長a=70mm，C端也為鉸支；AB和BC桿可以獨自發(fā)生彎曲變形而互不影響；兩桿的材料是A3鋼，其λp=104

，l=3m，穩(wěn)定安全系數(shù)nst=2.5；求結(jié)構(gòu)的許可載荷P。解：(1)計算AB和BC桿的柔度AB為一端鉸支他端固定，BC為兩端鉸支；故柔度不同。應選擇柔度大，臨界壓力小的桿件計算。15第15頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)比較和確定計算的壓桿

因為λAB＞λBC，所以AB桿的穩(wěn)定性比BC桿差，選AB桿計算；(3)穩(wěn)定性計算：

λAB＞λP

，AB是細長壓桿；

16第16頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月問題1.

細長桿AB受軸向壓力P作用，設(shè)桿的臨界力為Pcr，則下列結(jié)論中_____是正確的。A.僅當P<Pcr時，桿AB的軸線才保持直線，桿件只產(chǎn)生壓縮變形；

正確；沒有失去穩(wěn)定

B.當P=Pcr時桿AB的軸線保持直線，桿件不出現(xiàn)彎曲變形。

錯誤；桿件失穩(wěn)，保持曲線平衡C.當P>Pcr時，桿AB不可能保持平衡；錯誤；桿件保持曲線平衡D.為保證桿AB處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，應使

P≤Pcr；

錯誤；失去穩(wěn)定也是一種平衡狀態(tài)17第17頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月問題2.

兩根細長壓桿如圖示，桿1為正方形截面，桿2為圓截面，兩者材料相同，長度相同，且橫截面積相同，若其臨界載荷分別用P’cr和P”cr表示，則下列結(jié)論中_____是正確的。A．P’cr>P”cr；B．P’cr=P”cr；C．P’cr<P”cr；D．壓桿采用圓截面最為經(jīng)濟合理；18第18頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月問題3.圖示兩種構(gòu)架中，橫桿均視為剛體，各豎桿的橫截面和長度均相同，材料均為A3鋼。設(shè)P和P’分別表示這兩種構(gòu)架的最大許可載荷，則下列結(jié)論中正確的是什么？

①P>P’；②P<P’；③P值完全取決于桿EF的穩(wěn)定性；④P’值完全取決于桿C’D’的穩(wěn)定性；解答:②、③；兩根壓桿中穩(wěn)定性最差的是EF；

其所受的壓力遠大于C’D’桿19第19頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月習題10.4.

圖示蒸汽機活塞桿AB所受壓力為P=120kN，l=1.8m，截面為圓形d=75mm。材料為Q275鋼，E=210GPa，σs=240MP。規(guī)定nst=8。試校核活塞桿的穩(wěn)定性。解：(1)求柔度極限值并判斷桿件的類型

壓桿的柔度：

壓桿是大柔度(2)壓桿的臨界壓力(3)壓桿的穩(wěn)定性故穩(wěn)定20第20頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月習題10.9

有三根鋼管構(gòu)成的支架如圖所示。鋼管的長度為l=2.5m，外徑30mm，內(nèi)徑為22

mm，E=210GPa，σp=240MPa。在支架的頂點三桿鉸接。若取nst=3，試校許可的載荷P。120゜120゜2mP所以壓桿為細長桿，歐拉公式適用

解：(1)求柔度極限值并判斷桿件的類型

由于支架的對稱性，可取其中任意一根桿來研究。設(shè)其所受壓力為F

21第21頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月習題10.9

有三根鋼管構(gòu)成的支架如圖所示。鋼管的長度為l=2.5m，外徑30mm，內(nèi)徑為22

mm，E=210GPa，在支架的頂點三桿鉸接。若取nst=3，試求許可載荷P。于是有

120゜120゜2mP故許可載荷為7.5kN

22第22頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月習題10.10

在圖示鉸接桿系中，AB和BC皆為細長壓桿，且截面相同，材料一樣。若桿系因在ABC平面內(nèi)喪失穩(wěn)定而同時失效，并規(guī)定0<

<

/2，試確定P為最大值時的角。

解：如圖求出各桿的軸力

由已知條件可知

AB和BC皆為細長壓桿，歐拉公式適用

欲使P為最大值，則兩桿的壓力同時達到各自的臨界值，即23第23頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月習題10.12

蒸汽機車的連桿如圖所示。截面為工字形，材料為Q235鋼，

1=100，連桿承受的最大軸向壓力為465kN。連桿在擺動平面（xy平面）內(nèi)發(fā)生彎曲時，兩端可認為鉸支；而在與擺動平面垂直的xz平面內(nèi)發(fā)生彎曲時，兩端可認為是固定支座。試確定其工作安全系數(shù)。解：(1)用柔度進行壓桿屬性判斷需先計算截面的幾何性質(zhì)x24第24頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月x在xy平面和xz平面內(nèi)的柔度分別為

故連桿易在xz平面失去穩(wěn)定(或由Iy>Iz也可判斷)并且歐拉公式不適合，需用經(jīng)驗公式。習題10.12

蒸汽機車的連桿如圖所示。截面為工字形，材料為Q235鋼，

1=100，連桿承受的最大軸向壓力為465kN。連桿在擺動平面（xy平面）內(nèi)發(fā)生彎曲時，兩端可認為鉸支；而在與擺動平面垂直的xz平面內(nèi)發(fā)生彎曲時，兩端可認為是固定支座。試確定其工作安全系數(shù)。25第25頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月x習題10.12

蒸汽機車的連桿如圖所示。截面為工字形，材料為Q235鋼，

1=100，連桿承受的最大軸向壓力為465kN。連桿在擺動平面（xy平面）內(nèi)發(fā)生彎曲時，兩端可認為鉸支；而在與擺動平面垂直的xz平面內(nèi)發(fā)生彎曲時，兩端可認為是固定支座。試確定其工作安全系數(shù)。對于Q235鋼，

連桿為中柔度桿，應用直線公式計算壓力工作安全系數(shù)為：

26第26頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月習題10.15

某廠自制簡易起重機如圖所示。壓桿BD為20號槽鋼，材料為Q235鋼，

1=100，2=62。起重機的最大起重量P=40kN。若規(guī)定nst=5，試校核BD桿的穩(wěn)定性。解：（1）受力分析

(鉸支座處無彎矩)

以梁AC為研究對象，由靜力平衡

方程可求得（2）BD壓桿的柔度

查型鋼表，20號槽鋼：27第27頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）計算臨界