【微專題】2023年8下?？键c(diǎn)微專題提分（人教版） 菱形中的最值小題特訓(xùn)30道（解析版）

菱形中的最值小題特訓(xùn)30道1．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】找出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則就是的最小值，求出即可．【詳解】解：連接BD，交AC于O，連接DE交AC于P，由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則PD＝PB，∴PE＋PB＝PE＋PD＝DE，即DE就是PE＋PB的最小值．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DCB＝∠DAB＝60°，DC＝BC＝4，∴△DCB是等邊三角形，∵BE＝CE＝2，∴DE⊥CB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)）．在Rt△CDE中，DE＝．即PB＋PE的最小值為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，確定P點(diǎn)的位置是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】連接，，當(dāng)時(shí)，的值最小，再由所給條件可得，則即為所求．【詳解】解：連接，，四邊形是菱形，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，，當(dāng)時(shí)，的值最小，，，，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，，，的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．3．如圖，在中，AD＝4，＝120°，AC平分∠DAB，P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PQ的最小值是（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意證出四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得，線段AB與AD關(guān)于AC對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)Q’是點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)，則PB＋PQ=PB＋PQ’，當(dāng)點(diǎn)Q’運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q’’時(shí)，即BQ’’⊥AD時(shí)，PB＋PQ’最小，解直角三角形即可．【詳解】解：在中，AD＝4，AC平分∠DAB，∴是菱形，AB＝AD＝4，∵＝120°，∴＝60°，∵是菱形，∴線段AB與AD關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)Q關(guān)于AC對(duì)稱的點(diǎn)在AD上，設(shè)點(diǎn)Q’是點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)，則PB＋PQ=PB＋PQ’，當(dāng)點(diǎn)Q’運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q’’時(shí)，即BQ’’⊥AD時(shí)，PB＋PQ’最小，此時(shí)，BQ’’=ABsin∠DAB=，∴PB＋PQ的最小值是，故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，菱形的性質(zhì)與判定，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)Q’’的位置是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線平分，，，在對(duì)角線上有一動(dòng)點(diǎn)P，邊上有一動(dòng)點(diǎn)Q，使的值最小，則這個(gè)最小值為（

）A．4 B． C． D．8【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB＝∠CBD，由角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD，得到平行四邊形ABCD是菱形，推出點(diǎn)A，C關(guān)于BD對(duì)稱，過(guò)A作AQ⊥BC于Q交BD于P，則PQ＋PC最小值＝AQ，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)A，C關(guān)于BD對(duì)稱，過(guò)A作AQ⊥BC于Q交BD于P，則PQ＋PC最小值＝AQ，∵∠ABC＝45°，∴△ABQ是等腰直角三角形，∵AB＝BC＝8，∴AQ＝AB＝，∴這個(gè)最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確的找到P與Q的位置是解題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC中，AC＝BC＝3，AB=2，將它沿AB翻折180°得到△ABD，點(diǎn)P、E、F分別為線段AB、AD、DB上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先證明四邊形是菱形，得，作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再過(guò)作，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，求出即可．【詳解】解：作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再過(guò)作，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作，于，沿翻折得到，，，，，四邊形是菱形，，，，，由勾股定理可得，，，可得，，最小為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將利用“將軍飲馬”模型對(duì)線段和轉(zhuǎn)化為平行線間的線段長(zhǎng)．6．如圖，菱形的面積是，對(duì)角線交于點(diǎn)，，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C．8 D．16【答案】B【分析】連接DE交AC于M，則DE就是MB+ME的最小值，進(jìn)而即可求出△BME周長(zhǎng)的最小值．【詳解】解：連接DE交AC于M，連接DB，由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則MD=MB，∴ME+MB=ME+MD≥DE，即DE就是ME+MB的最小值，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵AD=AB，∴△ABD是等邊三角形，∵AE=BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)）．設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，即AD=AB=，∴，∵菱形ABCD的面積是32，∴S△ABD=16，∴，即，解得m=8，∴，∴△BME周長(zhǎng)的最小值為：DE+BE=4+4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，確定M點(diǎn)的位置是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，菱形中，，，點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)（不與A，B重合），作交于點(diǎn)F，且，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】只要證明得出是等邊三角形，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)，所以等邊三角形的邊長(zhǎng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，只要求出的邊長(zhǎng)最小值即可．【詳解】解：連接，菱形中，，與是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，，，是等邊三角形，的周長(zhǎng)，等邊三角形的邊長(zhǎng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，當(dāng)時(shí)，最小，的周長(zhǎng)最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、最小值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想解決問(wèn)題，所以中考?？碱}型．8．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝12，BD＝16，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF的最小值為（）A．4 B．4.8 C．5 D．6【答案】B【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的長(zhǎng)，可證四邊形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC時(shí)，OP有最小值，由面積法可求解．【詳解】連接OP，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，∴BC＝＝10，∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，∴∠FOE=∠PEO=∠PFO=90°∴四邊形OEPF是矩形，∴FE＝OP，∵當(dāng)OP⊥BC時(shí)，OP有最小值，此時(shí)S△OBC＝OBOC＝BCOP，∴OP＝＝4.8，∴EF的最小值為4.8，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．9．如圖，兩條寬為1的紙帶交叉疊放，則重疊部分的面積（

）A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值 D．有最大值【答案】A【分析】首先過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，由題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，繼而求得AB＝BC的長(zhǎng)，判定四邊形ABCD是菱形，則分析可求得答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，根據(jù)題意得：AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)兩條紙帶的夾角為，在Rt△AEB中，AB＝，在Rt△BFC中，BC＝，∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴S菱形ABCD＝∵隨著的增大而增大，∴當(dāng)＝90°時(shí)，最大＝1，此時(shí)，S菱形ABCD有最小值1，故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，難度適中，注意掌握輔助線的作法是關(guān)鍵．10．如圖，菱形ABCD的的邊長(zhǎng)為6，，對(duì)角線BD上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），若EF=2，則AE+CF的最小值為（

）A． B． C．6 D．8【答案】A【分析】作，使得，連接交于，由四邊形是平行四邊形，推出，推出，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)最短，由四邊形是菱形，在中，根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，作，使得，連接交于，，，四邊形是平行四邊形，，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)最短，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，在中，的最小值為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決．11．如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)G，再連接BG，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于H，運(yùn)用勾股定理求得BH和GH的長(zhǎng)，最后在Rt△BHG中，運(yùn)用勾股定理求得BG的長(zhǎng)，即為PE+PF的最小值．【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)G，連接PG、PE，則PE=PG，CE=CG=2，連接BG，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于H，則∠BCH=∠CBH=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∴Rt△BHC中，BH=CH=，∴HG=HC-GC=3-2=1，∴Rt△BHG中，BG=，∵當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，PE+PF=PG+PB=BG（最短），∴PE+PF的最小值是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題以最短距離問(wèn)題為背景，主要考查了菱形的性質(zhì)與軸對(duì)稱的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，一般情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．注意：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．12．如圖，將兩張長(zhǎng)為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個(gè)菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的周長(zhǎng)有最小值8，那么菱形周長(zhǎng)的最大值是(

)A．17 B．16 C． D．【答案】A【分析】畫出圖形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)勾股定理求出周長(zhǎng)即可．【詳解】解：當(dāng)兩張紙條如圖所示放置時(shí)，菱形周長(zhǎng)最大，設(shè)這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△ABC中，由勾股定理：x2＝（8?x）2＋22，解得：x＝，∴4x＝17，即菱形的最大周長(zhǎng)為17．故選：A．【點(diǎn)睛】考查了菱形的性質(zhì)，本題的解答關(guān)鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的周長(zhǎng)最大，然后根據(jù)圖形列方程．13．如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為8，寬為4的全等矩形疊合而得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD面積的最大值是(

)A．15 B．16 C．19 D．20【答案】D【分析】首先根據(jù)圖1，證明四邊形ABCD是菱形；然后判斷出菱形的一條對(duì)角線為矩形的對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，如圖2，設(shè)AB＝BC＝x，則BE＝8?x，利用勾股定理求出x的值，即可求出四邊形ABCD面積的最大值是多少．【詳解】如圖1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩個(gè)矩形的寬都是4，∴AE＝AF＝4，∵S四邊形ABCD＝AE?BC＝AF?CD，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形．如圖2，當(dāng)菱形的一條對(duì)角線為矩形的對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，設(shè)AB＝BC＝x，則BE＝8?x，∵BC2＝BE2＋CE2，∴x2＝（8?x）2＋42，解得x＝5，∴四邊形ABCD面積的最大值是：5×4＝20．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．14．如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交射線AD于點(diǎn)Q，連接CP，CQ，則△CPQ面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)菱形的高為h，解直角三角形求得h＝，設(shè)AP＝x，則PB＝1﹣x，AQ＝2x，PQ＝x，DQ＝1﹣2x，然后根據(jù)S△CPQ＝S菱形ABCD﹣S△PBC﹣S△PAQ﹣S△CDQ表示出△APQ的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：設(shè)菱形的高為h，∵在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，∴h＝，若設(shè)AP＝x，則PB＝1﹣x，∵PQ⊥AB，AQ＝2x，PQ＝x，∴DQ＝1﹣2x，∴S△CPQ＝S菱形ABCD﹣S△PBC﹣S△PAQ﹣S△CDQ＝1×﹣（1﹣x）?﹣x?x﹣（1﹣2x）?＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴△CPQ面積有最大值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)菱形的綜合考查，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理和二次函數(shù)的運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵.15．如圖，已知菱形，，，為中點(diǎn)，為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值等于（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】在菱形ABCD中，B與D關(guān)于AC對(duì)稱，連接BE，BE即為PE＋PD的最小值，通過(guò)證明△ABD是等邊三角形，得到BE⊥AD，然后在Rt△ABE中利用勾股定理即可求解.【詳解】解：在菱形ABCD中，B與D關(guān)于AC對(duì)稱，連接BE，BE即為PE＋PD的最小值，∵AB＝AD＝4，∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝2，BE⊥AD，∴BE＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及利用軸對(duì)稱求最短距離，通過(guò)菱形的軸對(duì)稱性確定BE為PE＋PD的最小值是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在菱形中，，E為BC邊的中點(diǎn)，M為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則下列線段的長(zhǎng)等于最小值的是（

）A．AD B．AE C．BD D．BE【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)M作PM⊥CB于P，根據(jù)菱形和直角三角形的性質(zhì)可得PM=，從而可得=AM+PM，根據(jù)垂線段最短可知，AM+PM的最小值為AE的長(zhǎng)；【詳解】過(guò)點(diǎn)M作PM⊥CB于P，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠PBM=∠ABC=30°，AB=BC∴PM=BM，∴=AM+PM，∵AB=BC,∴是等邊三角形∵E為BC邊的中點(diǎn)，∴AE⊥BC；根據(jù)垂線段最短可知，AM+PM的最小值為AE的長(zhǎng)，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．17．如圖，正的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)的直線，且與關(guān)于直線對(duì)稱，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】連接CC'，根據(jù)△ABC、△A'BC'均為正三角形即可得出四邊形A'BCC'為菱形，進(jìn)而得出點(diǎn)C關(guān)于BC'對(duì)稱的點(diǎn)是A'，以此確定當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，AD＋CD的值最小，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論【詳解】解：連接CC'，如圖所示：∵△ABC、△A'BC'均為正三角形，∴∠ABC＝∠A'＝60°，A'B＝BC＝A'C'，∴A'C'∥BC，∴四邊形A'BCC'為菱形，∴點(diǎn)C關(guān)于BC'對(duì)稱的點(diǎn)是A'，∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，AD＋CD取最小值，此時(shí)AD＋CD＝2＋2＝4．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱中的最短線路問(wèn)題以及等邊三角形的性質(zhì)和菱形的判定，找出點(diǎn)C關(guān)于BC'對(duì)稱的點(diǎn)是A'是解題的關(guān)鍵．18．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，點(diǎn)D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，四邊形AEGF是平行四邊形，則四邊形AEGF面積的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)稱的性質(zhì)和菱形的定義證出四邊形AEGF是菱形，得出∠EAF=2∠BAC=120°，當(dāng)AD⊥BC最小時(shí)，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面積最小，求出AD=，即可得出四邊形AEGF的面積的最小值．【詳解】由對(duì)稱的性質(zhì)得：AE=AD=AF，∵四邊形AEGF是平行四邊形，∴四邊形AEGF是菱形，∴∠EAF=2∠BAC=120°，當(dāng)AD⊥BC最小時(shí)，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面積最小，∵∠ABC=45°，AB=2，∴AD=，∴四邊形AEGF的面積的最小值=．故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，AC＋BD＝12，則四邊形ABCD的面積最大值是（

）A．12 B．18 C．24 D．36【答案】B【分析】設(shè)AC=x，則BD=12-x，根據(jù)題意表示出四邊形ABCD的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】解：設(shè)AC=x，則BD=12?x，則四邊形ABCD的面積=AC×BD=×x×(12?x)=?x2+6x=?(x?6)2+18，∴當(dāng)x=6時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，最大值是18，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的面積計(jì)算，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、四邊形的面積公式是解題的關(guān)鍵．20．如圖，菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在邊AB上，且AM=4，則點(diǎn)P到點(diǎn)M與到邊AB的距離之和的最小值是(

)A．4 B． C． D．【答案】B【詳解】試題解析：作M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，則M′在AD上,且AM′=AM=4，過(guò)M′作M′N⊥AB交AC于P，則此時(shí),點(diǎn)P到點(diǎn)M與到邊AB的距離之和的最小,且等于M′N，∴△AMM′是等邊三角形，即點(diǎn)P到點(diǎn)M與到邊AB的距離之和的最小值是故選B.21．如圖，OM＝2，MN＝6，A為射線ON上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)A為一邊作內(nèi)角∠OAB＝120°的菱形OABC，則BM＋BN的最小值為（）A． B．6 C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，連接OB，OB1，∵菱形OABC，∠OAB=120°，∴∠OBA=30°，同理可證，∠OB1A1=30°，在四邊形BAA1B1中，∠ABB1=360°－60°－30°－120°=150°，∴∠OBA+∠ABB1=180°，∴O、B、B1三點(diǎn)共線，∴要求BM+BM最小，即要在射線OB1上找一點(diǎn)B使得B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的距離之和最小，如圖，作點(diǎn)N關(guān)于射線OD的對(duì)稱點(diǎn)N＇,連接MN＇交射線OD于點(diǎn)B，此時(shí)BM+BN最小，作MC⊥NN＇交NN＇于點(diǎn)C，∵OA⊥NN＇，∴MC∥OA，∴∠O=∠CMN=30°，∵OM=2，MN=6，∴ON=8，∴AN=AN＇=4，CN=3，∴MC=3，AC=1，∴CN＇=5，∴BM+BN=BM+BN＇=MN＇,（MN＇）2=（MC）2+（CN＇）2=27+25=52，∴MN＇=2．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查求線段之和最小，可以往“將軍飲馬”問(wèn)題上考慮，先找出使距離之和最小的點(diǎn)的位置，要求線段之和一般作垂線，借助勾股定理來(lái)求．22．如圖菱形ABCD的對(duì)角線AC=6，BD=8，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F、P為BC、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值為（

）．A．5 B．4.8 C．4.5 D．4【答案】B【詳解】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出其邊長(zhǎng)，再作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，過(guò)E′作AD的垂線交BC于點(diǎn)F′，連接E′F′，則E′F′的長(zhǎng)度即為PE+PF的最小值，最后根據(jù)菱形的面積求出E′F的長(zhǎng)度即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC=6，BD=8，∴AD==5，作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，過(guò)E′作AD的垂線交BC于點(diǎn)F′，連接E′F′，則E′F′的長(zhǎng)度即為PE+PF的最小值，∵∴即故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查菱形的性質(zhì)及最短路徑.解題的關(guān)鍵在于要利用菱形的軸對(duì)稱的特性將點(diǎn)E從AB邊變換到AD邊上，再根據(jù)平行線間的距離最短即可得到PE+PF的最小值.23．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．2+2【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′Q與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K，然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知P′Q⊥CD時(shí)，PK+QK的最小值，然后求解即可．解：作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵AB=4，∠A=120°，∴點(diǎn)P′到CD的距離為4×=2，∴PK+QK的最小值為2，故選B．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；菱形的性質(zhì)．第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明二、填空題(共0分)24．如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)M為邊中點(diǎn)，點(diǎn)E為菱形四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿的方向運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊作直角三角形，其中，，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最大值為______．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)E在菱形的邊、、、的運(yùn)動(dòng)，可確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑，即可求得的最大值．【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，則點(diǎn)F在射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，則點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，且；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，則點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，且；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，，則點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，且，；所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)菱形，其邊長(zhǎng)為4，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F與點(diǎn)重合時(shí)，最長(zhǎng)；連結(jié)；∵在菱形ABCD中，，，點(diǎn)M為邊中點(diǎn)，∴，，∴，由勾股定理得：，∴在中，；所以線段長(zhǎng)度的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．25．兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)距離之和的最小值是__________．【答案】【分析】由題意易得四邊形是菱形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，易得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，，進(jìn)而可得，要使為最小，即的值為最小，則可過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，最后根據(jù)“胡不歸”問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵紙條的對(duì)邊平行，即，∴四邊形是平行四邊形，∵兩張紙條的寬度都為，∴，∴，∴四邊形是菱形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，如圖所示：∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖所示：∴，要使的值為最小，則需滿足為最小，根據(jù)三角不等關(guān)系可得：，所以當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小，即為BM的長(zhǎng)，如圖所示：∴，∴，∴的最小值為，即的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．26．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，，對(duì)角線BD上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），若，則的最小值為________．【答案】【分析】作AM⊥AC，連接CM交BD于F，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．【詳解】如圖，連接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，連接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∴BD⊥AC，∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，∵AM＝EF，AM∥EF，∴四邊形AEFM是平行四邊形，∴AE＝FM，∴AE＋CF＝FM＋FC＝CM，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)AE＋FC最短，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝6，在Rt△CAM中，CM＝∴AE＋CF的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，屬于中考填空題中的壓軸題．27．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＋AF＝a，則線段EF的最小值為_____．【答案】【詳解】解：連接AC、CE、CF，如圖所示：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠B＝60°，∴△ABC、△CAD都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°，∵AE＋AF＝a，∴AE＝a－AF＝AD－AF＝DE，在△ACE和△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴∠ACE＝∠DCF，∴∠ACE＋∠ACF＝∠DCF＋∠ACF，∴∠ECF＝∠ACD＝60°，∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B或點(diǎn)A時(shí)，CE的最大值為a，當(dāng)CE⊥AB，即E為BD的中點(diǎn)時(shí)，CE的最小值為a，∵EF＝CE，∴EF的最小值為a．故答案為：．28．如圖所示，四邊形中，于點(diǎn)，，，的面積為12，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．連接，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值是______．【答案】7.8【分析】證四邊形ABCD是菱形，得CD=AD=5，連接PD，由三角形面積關(guān)系求出PM+PN=4.8，得當(dāng)PB最短時(shí)，PM+PN+PB有最小值，則當(dāng)BP⊥AC時(shí)，PB最短，即可得出答案．【詳解】解：∵AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，∴四邊形A