正方形綜合練習(xí)2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)

正方形綜合2023九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)

1.（2021春?香坊區(qū)校級(jí)期中）己知應(yīng)）為正方形438的對(duì)角線，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，連接隹,

BE,CE,若AEJLCE,BE與AD交于點(diǎn)、F,CE與AO、8。分別交于點(diǎn)G、H.

(1)如圖1,求證：ZAEB=45°;

(2)如圖2,求證：AE+CE=^BE；

(3)如圖3,連接DE,若DG=2FG,SMBE=30,求C”的長(zhǎng).

圖1

2.(2022秋?樂(lè)東縣期末)如圖1,在正方形438中，45=4,點(diǎn)P是射線BC上一點(diǎn)，連接R4,PD.

(1)當(dāng)點(diǎn)P是邊3c的中點(diǎn)時(shí)，求證：&ABP三XDCP;

(2)如圖2,點(diǎn)E,F,G,”分別是4),DC,CP,總的中點(diǎn)，依次連接EF,FG.GH,HE.

①請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由;

FQ,當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的長(zhǎng).

②若點(diǎn)Q是叨的中點(diǎn)，連接EQ,AEQkg3P

圖1圖2釜用圖

3.（2022秋?衛(wèi)輝市期末）【觀察猜想】（1）我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直角.如圖1,

在正方形ABCD中，點(diǎn)￡,F分別在邊3C,CD上,連接AE,AF,EF,并延長(zhǎng)到點(diǎn)G,使=

連接AG.若NE4F=45。，則BE,EF,。江之間的數(shù)量關(guān)系為；

【類(lèi)比探究】（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段8c的延長(zhǎng)線上，且NE4尸=45。時(shí)，試探究BE,EF,之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,在RtAABC中，AB=AC,D,￡在8c上，ZDAE=45°,若AABC的面積為

12,BDCE=4,請(qǐng)直接寫(xiě)出AM坦的面積.

4.(2022秋?大東區(qū)期末)如圖1,已知正方形CEFG的邊CG在正方形鉆8的邊CD上，連接3G,DE.

(1)求證：ABCG三ADCE；

(2)將正方形CEFG繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使邊FG經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，如圖2,連接和8G,寫(xiě)出BG與

DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，連接BE,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,正方形CEFG的邊長(zhǎng)為4,直接寫(xiě)出。G?+BE?

的值.

圖2

5.(2022秋?海門(mén)市期末)如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=a(4>4),點(diǎn)E在邊BC上，在AB同側(cè)以

AE為邊作正方形AEFG,直線FG交直線A。于點(diǎn)H.

(1)如圖①，若點(diǎn)尸是CO的中點(diǎn)，求a的值；

(2)如圖②，若點(diǎn)尸在矩形ABCO內(nèi)，且G”：FH=3：1,求8E的長(zhǎng);

6.(2021春?興寧區(qū)校級(jí)期中)點(diǎn)E為正方形AB8邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)G為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，連接AE,

過(guò)點(diǎn)E作AfjLEb,且AE=￡F,連接CF.

(1)如圖，求證：ZFCG=45°:

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH//EF交AB于點(diǎn)、H,連接HE,求證：AH2+BH2=HE2；

(3)如圖，連接AT、DF,若所交CZT于點(diǎn)M,DM=2,BH=3,求。尸的長(zhǎng).

AD

ADf\3^1AD

7.(2021春?平山縣期中)如圖，正方形43CO的邊04、0C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)3坐標(biāo)為(6,6),將正方形OC54

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度一個(gè)銳角度數(shù)a,得到正方形DCFE,功交線段相與點(diǎn)G,ED的延長(zhǎng)線交線段

OA于點(diǎn)”，連CH、CG.

(1)求證：ACBG=ACDG；

(2)認(rèn)真探究，求出4CG的度數(shù)；猜想HG、OH、8G之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出理由.

(3)連接比＞、DA,AE,￡?得到四邊形向3,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中四邊形碼。能否為矩形？如果能，請(qǐng)

求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.(2023?昆明一模)已知四邊形ABC￡>是正方形.

(1)如圖1所示，點(diǎn)O是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，連接03,OC,若AB=4,求OB的長(zhǎng).

(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)O是3C上一點(diǎn)，OCLBC,連接8C',C'￡>,點(diǎn)M是C'。的中點(diǎn)，連接,CM,

求證：CM=OM.

圖2

9.(2022秋?南川區(qū)期末)如圖1,在正方形ABC。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為線段80上一

點(diǎn)，連接CE,將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至I」CF,連接EF交CD于點(diǎn)G.

(1)若4B=8,BE=2近,求△(?￡下的面積.

(2)如圖2,線段FE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)求證：BH+MG=—BE；

2

(3)如圖3,點(diǎn)E為射線。。上一點(diǎn)，線段FE的延長(zhǎng)線交直線CQ于點(diǎn)G,交直線A8于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)產(chǎn)

10.(2022?杭州模擬)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形04BC的點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸的正

半軸上，點(diǎn)8(6,6)在第一象限，AP平分由交03于P.

(1)求NOPA的度數(shù)和OP的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)尸不動(dòng)，將正方形。4BC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置.ZC(?P=60°,AP交08于點(diǎn)尸，連接

CF.求證：OF+CF=PFi

(3)如圖3,在(2)的條件下，正方形的邊回交x軸于點(diǎn)￡＞、OE平分NBOD,M,N是OB、OE上

的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出8N+M/V的最小值.

答案版:

1.

【解答】(1)證明：如圖1,作研，CE于點(diǎn)P,交￡4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

/.ZA/=ZBPC=90°,

AEA.CE,

ABPE=ZM=ZAEP=90°，

/.四邊形MBPE是矩形，

:.ZMBP=90。,

四邊形ABCD是正方形，

:.AB=CB,ZABC=ZADC=90°,

.?.ZMBA=ZPBC=90°-ZABP，

在AAB"和ACBP中，

NM=NBPC

<NMBA=APBC,

AB=CB

^ACBP(AAS)f

:.MB=PB,

四邊形MBPS是正方形，

.\ZAEB=ZMBE=45°.

(2)證明：如圖1,N\BM=\CBP,

AM=CP,

四邊形MRPE是正方形，

:.ME=PE=BP,

;.AE+CE=ME-AM+PE+CP=PE-CP+PE+CP=2PE,

PE?+BP2=BE?,

2PE2=BE2,

:.4PE2=2BE2,

:.2PE=y/2BEf

:.AE+CE=6BE.

(3)解：如圖2,連接AC,作G/工BE于點(diǎn)I,GJ上DE于點(diǎn)、J,

AD=CD,ZADC=90°,

.?.ZmC=ZDC4=45°,

.ZAEG=/CDG,ZAGE=NCGD,

:2GEskCGD,

EGAG

---=---,

DGCG

EGDG

..---=---,

AGCG

ZEGD=ZAGC,

/.AEGE^AAGC,

.?.ZDEG=ZC4G=45°，

..NDEG=NFEG=45。,

:.GI=GJ,

DG=2FG,

??SADEG=2SAFEG，

/.-EDGJ=2x-EFGI，

22

:.ED=2EF,

ZBAF=ZDEF=90。,ZAFB=ZEFD,

/SAFB^AEFD，

,AB_AF

~ED~~EF'

ABEDc

二.——=——=2,

AFEF

:.AB=2AF,

作AQ_L3￡于點(diǎn)Q,則NAQE=90。，

ZQAE=ZQEA=45°,

：.QE=QAf

ABQA=ABAF=9GP,ZQBA=ZABF,

/.NBQA^^BAF,

.QB_QA

…AB~AF"

2=空=2,

QAAF'

QB=2QA，

:.BE=3QA,

gx3QA-QA=SMBf：=30，

QA=245,QB=46，

/.BC=DC=AD=AB=《QA。+QB?=J(26，+(4右1=10,

：.DF=AF=-AB=5,

2

:.DG=-DF=-x5=—,

333

:.CG=VOC2+DG2=^102+(y)2=,

DG//BC,

..XJGHsgCH,

10

.GHDG31

…C77-BC-To_3J

「u3”310而5710

4432

.?.c〃的長(zhǎng)是亞.

A17\、D

wB

圖1

2.

【解答】(1)證明：如圖1,四邊形/WCD是正方形，

:.AB=DC,ZB=ZC=90°,

，點(diǎn)戶(hù)是邊8c的中點(diǎn)，

:.BP=CP,

在AABP和ADCP中，

AB=DC

<NB=NC,

BP=CP

:.AABP=ADCP(SAS).

(2)解：①四邊形￡FG”是平行四邊形，理由如下，

如圖2,點(diǎn)P在邊上，如圖3,點(diǎn)P在邊3C的延長(zhǎng)線上，連接AC,

.?點(diǎn)、E,F,G,”分別是AD,DC,CP,R4的中點(diǎn)，

.\EF//AC,EF=-AC,HG//AC,HG=-AC,

22

:.EF//HG,EF=HG,

/.四邊形EFGH是平行四邊形.

②如圖2、圖3,作用上BP于點(diǎn)I,連接5H,

BH=PH=AH=LAB,

2

：.PI=BI,

CB=AB=4,

:.Hl=-AB=2,

2

,點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，

:.EQ=^AP=HP,FQ=；CP=GP,

:.莊QF=M~1PG(SSS),

9

*，,S&EQF=SMIPG=2

：.-x2PG=-,

22

二.PG=-f

:.PC=2PG=2x-=\，

2

當(dāng)點(diǎn)P在邊3c上，如圖2,則成=3C—PC=4—1=3；

當(dāng)點(diǎn)P在邊8C的延長(zhǎng)線上，如圖3,則族=BC+PC=4+1=5,

綜上所述，族的長(zhǎng)為3或5.

3.

【解答】解：【觀察猜想】(1)四邊形/WCD為正方形,

:.AD=AB,ZABG=ZADF=90°,

BG=DF,

MDF=^ABG(SAS)，

:.AF=AG,ZDAF=ZBAG,

四邊形/WC￡>為正方形，

.\ZBAD=90°,

ZE4F=45°，

.?.Za4E+ZZMF=45°,

ZBAG+ZBAE=45°=/LEAF,

.\ZGAE=AEAF=45°,

在AAGE和AA/芯中，

AG=AF

<ZGAE=NEAF,

AE=AE

MGE=AAFE(SAS),

:.GE=EF,

GE=GB+BE=BE+DF,

：.EF=BE+DF.

故答案為：EF=BE+DF；

【類(lèi)比探究】(2)EF=BE—DF,理由如下：

如圖2,在3。上截取3G=OF,連接AG.

四邊形ABCD為正方形,

:.AD=AB9ZABG=ZADF=9Q°,

BG=DF,

:./>ADF=AABG(SAS)f

AF=AG,ZDAF=ZBAG,

四邊形ABC。為正方形，

:.ZBAD=90°,

ZE4F=45°,

ND4E+NZM/=45°,

/.ZBAG+Z+ZZMF=45°,

.-.ZG4E=ZE4F=45°,

在AAGE和AAFE1中，

AG=AF

<ZGAE=NEAF,

AE=AE

.-.AAGE=AAFE(SAS),

:.GE=EFf

.GE=BE-BG=BE-DF,

：.EF=BE-DF；

【拓展應(yīng)用】(3)如圖3,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A4CG,連接EG,此時(shí)A3與AC重合,

.\AD=AG,BD=CG,ZZMG=90。，

ZZME=45°,

ZGAE=ZDAE=45°,

AE=AE>

:.MDE^^AGE(SAS),

***SgDE=SgGE'

在RtAABC中，AB=AC,

/.ZB=ZACB=45°,

由旋轉(zhuǎn)得ZB=ZACG=45°,

/.NECG=ZACB+ZACG=90°,

.?.AECG是直角三角形，

?"S.CG=38口，CE，

BDCE=4,

S*￡CG=2'

AABC的面積為12,

^AADE=^AAGE=~X(12—2)=5.

圖2

4.

【解答】(1)證明：如圖1,

四邊形CEFG和四邊形是正方形，

BC=CD,CG=CE,ZBCD=NGCE=90。,

:.\BCG=ADCE(SAS)；

(2)解：BGVDE,理由如下：

如圖，延長(zhǎng)8G,ED交于點(diǎn)、H,

四邊形CEFG和四邊形ABC。是正方形,

:.BC=CD,CG=CE,ZBCD=ZGCE=90°,

:.ZBCG=ADCE,

:.ABCG=ADCE(SAS),

:.NBGC=NDEC,

ZBGC+ZHGC=180°,

.\ZHGC+ZDEC=180°,

ZGHE+ZGCE=180°,

.-.ZGHE=90°,

:.BG±DE；

(3)解：連接加，GE,

正方形A8C￡）的邊長(zhǎng)為5,正方形CE/，G的邊長(zhǎng)為4,

:.BD=542,GE=4夜,

BH2+DH2=BD2,GH2+HE2=GE2,GH2+HD2=DG2,BH2+HE2=BE2,

DG2+BE2=BD2+GE2=50+32=82.

圖2圖2

5.

【解答】解:（1）如圖①,

二?四邊形ABCD是矩形，AB=4,

.??ZB=ZC=90",CD=AB=4,

:點(diǎn)尸是C。的中點(diǎn)，

：.CF=^CD=2,

2

???四邊形AEFG是正方形，

/.ZAEF=90°,AE=EF,

：.ZAEB+ZCEF=NAEB+NA4E=90°,

:?NBAE=/CEF,

.?.△ABE//\ECF(A4S),

：.AB=EC=4,BE=CF=2,

：.BC=BE+EC=6,

即。的值為6；

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)尸作bM_LA。于M,交BC于K,過(guò)點(diǎn)G作GMLAD于N,

NEKF=/ANG=NB=90°,

???四邊形A8CD是矩形，A8=4,

：,ZB=ZBAD=90°,

???四邊形A8KM是矩形，

：.KM=AB=4,

???四邊形AEFG是正方形，

AZEAG=ZAEF=ZAGF=90°,AG=AE=EF,

：.ZGAN+ZDAE=ZBAE+ZDAE=90°,

ZAEB+ZCEF=ZAEB+ZBAE=90°,

???NBAE=NCEF=/GAN,

■:NANG=NB=/EKF=90°,

：?4ABEQXEKF@4ANG(44S),

工AB=EK=AN=4,BE=KF=NG,

VFM1AD,GNA.AD,

:?GN〃FM,

:AGNHs^FMH,

：.GN：FM=GH：FH=3：1,

:.GN=FK=3FM,

：.KM=KF'+FM=4FM=4f

：.FM=1,

:.BE=KF=3；

(3)①當(dāng)點(diǎn)尸在矩形ABC。內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作于M,交8C于K,過(guò)點(diǎn)G作GNLAO于N,

：.NEKF=NANG=NB=90°,

；四邊形ABC。是矩形，AB=4,

：.ZB=ZBAD=ZC=ZA￡)C=90°,

四邊形A8KM是矩形，

：.KM=AB=4,

?.?四邊形4EFG是正方形，

AZEAG=ZAEF=ZAGF=90°,AG=AE=EF,

：.ZGAN+ZDAE^ZBAE+ZDAE=90°,

ZAEB+ZCEF=^AEB+ZBAE=90°,

二ZBAE=NCEF=NGAN,

■:NANG=NB=NEKF=94°,

/\ABE^AEKF^/\ANG(AAS),

：.AB=EK=AN=4,BE=KF=NG,

設(shè)FM=x,則BE=KF=NG=4-x,

'：BC=a=S,

:.CK=8-BE-EK=8-(4-x)-4=x,

'JFM1.AD,

...NOMK=NC=NAOC=90°,

二四邊形CCMK是矩形，

:.DM=CK=x,

：.DM=FM,

"：DF=2,

:.DM=FM=版,

：.BE=KF=NG=4-&,

"：FMLAD,,GNLAD,

：.GN//FM,

.?.△GN，s△bMH,

：.GH：FH=GN：FM—4-V2—2^2-1:

V2

②當(dāng)點(diǎn)尸在矩形ABC。外時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作產(chǎn)于M,交于K,過(guò)點(diǎn)G作GN_LAD于M

A/XABE^AEKF^/\ANG(A4S),

:.AB=EK=AN=4,BE=KF=NG,

設(shè)尸M=x,則8E=Kb=NG=4+x,

VBC=a=8,

：.CK=BE+EK-BC=4+x+4-8=x,

???/DMC=/CCK=NMOC=90°,

???四邊形CDMK是矩形，

：.DM=CK=xf

:?DM=FM,

VDF=2,

:.DM=FM=?,

：.BE=KF=NG=4+版,

VFM1AD,,GNLAD,

:?GN〃FM,

:.AGNHs4FMH,

：.GH：FH=GN：FM=史亞=2&+l.

V2

綜上，GH-.FH的值為2&-1或2&+1.

G.

圖④

6.

【解答】(1)證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)/作FK_LCG于點(diǎn)K,

；4=ZAEF=/FKE=90。,

：.ZBAE+ZAEB=ZAEB+^LFEK=90°，

:.ZBAE=ZFEK,

AE=EF,

:.MBE=AEKF(AAS),

:.BE=FK,AB=EK=BC,

:.BE=CK9

1.CK=FK,

.\ZFC7C=45°;

(2)證明：DH//EF,AEVEF,

:.DH±AEf

ZHAE+ZDAE=ADAE+ZADH,

:.ZBAE=ZADH,

/DAH=NB=90。,AD=AB,

:.^ABE=ADAH(ASA),

：.AH=BE,

BH2+BE2=EH2,

AH?+BH?=HE?；

(3)解：如圖3,作AO_LAM交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,連接EM,

ZOAM=ZBAD=90°,

:.ZOAB=ZDAM，

ZABO=ZADM=9^°AB=AD,

:.MBO=^ADM(ASA)f

：.AO=AM，

NA所=90。，AE=EF,

.?.A位是等腰直角三角形，

.-.ZE4M=45°,

:.ZDAM+ZBAE=45°f

.\ZOAB^-ZBAE=45°,

/.ZOAE=ZMAEt

AO=AM，AE=AE，

:.\OAE=\MAE{SAS),

:.OE=EM,

由(2)知AABE二拉卻7,

:.AH=BE,DH=AE,

AE=EF,

:.DH=EF,

DH//EF，

平行四邊形"EFD，

：.DF=HE,

設(shè)A〃=8E=x,OE=EM=2+x,CM=x+\,

在RtACME中，EM2=CE2+CM2,

.-.(2+X)2=32+U+1)2,

解得x=3,

:.AH=BE=3,

HE=yjBH2+BE2=3五,

:.DF=HE=3y/2.

圖1圖3

7.

【解答】(1)證明：四邊形OCHA是正方形，

.-.ZCBG=90°,CB=OC,

旋轉(zhuǎn)正方形OCBA到正方形CDEF,

/.ZCDG=90°,CD=OC,

;.CD=BC,NCDG=/CBG=9Q。,NCD4=90。,

在RtACBG和RtACDG中，

jCG=CG

\CB=CD'

/.RtACBG=RtACDG(HL)；

(2)解：N〃CG=45。時(shí)，HG=BG+OH,

理由是：ZCOH=ZCDH=90°,

在RtACOH和RtACDH中，

jCH=CH

[CO=CD'

..RtACOH=RtACDH(HL)；

:.OH=HD,/OCH=ZDOH,

RtACBG3RtACDG,

:.BG=DG,ZBCG=ZDCG,

:.HG=HD+DG=BG+OH,AHCG=-ZOCB=1x90°=45°;

22

(3)解：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中四邊形岫。能為矩形,

四邊形OCB4是正方形，3(6,6),

:.ZBAO=90°,AB=OA=6,

四邊形隹或＞是矩形，

.-.DE=AB=6,BG=AG=3,

:.[X)=GE=AG=3,

設(shè)貝=

在用GA"中，由勾股定理得：AG2+AH'=HG2,

即(6-X)2+32=(3+X)2,

解得：x=2,

的坐標(biāo)是(2,0).

8.

【解答】(1)解點(diǎn)O是正方形4JCQ對(duì)角線的交點(diǎn),

二.AO3C是以BC為斜邊的等腰直角三角形，

:.OB2+OC2=BC2.

AB=4,

;.BC=4,

OB=OC,BP2OB2=16

解得：OB=2＞72.

(2)證明：如圖，延長(zhǎng)OM交C￡＞于點(diǎn)N,

M是(7￡)的中點(diǎn)，

DM=CM.

四邊形是正方形，

:.CD±BC.

OC'±BC,

:.OC'I/CD,

：.4OC'M=NNDM,

ZOMC=ZNMD,

在△OMC'和AMWD中，

40cM=4NDM

CM=CM

NOMC=NNMD

:.\OMC二^NMD(ASA),

:.OM=MN,

DCJLBC,

..CM=OM.

【解答】(1)解：在正方形A8c。中，A8=8,

:?A0=C0=0B=4近,

???5E=2&,

：.0E=2點(diǎn),

VAC1BD,

/.ZCOE=90°,

C￡=VOC2-H3E2=V(4V2)2+(2V2)2=，

由旋轉(zhuǎn)得：CE=CF,ZECF=90°,

??.△CEF的面積=*CE2=*X(2V10)2=10；

(2)證明：如圖2,過(guò)E作ENJ_4B于N,作EP_LBC于P,

?；EPLBC,FMLCD,

：.ZEPC=ZFMC=90°,

VZBCD=ZECF=90°,

???/PCE=/MCF,

■:CE=CF,

:.ACPEQACMF(A4S),

:.EP=FM,

VEP1BC,ENLAB,BE平分/ABC,

：.EP=EN,

:?EN=FM,

■:FM1CD,

:?NFMG=NENH=9U°,

?.?A3〃CD,

???/NHE=/MGF,

:ANHE必MGF(44S),

：?NH=MG,

：.BH+MG=BH+NH=BN,

???ABEN是等腰直角三角形，

:?BN=y~^BE,

2_

2_

(3)解：BH-MG=叵BE,理由是：

2

如圖3,過(guò)七作EN_LA3于M交CG于尸,

〈EP-LBC,FMLCD,AB//CD,

J.EPLCD,

：.ZEPC=ZFMC=90°,

VZM