與直線有關的最值問題

精品文檔-下載后可編輯與直線有關的最值問題近年來，高考在綜合考查學生數(shù)學基礎知識和基本方法的同時，重點考查學生正確使用數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想方法解決數(shù)學問題的能力。因而在平時教學中教師應加強學生知識間的縱橫向聯(lián)系和對數(shù)學基本思想方法的滲透及理性思維能力的培養(yǎng)。

直線方程從代數(shù)角度而言是函數(shù)中最簡單的一種形式，也是學習解析幾何的基礎，而均值不等式是求函數(shù)最值的重要工具。下面以直線為背景研究四種最值問題的求解。

例1：過點P（2，1）作直線l與x軸、y軸正半軸交于A，B兩點，求使AOB面積最小時的直線l的方程。

分析1：因為直線l已過定點P（2，1），只缺斜率k，可先設出直線l的點斜式方程，易知k＜0，再用k表示點A，B坐標，結合函數(shù)及不等式知識求解。

解法1：由題知，直線l的斜率存在且為k，則設l的方程為y-1=k（x-2），（k≠0）。

令y=0，得x=2-，即A（2-，0）。

令x=0，得y=1-2k，即B（0，1-2k）。

又直線l與x軸、y軸的交點均在正半軸上，

因而2-＞0，且1-2k＞0，得k＜0。

AOB的面積S=|OA||OB|=（2-）（1-2k）=（4--4k）。

（-）+（-4k）≥4（當且僅當-=-4k，且k＜0，即k=-時取等號），

k=-時S有最小值4，此時直線l的方程為x+2y-4=0。

分析2：題目中涉及直線l與y軸的交點B，則設B（0，b），由B，P兩點可得直線的斜率，可利用直線方程的斜截式求解。

解法2：設B（0，b），由題知l的斜率存在即b≠1，且b＞0，

由斜截式得l方程為y=x+b。

令y=0，得x=，即A（，0）。

l與x軸正半軸交于A得＞0，

又b＞0且b≠1，

b＞1，

AOB的面積S=|OA||OB|=??b==（b-1）++2≥4（當且僅當b-1=，且b＞1，即b=2時取等號）。

此時直線l的方程為x+2y-4=0。

分析3：若想用直線的兩點式求解，需另設一點可能會產(chǎn)生兩個未知量，而題中涉及l(fā)與x軸的交點A，不妨設A點坐標利用兩點式求解。

解法3：設A（a，0），由題知l的斜率存在，即a≠2且a＞0。

那么由兩點式得l方程為=，即y=。

令x=0，得y=，即B（0，）。

l與y軸正半軸交于B得＞0，

又a＞0，且a≠2，

a＞2。

S=|OA||OB|=?a?===［（a-2）++4］≥4（當且僅當a-2=，且a＞2，即a=4時取等號）。

此時直線l的方程為x+2y-4=0。

分析4：由于題中AOB的兩直角邊長就是直線l的縱、橫截距，因此聯(lián)想到可用截距式求解。

解法4：設A（a，0），B（0，b）且a＞0，b＞0，

則直線l的方程為+=1。

直線l過點P（2，1），

+=1。

由均值不等式：1=+≥2（當且僅當==，即a=4，b=2時取等號），

得ab≥8。

AOB的面積S=ab≥4。

此時直線l的方程為+=1，即x+2y-4=0。

點評：以上4種解法各有千秋、異曲同工，但都是運用均值不等式求面積最值，在運用過程中應注意對所設變量范圍的確定及常用變形技巧。此道題綜合性強，方法靈活，為復習課中不可多得的一道題。

例2：過點P（2，1）作直線l與x軸、y軸正半軸交于A，B兩點，若|PA|?|PB|取得最小值時，求直線l的方程。

分析1：已知直線l過定點，可用點斜式求解。

解法1：由題知，直線l的斜率存在且為k（k＜0），則l方程可設為y-1=k（x-2）。

令y=0，得點A（2-，0）。

令x=0，得點B（0，1-2k）。

|PA|?|PB|=?=≥4。（當且僅當k=，且k＜0，即k=-1時取等號）。

直線l方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0。

分析2：如下圖知∠BAO是直線l的傾斜角的補角，要求傾斜角，應先求∠BAO。

解法2：設∠BAO=θ，則|PA|=，|PB|=（0＜θ＜）。

|PA|?|PB|==≥4（當θ=時取等號），

直線l的傾斜角為π-θ=π，即斜率k=tanπ=-1。

直線l方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0。

點評：本題從邊、角兩個角度求解，但方法2抓住斜率的定義通過求傾斜角而獲得，較方法1略勝一籌。

例3：過點P（1，4）作直線與兩坐標軸正半軸相交，當直線在兩坐標軸上的截距之和最小時，求此直線的方程。

分析：直線l過定點P（1，4）可用點斜式求解。題中涉及縱、橫截距之和，故可利用截距式求解。

解法1：由題知，直線l的斜率存在且為k（k≠0），則l方程可設為y-4=k（x-1）。

令y=0，得x=+1＞0。

令x=0，得y=4-k＞0，則k＜0。

（4-k）+（+1）=5+（-k）+（-）≥9（當且僅當-k=-，且k＜0，即k=-2時取等號）。

直線l方程為y-4=-2（x-1），即2x+y-6=0。

解法2：設直線l在x軸、y軸上的截距分別為a，b（a＞0，b＞0），則l方程可設為+=1。

直線l過點P（1，4），

+=1，

a+b=（a+b）（+）=5++≥9（當且僅當=，且+=1，即a=3，b=6時取等號），

直線l方程為+=1，即2x+y-6=0。

點評：解法1屬通常解法，解法2利用1的整體代換簡單快捷，較方法1靈活。

例4：為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內建一個矩形草坪。另外，AEF內部有一文物保護區(qū)不能占用。經(jīng)測量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m。應如何設計才能使草坪面積最大。

分析：如下圖，建立直角坐標系，草坪面積的大小直接由點G決定。因而本題關鍵是確定點G的位置。

解法：以點A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標系。設G（a，b）且a＞0，b＞0。

由題知EF所在的直線方程為+=1，即2x+3y=60。

點G在EF上，故2a+3b=60。

矩形GMCN的面積

S=|GM|?|GN|=（100-a）（80-b）=（200-2a）（240-3b）≤［］=。

（當且僅當200-2a=240-3b，且2a+3b=60，即a=5，b=時取等號）

此時=5，即G（5，）分所成的比為5。

答：當草坪矩形的兩邊在BC，CD上，一個頂點在線段EF上，且分所成的比為5時，草坪面積最大。

點評：本題關鍵是利用坐標法確定點G位置及量化草坪面積進而求最值，在最值求解過程中注意湊定和的變形技巧。

本文以直線為背景，研究了面積，