小波變換壓縮算法解析課件

第6章小波變換壓縮算法

第6章小波變換壓縮算法主要內(nèi)容小波變換用于圖像壓縮的理由傅里葉變換窗口傅里葉變換小波變換的原理小波變換實例小波變換與數(shù)據(jù)壓縮2主要內(nèi)容小波變換用于圖像壓縮的理由2小波變換用于圖像壓縮的理由基于DCT(DiscreteCosineTransform)的壓縮標準JPEGMPEG-1,MPEG-2,H.264DCT壓縮的優(yōu)點簡單、便于硬件實現(xiàn)3小波變換用于圖像壓縮的理由基于DCT(DiscreteC小波變換用于圖像壓縮的理由DCT壓縮的缺點圖像是分塊處理，沿塊的邊界方向相關(guān)性被破壞，出現(xiàn)“blockingartifacts”4小波變換用于圖像壓縮的理由DCT壓縮的缺點4傅里葉變換信號表示多種方式信號的描述:

例如一個函數(shù)表達式，這就是信號的時域表示，傅里葉變換1822年,傅里葉提出頻率的概念:通過傅里葉正變換將信號在頻域分解，獲得信號的頻譜，再通過反變換重建原始信號。頻率仍然是傅里葉變換所定義。5傅里葉變換信號表示5傅里葉變換傅里葉變換的特點具有頻域準確定位，可分析信號能量在各個頻域成分中的分布情況，最常用的、最廣泛的信號分析工具，并且相關(guān)的理論研究已發(fā)展為一個重要的數(shù)學(xué)分支——調(diào)和分析。6傅里葉變換傅里葉變換的特點6傅里葉變換傅里葉變換的不足缺乏時間-頻率的定位功能不適于非平穩(wěn)信號無法根據(jù)信號的特點自動調(diào)節(jié)時域和頻域的分辨率7傅里葉變換的不足成為了推動尋找新變換的動力傅里葉變換傅里葉變換的不足7傅里葉變換的不足成為了推動尋找新窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFouriertransform

）1946年Gabor提出了短時傅里葉變換的概念，從而開始了非平穩(wěn)信號的時頻聯(lián)合分析

8窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFou窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFouriertransform

）

9窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFou窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFouriertransform

）Gabor變換：時窗函數(shù)＝Gauss函數(shù)時時窗函數(shù)的Fourier變換仍然是Gauss函數(shù)，保證了窗口傅立葉變換在頻域內(nèi)也有局域化的功能。10窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFou窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFouriertransform

）時窗（TimeWindow）11窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFou窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFouriertransform

）頻窗（FrequencyWindow）時窗函數(shù)g(t)的傅立葉變換，12窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFou窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFouriertransform

）以上定義知，g(t)和G(ω)分別起著時窗和頻窗的作用，在時間－頻率坐標系中，時窗和頻窗共同作用的結(jié)果就構(gòu)成了時-頻窗，這樣就從幾何上直觀地描述了時頻局部化。13窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFou窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFouriertransform

）盡管窗式傅立葉變換能解決變換函數(shù)的局域化問題，但是，其窗口的大小和形狀是固定的,即窗口面積不變，窗口沒有自適應(yīng)性。對于高頻的信息，時間間隔要相對的小，更好地確定峰值和斷點，或者說需要用較窄的時域窗來反映信息的高頻成分。對于低頻譜的信息，時間間隔要相對的寬才能給出完整的信號信息，或者說必須用較寬的時域窗來反映信息的低頻成分。14窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換（shorttimeFou小波變換原理小波變換的（wavelettransform

）發(fā)展20世紀80年代后期發(fā)展起來的小波變換理論它是繼傅里葉(JosephFourier)分析后信號處理與分析的強大工具無論是對古老的自然學(xué)科還是對新興的高新技術(shù)應(yīng)用學(xué)科都產(chǎn)生了強烈沖擊。小波理論是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個新領(lǐng)域。要深入理解小波理論需要用到比較多的數(shù)學(xué)知識。從工程應(yīng)用角度出發(fā)，直觀的方法來介紹小波變換及其應(yīng)用，為讀者深入研究小波理論和應(yīng)用提供一些背景材料15小波變換原理小波變換的（wavelettransfor小波變換原理小波變換的（wavelettransform

）發(fā)展哈爾(AlfredHaar)對在函數(shù)空間中尋找一個與傅里葉類似的基非常感興趣。1909年他發(fā)現(xiàn)了小波，1910年被命名為Haarwavelets最早發(fā)現(xiàn)和使用了小波的名稱16小波變換原理小波變換的（wavelettransfor小波變換原理小波變換的（wavelettransform

）發(fā)展20世紀70年代，當時在法國石油公司工作的年輕的地球物理學(xué)家JeanMorlet提出了小波變換CWT(continuouswavelettransform)的概念。法國科學(xué)家Y.Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，用縮放(dilations)與平移(translations)均為2的j次冪的倍數(shù)構(gòu)造了平方可積的實空間L2(R)的規(guī)范正交基，使小波得到真正的發(fā)展.S.Mallat于1988年在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨率分析(multiresolutionanalysis)的概念,從空間上形象地說明了小波的多分辨率的特性,提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，叫做Mallat算法。Mallat算法地位相當于快速傅里葉變換在傅里葉分析中的地位。17小波變換原理小波變換的（wavelettransfor小波變換原理小波變換的（wavelettransform

）發(fā)展1988年InridDaubechies最先揭示了小波變換和濾波器組(filterbanks)之間的內(nèi)在關(guān)系20世紀90年代中期，Sweldens提出了小波變換提升方案---

第二代小波變換，用于JPEG2000小波在信號(如聲音信號，圖像信號等)處理中得到極其廣泛的應(yīng)用。18小波變換原理小波變換的（wavelettransfor小波變換原理小波變換的（wavelettransform

）發(fā)展小波變換具有在不同尺度下保持時頻分析窗口面積不變性質(zhì)自動調(diào)節(jié)對信號分析的時寬和帶寬被譽為信號分析的顯微鏡19小波變換原理小波變換的（wavelettransfor小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswavelettransform

）小波（Wavelet(Asmallwave,aripple)就是小的波形，所謂小，就是它具有衰減性，是存在于一個較小區(qū)域的波。20小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswave小波變換原理連續(xù)小波變換變換（continuouswavelettransform

）小波基函數(shù)21小波變換原理連續(xù)小波變換變換（continuouswa小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswavelettransform

）小波正變換小波反變換22標注:a=scalevariable－縮放因子b=timeshift－時間平移在CWT中，縮放和平移是連續(xù)變化的小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswave小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswavelettransform

）函數(shù)的伸縮23小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswave小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswavelettransform

）小波函數(shù)的伸縮24小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswave小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswavelettransform

）25時窗中心：小波的時窗中心是其母函數(shù)的時窗中心乘倍再平移個單位小波的時窗寬度是其母函數(shù)的時窗寬度的倍。小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswave小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswavelettransform

）小波的頻窗中心是其母函數(shù)的頻窗中心的倍小波的頻窗寬度是其母函數(shù)的頻窗寬度的倍26小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswave小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswavelettransform

）用較小對信號做高頻分析時，實際是用高頻小波對信號進行細致觀察用較大對信號做低頻分析時，實際是用低頻小波對信號進行概貌觀察27小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswave小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswavelettransform

）部分小波波形28小波變換原理連續(xù)小波變換（continuouswave小波變換原理子帶編碼SBC

(subbandcoding)：把信號的頻率分成幾個子帶，然后對每個子帶分別進行編碼，并根據(jù)每個子帶的重要性分配不同的位數(shù)來表示數(shù)據(jù)20世紀70年代，子帶編碼開始用于語音編碼20世紀80年代中期開始在圖像編碼中使用29小波變換原理子帶編碼SBC(subbandcoding小波變換原理離散小波變換30

圖中的符號表示頻帶降低1/2，HH表示頻率最高的子帶，LL表示頻率最低的子帶。這個過程可以重復(fù)，直到符合應(yīng)用要求為止。這樣的濾波器組稱為分解濾波器樹(decompositionfiltertrees)小波變換原理離散小波變換30圖中的符號表小波變換原理離散小波變換只有離散，小波變換才能應(yīng)用離散的方式有很多離散小波變換的多分辨率分析Mallat創(chuàng)立了多分辨率分析理論在多分辨率分析基礎(chǔ)上，Mallat提出了基于濾波器組實現(xiàn)信號的小波正變換和反變換算法。執(zhí)行離散小波變換的有效方法31小波變換原理離散小波變換31小波變換原理Mallat算法低通濾波器和高通濾波器構(gòu)成雙通道濾波原始的輸入信號:S兩個互補的濾波器A表示信號的近似值(approximations)D表示信號的細節(jié)值(detail)32小波變換原理Mallat算法32小波變換原理Mallat算法低通濾波器和高通濾波器構(gòu)成小波分解樹對低頻分量連續(xù)分解33小波變換原理Mallat算法33小波變換原理Mallat算法小波包分解樹對低頻分量和高頻分量均連續(xù)分解34小波變換原理Mallat算法34小波變換原理Mallat算法下采樣過程原始信號的數(shù)據(jù)樣本為1000個，通過濾波之后每一個通道的數(shù)據(jù)均為1000個，總共為2000個。35小波變換原理Mallat算法35小波變換原理Mallat算法下采樣過程原始信號的數(shù)據(jù)樣本為1000個，通過濾波之后每一個通道的數(shù)據(jù)均為1000個，總共為2000個。36小波變換原理Mallat算法36小波變換原理Mallat算法下采樣過程原始信號的數(shù)據(jù)樣本為1000個，通過濾波之后每一個通道的數(shù)據(jù)均為1000個，總共為2000個。37小波變換原理Mallat算法37小波變換原理Mallat算法下采樣過程原始信號的數(shù)據(jù)樣本為1000個，通過濾波之后每一個通道的數(shù)據(jù)均為1000個，總共為2000個。圖中的符號表示下采樣。38小波變換原理Mallat算法38小波變換實例一維哈爾小波變換哈爾函數(shù)定義39小波變換實例一維哈爾小波變換39小波變換實例一維哈爾小波變換哈爾函數(shù)定義基函數(shù)一組線性無關(guān)的函數(shù)，以用來構(gòu)造任意給定的信號40小波變換實例一維哈爾小波變換40小波變換實例一維哈爾小波變換哈爾基函數(shù)最簡單的基函數(shù)41小波變換實例一維哈爾小波變換41小波變換實例一維哈爾小波變換哈爾基函數(shù)42小波變換實例一維哈爾小波變換42小波變換實例一維哈爾小波變換尺度函數(shù)：尺度函數(shù)尺度函數(shù)張成的空間VjVj的基的個數(shù)為2j

43小波變換實例一維哈爾小波變換43小波變換實例一維哈爾小波變換小波函數(shù)：與尺度函數(shù)對應(yīng)哈爾小波函數(shù)與哈爾函數(shù)相對應(yīng)44小波變換實例一維哈爾小波變換44小波變換實例一維哈爾小波變換小波函數(shù)：與尺度函數(shù)對應(yīng)哈爾小波函數(shù)與哈爾函數(shù)相對應(yīng)哈爾小波基函數(shù)45小波變換實例一維哈爾小波變換45小波變換實例一維哈爾小波變換小波基函數(shù)構(gòu)成的空間：Wj46小波變換實例一維哈爾小波變換46小波變換實例一維哈爾小波變換小波基函數(shù)構(gòu)成的空間：Wj47小波變換實例一維哈爾小波變換47小波變換實例一維哈爾小波變換小波基函數(shù)構(gòu)成的空間：Wj48小波變換實例一維哈爾小波變換48小波變換實例一維哈爾小波變換生成矢量空間W2

的哈爾小波基函數(shù)49小波變換實例一維哈爾小波變換49小波變換實例一維哈爾小波變換生成矢量空間W2

的哈爾小波基函數(shù)50小波變換實例一維哈爾小波變換50小波變換實例一維哈爾小波變換生成矢量空間W2

的哈爾小波基函數(shù)51小波變換實例一維哈爾小波變換51小波變換實例一維哈爾小波變換實例圖像＝[9735]像素個數(shù)：2j=22=4V2

中的哈爾基表示52小波變換實例一維哈爾小波變換52小波變換實例一維哈爾小波變換實例V2

中的哈爾基表示的一般形式其中的系數(shù)53小波變換實例一維哈爾小波變換53小波變換實例一維哈爾小波變換實例用V0,W0和W1中的函數(shù)表示圖像生成空間V0的哈爾基函數(shù)為生成空間W0的哈爾小波基函數(shù)為生成矢量空間W1的哈爾小波基函數(shù)為和I(x)可表示成54小波變換實例一維哈爾小波變換54小波變換實例一維哈爾小波變換實例55小波變換實例一維哈爾小波變換55小波變換實例一維哈爾小波變換實例56小波變換實例一維哈爾小波變換56小波變換實例一維哈爾小波變換實例57小波變換實例一維哈爾小波變換57小波變換實例一維哈爾小波變換實例58小波變換實例一維哈爾小波變換58小波變換實例一維哈爾小波變換實例59小波變換實例一維哈爾小波變換59小波變換實例一維哈爾小波變換實例

生成其中，4個系數(shù)，，和就是原始圖像通過哈爾小波變換所得到的系數(shù)，用來表示整幅圖像的平均值和不同分辨率下的細節(jié)系數(shù)。4個函數(shù),,和就是構(gòu)成空間V2的基。60小波變換實例一維哈爾小波變換60小波變換實例一維哈爾小波變換哈爾小波變換的快速算法

計算哈爾小波變換系數(shù)步驟1：求均值(averaging)。計算相鄰像素對的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素數(shù)目變成了2個，即新的圖像的分辨率是原來的1/2，相應(yīng)的像素值為：[84]步驟2：求差值(differencing)

用2個像素表示這幅圖像時，圖像的信息已經(jīng)部分丟失。為了能夠從由2個像素組成的圖像重構(gòu)出由4個像素組成的原始圖像，就需要存儲一些圖像的細節(jié)系數(shù)(detailcoefficient)，以便在重構(gòu)時找回丟失的信息。原始圖像可用下面的兩個平均值和兩個細節(jié)系數(shù)表示，[841-1]步驟3：重復(fù)步驟1和2

把由第一步分解得到的圖像進一步分解成分辨率更低的圖像和細節(jié)系數(shù)。在這個例子中，分解到最后，就用一個像素的平均值6和三個細節(jié)系數(shù)2,1和－1表示整幅圖像：[621-1]61小波變換實例一維哈爾小波變換61小波變換實例一維哈爾小波變換該算法可以推廣到其他小波變換分辨率平均值細節(jié)系數(shù)4[9735]2[84][1-1]1[6][2]62小波變換實例一維哈爾小波變換分辨率平均值細節(jié)系數(shù)4[9小波變換實例二維哈爾小波變換圖像的二維變換63轉(zhuǎn)置后繼續(xù)對列實施變換相當于對行實施變換小波變換實例二維哈爾小波變換63轉(zhuǎn)置后繼續(xù)對列實施變換相當于小波變換實例二維哈爾小波變換例如64小波變換實例二維哈爾小波變換64小波變換實例二維哈爾小波變換例如65小波變換實例二維哈爾小波變換65小波變換實例二維哈爾小波變換例如66小波變換實例二維哈爾小波變換66小波變換實例二維哈爾小波變換針對圖像的小波變換的兩種方法標準分解(standarddecomposition)非標準分解(nonstandarddecomposition)67小波變換實例二維哈爾小波變換67小波變換實例二維哈爾小波變換標準分解(standarddecomposition)對圖像的每一行進行小波變換，然后對這個經(jīng)過行變換的圖像的每一列進行小波變換68小波變換實例二維哈爾小波變換68小波變換實例二維哈爾小波變換標準分解(standarddecomposition)

69小波變換實例二維哈爾小波變換69小波變換實例二維哈爾小波變換標準分解(standarddecomposition)對圖像每一行的像素值進行一維小波變換，再進行列變換，行變換與列變換交替進行

70小波變換實例二維哈爾小波變換70小波變換實例二維哈爾小波變換非標準分解(nonstandarddecomposition)交替地對圖像的行和列進行小波變換。

71小波變換實例二維哈爾小波變換71小波變換實例二維哈爾小波變換非標準分解(nonstandarddecomp