近年數(shù)學(xué)高考新穎試題賞析及啟示課件

成都市教科院近年高考數(shù)學(xué)新穎試題

賞析及啟示成都市教科院近年高考數(shù)學(xué)新穎試題

賞析及啟示第一部分：新穎試題賞析第二部分：復(fù)習(xí)教學(xué)啟示第三部分：幾點(diǎn)思考建議近年高考數(shù)學(xué)新穎試題

賞析及啟示第一部分：新穎試題賞析近年高考數(shù)學(xué)新穎試題

賞析及啟示第一部分：新穎試題賞析第一部分：新穎試題賞析第一部分：新穎試題賞析近年來的高考數(shù)學(xué)試卷中涌現(xiàn)出了一大批新穎試題，它們內(nèi)涵豐富，立意新穎，背景鮮活，設(shè)問獨(dú)特，閃耀著命題者智慧的光芒，給人以賞心悅目，回味無窮的感受．它對(duì)考查學(xué)生的閱讀理解能力、知識(shí)遷移能力、類比猜想能力、數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)等有良好的作用．仔細(xì)研究這些試題，可以使我們明晰高考數(shù)學(xué)命題的動(dòng)向和趨勢(shì)，提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)迎考的針對(duì)性和有效性．第一部分：新穎試題賞析近年來的高考數(shù)學(xué)試卷中涌現(xiàn)出了一大批新一、鮮明的立意二、新穎的情境三、深刻的背景四、開放的設(shè)計(jì)五、知識(shí)的交匯第一部分：新穎試題賞析一、鮮明的立意第一部分：新穎試題賞析一、鮮明的立意立意是試題的考查目的．高考命題一般以立意為中心，以能力立意命題，就是首先確定試題在能力方面的考查目的，然后根據(jù)能力考查的要求，選擇適當(dāng)?shù)目疾閮?nèi)容，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問方式．高考數(shù)學(xué)把具有創(chuàng)新特色的新穎試題根據(jù)以能力立意命題的指導(dǎo)思想，把具有發(fā)展能力價(jià)值，富有發(fā)展?jié)摿?、再生性?qiáng)的能力、方法和知識(shí)作為切入點(diǎn)，從測(cè)量考生的發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力著手突出能力考查．一、鮮明的立意立意是試題的考查目的．高考命題一般以立意為中心高考數(shù)學(xué)試題重視“雙基”的考查．這有利于高等學(xué)校選拔基礎(chǔ)扎實(shí)的考生，有利于引領(lǐng)中學(xué)數(shù)學(xué)的素質(zhì)教育．對(duì)“雙基”的考查側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法的理解和應(yīng)用，而不是簡(jiǎn)單的重現(xiàn)，特別注重知識(shí)應(yīng)用的綜合性、交匯性、靈活性和創(chuàng)新性，這類試題的知識(shí)源于教材，思維能力高于教材．1．考查基礎(chǔ)知識(shí)的靈活應(yīng)用一、鮮明的立意高考數(shù)學(xué)試題重視“雙基”的考查．這有利于高等學(xué)校選拔基礎(chǔ)扎實(shí)當(dāng)聯(lián)想到“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”時(shí)，不難知道，“和為定值的幾個(gè)正數(shù)，當(dāng)它們相等時(shí)其乘積最大”．由此我們不難感悟和猜想：對(duì)周長(zhǎng)一定的三角形，邊長(zhǎng)越接近時(shí)面積越大．從而以2+5，3+4，6作為三角形的三邊得到的三角形面積最大，計(jì)算這個(gè)等腰三角形的面積可知選．B這是一道加了包裝的均值不等式試題當(dāng)聯(lián)想到“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”時(shí)，不難知道，“和為定值的B該題對(duì)思維能力進(jìn)行了全面考查，既考查了觀察、聯(lián)想、猜想，估算等直覺思維能力，又考查了構(gòu)成三角形的充要條件、面積公式的選擇與應(yīng)用等邏輯思維能力．考生通過對(duì)5根細(xì)棒的各種擺放和拼接的操作，實(shí)現(xiàn)了對(duì)實(shí)踐能力考查的目標(biāo).本題提高了對(duì)分析問題和解決問題的能力要求，大大增加了思考量，由于面積最大的是等腰三角形，從而計(jì)算量得到了較好的控制.1．考查基礎(chǔ)知識(shí)的靈活應(yīng)用B該題對(duì)思維能力進(jìn)行了全面考查，既考查了觀察、聯(lián)想、猜想，估簡(jiǎn)單講，高考是三考：考基礎(chǔ)知識(shí)，考思想方法，考能力素質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)思想方法在探尋解題思路、優(yōu)化解題方法、加深問題理解、洞察問題本質(zhì)等方面有廣泛的應(yīng)用．因此，高考對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查力度是很大的，在教學(xué)中應(yīng)引起足夠的重視．?dāng)?shù)學(xué)思想方法應(yīng)在概念的形成、命題的發(fā)現(xiàn)、問題的探究、解題的分析等教學(xué)活動(dòng)中著意滲透、自然揭示、靈活運(yùn)用和總結(jié)提煉．2．考查基本的數(shù)學(xué)思想方法簡(jiǎn)單講，高考是三考：考基礎(chǔ)知識(shí)，考思想方法，考能力素質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)本題構(gòu)思精巧，內(nèi)容豐富，有較為深刻的內(nèi)涵．它以直線和圓為載體，以圓內(nèi)接四邊形面積的最大值為切入點(diǎn)，涉及四邊形的面積、圓的幾何性質(zhì)、三角變換與三角最值等知識(shí)，因此也具有在知識(shí)交匯處命題這一特點(diǎn)．

本題構(gòu)思精巧，內(nèi)容豐富，有較為深刻的內(nèi)涵．它以直線和圓為載體近年數(shù)學(xué)高考新穎試題賞析及啟示ppt課件本題的解法較多，不同程度的同學(xué)可以根據(jù)自己的實(shí)際情況，靈活選擇問題的解決方法：而思維量的多少、方法的繁簡(jiǎn)、計(jì)算量的大小等方面的因素又引發(fā)解題所需時(shí)間的差異、結(jié)果的正確與否(例如，先設(shè)出AC,BD的斜率與方程，求出弦長(zhǎng)后表示出四邊形ABCD的面積，再求該面積函數(shù)的最值．這樣的思路就顯得比較繁瑣)．因此，它具有相當(dāng)好的區(qū)分度，真正起到了小題把關(guān)題的作用，是一道可圈可點(diǎn)的好題．本題的解法較多，不同程度的同學(xué)可以根據(jù)自己的實(shí)際情況，靈活選解二：設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2，則d12+d22＝OM2＝3.解二：設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2，則d123．考查以數(shù)學(xué)思維能力為重點(diǎn)的五大能力《考試大綱(理科)》的數(shù)學(xué)科指出，數(shù)學(xué)科考試著重考查五大能力：思維能力，運(yùn)算能力，空間想象能力，實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)．在五大能力中以思維能力為考查重點(diǎn)．高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題沒有固定的模式，難有現(xiàn)成的方法和套路，思維水平要求高，思維容量大，運(yùn)算量較小，能有效考查考生的思維水平和創(chuàng)造意識(shí)，分析和解答這樣的試題需要有較高的能力與素質(zhì)，依靠“死記硬背”、“題海戰(zhàn)術(shù)”和“強(qiáng)化訓(xùn)練”往往難以奏效．3．考查以數(shù)學(xué)思維能力為重點(diǎn)的五大能力《考試大綱(理科)》的本題粗略一看，已知條件簡(jiǎn)潔明了，但題目的背景比較新穎，給人一種無從下手的感覺.這就需要我們實(shí)際操作和巧妙設(shè)計(jì)，要求考生要具有靈活的思維和應(yīng)變能力，能根據(jù)題目的條件和結(jié)論進(jìn)行觀察、分析、探索、決策.

說到底也就是一個(gè)平幾或三角題.本題粗略一看，已知條件簡(jiǎn)潔明了，但題目的背景比較新穎，給人一近年數(shù)學(xué)高考新穎試題賞析及啟示ppt課件本題是把關(guān)題，看似平淡無奇，但卻有效考查了考生的數(shù)學(xué)視野、開闊的思維、解題和智慧，在基礎(chǔ)中考能力，在綜合中考能力，在應(yīng)用中考能力，在新型題中考能力占全了．是一道精彩的新穎試題！所以我們平時(shí)就要扎扎扎實(shí)實(shí)以熟練主干知識(shí)為龍頭，注重對(duì)通性通法的訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想（方法）的強(qiáng)化，進(jìn)一步提高解決問題的能力.

本題是把關(guān)題，看似平淡無奇，但卻有效考查了考生的數(shù)學(xué)視野、開4．考查應(yīng)用意識(shí)和探究意識(shí)“堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用，考查應(yīng)用意識(shí)”是近年來高考命題者堅(jiān)持的一個(gè)命題方向，試卷突出新增加的如概率，導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的應(yīng)用性，反映出中學(xué)課程新增加的數(shù)學(xué)內(nèi)容在解決實(shí)際問題中的重要作用.研究型、探索型、開放型試題是創(chuàng)新型試題的基本題型，有利于測(cè)試考生的能力與素質(zhì)，有利于考查考生的探究精神．4．考查應(yīng)用意識(shí)和探究意識(shí)“堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用，考查應(yīng)用意識(shí)”是近本題考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí)，最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C；總面積一直保持增加，沒有負(fù)的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔儯a(chǎn)生中斷，選擇A.

本題考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí)，最初零時(shí)刻和本題考查了閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物接受能力和加以簡(jiǎn)單運(yùn)用的能力，既考查了應(yīng)用意識(shí)，又考查了探究精神.要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理解新情境，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有用的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力和探索能力.（多想少算甚至不算）本題考查了閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物接受4．考查應(yīng)用意識(shí)和探究意識(shí)因此，“開放探索,考查探究精神，開拓展現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí)的空間”在近年的高考試題中常有體現(xiàn)，用知識(shí)歸類、套路總結(jié)，強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題.應(yīng)對(duì)創(chuàng)新型試題的最好辦法是讓學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生在新課學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)課中經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過程，這個(gè)過程應(yīng)該包括學(xué)生自己主動(dòng)地觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象、分析數(shù)學(xué)材料，提出數(shù)學(xué)問題、探究數(shù)學(xué)規(guī)律，猜想數(shù)學(xué)命題、尋找解題思路等.4．考查應(yīng)用意識(shí)和探究意識(shí)因此，“開放探索,考查探究精神，開二、新穎的情境情境是實(shí)現(xiàn)立意的材料和介質(zhì)．情境與問題相伴，問題是情境的焦點(diǎn)，情境因問題而存在．問題既是考查的內(nèi)容也是考查的手段．情境的新穎性是高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的一個(gè)共同的特點(diǎn)．情境新穎的試題，對(duì)廣大考生來講是全新的、公平的，靠“解題套路”、“猜題押寶”、“密卷”，“寶典”和“題海戰(zhàn)術(shù)”是難以湊效的．二、新穎的情境情境是實(shí)現(xiàn)立意的材料和介質(zhì)．情境與問題相伴，問二、新穎的情境在高考中，考生對(duì)付情境新穎的試題，一般需要具有自主學(xué)習(xí)的能力，學(xué)習(xí)能力是指學(xué)生閱讀并理解數(shù)學(xué)新知識(shí)的能力，這里的新知識(shí)可以是新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的規(guī)則等．學(xué)習(xí)能力還包括會(huì)搜集、提煉、加工信息，對(duì)閱讀的內(nèi)容進(jìn)行概括和理解，看清問題的本質(zhì)，然后運(yùn)用新的知識(shí)通過分析、演算，歸納、猜想，類比或論證等方法解決一些新的數(shù)學(xué)問題．二、新穎的情境在高考中，考生對(duì)付情境新穎的試題，一般需要具有1.定義新概念2.規(guī)定新運(yùn)算3.設(shè)定新規(guī)則4.定義新性質(zhì)二、新穎的情境1.定義新概念二、新穎的情境定義一個(gè)新概念，要求學(xué)生面對(duì)陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的內(nèi)涵與本質(zhì)，并合理遷移運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)加以解決.這類問題較好地考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、知識(shí)遷移能力以及學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的潛能.1．定義新概念二、新穎的情境定義一個(gè)新概念，要求學(xué)生面對(duì)陌生情境，迅速提取有用信息，要善近年數(shù)學(xué)高考新穎試題賞析及啟示ppt課件近年數(shù)學(xué)高考新穎試題賞析及啟示ppt課件本題考查了學(xué)生抽象概括能力，同時(shí)也考查了學(xué)生對(duì)新事物接受能力和探究精神.要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理解新情境，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有用的信息進(jìn)一步推理，和運(yùn)算．是一個(gè)難度較大的把關(guān)題．本題考查了學(xué)生抽象概括能力，同時(shí)也考查了學(xué)生對(duì)新事物接受能力2.規(guī)定新運(yùn)算2.規(guī)定新運(yùn)算近年數(shù)學(xué)高考新穎試題賞析及啟示ppt課件3.設(shè)定新規(guī)則解:(1)k=5(2)211=20+21+24+26+27，故kn取值0、1、4、6、7.故所求集合為3.設(shè)定新規(guī)則解:(1)k=54.定義新性質(zhì)4.定義新性質(zhì)近年數(shù)學(xué)高考新穎試題賞析及啟示ppt課件三、深刻的背景高等數(shù)學(xué)的一些基本思想，基本概念、基本方法為設(shè)計(jì)創(chuàng)新型試題提供了深刻的背景，這是因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)的基本思想和方法是考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)潛能的良好素材，另外需要注意到，命題者大多數(shù)是大學(xué)教師，他們?cè)诿}時(shí)會(huì)受到自身學(xué)術(shù)興趣和研究背景的影響．高考創(chuàng)新型試題一般都有比較深刻的高等數(shù)學(xué)背景，這類題目形式新穎，在課本例習(xí)題、復(fù)習(xí)資料和模擬試題中難以找到．解答這類題目沒有現(xiàn)成方法可借鑒，會(huì)使一些考生感到難以人手，從而使該類題目有很好的區(qū)分度，這類試題有利于檢測(cè)考生進(jìn)入高等學(xué)校進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能，因此，命題教師都十分青睞含有高等數(shù)學(xué)背景的試題．1．高等數(shù)學(xué)背景三、深刻的背景高等數(shù)學(xué)的一些基本思想，基本概念、基本方法為設(shè)近年數(shù)學(xué)高考新穎試題賞析及啟示ppt課件本題以高等代數(shù)中向量空間的線性變換為背景，在映射與平面向量的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，從而將映射的概念與平面向量的相關(guān)知識(shí)有機(jī)地融合在一起．這種交匯比較稀罕，可謂出奇制勝，讓人印象深刻．本題考查面較廣，思維容量較大，除涉及對(duì)新概念的理解、映射與平面向量知識(shí)的靈活運(yùn)用外，還涉及賦值法、代入法、特殊值法、反證法等基本的數(shù)學(xué)方法．破解以高等數(shù)學(xué)為背景的試題，關(guān)鍵在閱讀理解，抓住問題本質(zhì)，將已掌握的知識(shí)遷移到新情景中去，將問題解決.需要指出的是，不宜提倡將高等數(shù)學(xué)的一些定理和背景知識(shí)作為教學(xué)的補(bǔ)充內(nèi)容，因?yàn)檫@樣做既會(huì)加重學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，也與高考考查創(chuàng)新型試題的初衷相悖．

本題以高等代數(shù)中向量空間的線性變換為背景，在映射與平面向量的三、深刻的背景最近幾年，一些創(chuàng)新型試題的基本走向是堅(jiān)持新課程改革的方向，充分體現(xiàn)2003年4月教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))9(以下簡(jiǎn)稱(標(biāo)準(zhǔn))的精神，出現(xiàn)了不少以新課程改革為背景的新題好題．2．新課程改革背景三、深刻的背景最近幾年，一些創(chuàng)新型試題的基本走向是堅(jiān)持新課程2008年以來的非課改省份的一些試題也能看到課改的影子．如2008年全國(guó)卷I理科的第10題涉及選修4·5·不等式選講”中的柯西不等式的背景，全國(guó)卷Ⅱ理科的第16題涉及選修1-2“推理與證明”中的類比推理；湖南卷理科的第10題涉及“新定義”的自主學(xué)習(xí)與主動(dòng)探究，江西卷理科的第16題也涉及主動(dòng)探究：陜西卷理科的第12題涉及到選修3·2的信息安全與密碼，等等．這些試題的背景新穎、視角獨(dú)特，體現(xiàn)了新課程理念，當(dāng)然，課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的試卷如廣東卷、海南(寧夏)卷、江蘇卷等更加充分地體現(xiàn)了新課程改革的精神，值得研究．我省今年的高一也進(jìn)入了課改，因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)真學(xué)習(xí)、研究《標(biāo)準(zhǔn)》，積極參與數(shù)學(xué)課程改革．2．新課程改革背景2008年以來的非課改省份的一些試題也能看到課改的影子．如2三、深刻的背景應(yīng)用題是對(duì)考生綜合實(shí)力的考查，是考查能力與素質(zhì)的良好題型，近幾年應(yīng)用題的編擬更加重視語言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，背景清新、近人，模型具體、簡(jiǎn)明，方法熟悉、簡(jiǎn)便，所涉及的都是數(shù)學(xué)基本內(nèi)容，思想和方法，摒棄繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，突出了對(duì)數(shù)學(xué)思想，方法和實(shí)踐能力的考查.3．聯(lián)系實(shí)際生活背景三、深刻的背景應(yīng)用題是對(duì)考生綜合實(shí)力的考查，是考查能力與素質(zhì)解：因?yàn)楦骶票诎霃较嗟?，即上底面積相等．內(nèi)空高度相等，且飲去上部一半，故下部越細(xì)，剩余酒高度越高，故應(yīng)有h2>hl>h4應(yīng)選A.解：因?yàn)楦骶票诎霃较嗟?，即上底面積相等．內(nèi)空高度相等，且旋轉(zhuǎn)體在現(xiàn)行的教材中己被刪掉，而命題者卻大膽將四種旋轉(zhuǎn)體集在一起，與日常生活中的酒杯形狀聯(lián)系起來，巧妙設(shè)問，考查學(xué)生的空間想象和直覺（邏輯）思維能力．主要考查幾何體的體積，掌握幾何體的體積與高度的關(guān)系，及體積的變化引起高度的變化；考查空間想象能力及邏輯推理能力．

旋轉(zhuǎn)體在現(xiàn)行的教材中己被刪掉，而命題者卻大膽將四種旋三、深刻的背景4．?dāng)?shù)學(xué)文化背景三、深刻的背景4．?dāng)?shù)學(xué)文化背景本題主要考查了勾股定理、解三角形，二倍角公式、讀圖、識(shí)圖、閱讀理解能力和基本運(yùn)算能力，其背景融合數(shù)學(xué)歷史（文化），耐人尋味.易錯(cuò)點(diǎn)是不能正確理解題意.在解答信息型的新型題時(shí)，要透徹理解問題中的新信息.題目本身不難，屬于中低檔題.本題既考了知識(shí)，又教給了我們新知識(shí)，從而提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增加同學(xué)們的愛國(guó)心.題中所蘊(yùn)涵的精神食糧頗多.是一道素質(zhì)教育的好題．

本題主要考查了勾股定理、解三角形，二倍角公式、讀圖、識(shí)圖、閱四、開放的設(shè)計(jì)1．條件開放型問題條件開放型問題，即沒有確定的已經(jīng)條件，其特征是缺少確定的條件，即求解問題所需的條件過多或不足，學(xué)生無法直接根據(jù)給出的條件來解決問題.設(shè)計(jì)條件開放型問題的目的是加強(qiáng)對(duì)學(xué)生信息整合力的考查.信息整合國(guó)是個(gè)體立足于社會(huì)的最基本能力之一，現(xiàn)實(shí)世界紛繁復(fù)雜，信息浩如煙海且更新速度很快，而獲取信息的渠道多種多樣，如果沒有很強(qiáng)的整合力，個(gè)體就會(huì)被繁雜的信息所掩埋.數(shù)學(xué)開放型問題有條件開放型問題和結(jié)論開放型問題.四、開放的設(shè)計(jì)1．條件開放型問題數(shù)學(xué)開放型問題有條件開放型問例12.中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等.如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“~”滿足以下三個(gè)條件：自反性：對(duì)于任意a∈A，都有a~a；對(duì)稱性：對(duì)于a,b∈A，若a~b，則有b~a；傳遞性：對(duì)于a,b,c∈A，若a~b，b~c，則有a~c.則稱“~”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立）.請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系：

.例12.中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)例12.中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等.如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“~”滿足以下三個(gè)條件：自反性：對(duì)于任意a∈A，都有a~a；對(duì)稱性：對(duì)于a,b∈A，若a~b，則有b~a；傳遞性：對(duì)于a,b,c∈A，若a~b，b~c，則有a~c.則稱“~”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立）.請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系：

.解析：根據(jù)關(guān)系“~”的條件，可知對(duì)圖形A，B，C，顯然有（1）A與A全等；（2）若A與B全等，則B一定與A全等；（3）若A與B全等，B與C全等，則A與C一定全等；同理相似也滿足題意，另外“非零向量的共線”，“命題的充要條件”也是滿足題意的.故答案是開放的、不唯一的：如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等.例12.中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)例12.中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等.如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“~”滿足以下三個(gè)條件：自反性：對(duì)于任意a∈A，都有a~a；對(duì)稱性：對(duì)于a,b∈A，若a~b，則有b~a；傳遞性：對(duì)于a,b,c∈A，若a~b，b~c，則有a~c.則稱“~”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立）.請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系：

.本題考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，正確理解等價(jià)關(guān)系的三個(gè)條件是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略自反性，從而舉例出錯(cuò).這是一道信息給予題，命題中引進(jìn)了中學(xué)數(shù)學(xué)中未曾見過的一些“新概念”，這些新概念有著高等教育的背景，卻與中學(xué)數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系（比如傳遞性，我們?cè)诓坏仁降男再|(zhì)中見過）.對(duì)考生的閱讀理解能力及中學(xué)數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟程度能有效檢測(cè).例12.中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)四、開放的設(shè)計(jì)2.結(jié)論開放型問題結(jié)論開放型問題，即沒有明確的結(jié)果，其特征是結(jié)果的非唯一性.數(shù)學(xué)問題復(fù)雜多變，往往得到的不是唯一答案.高考命題者已有意識(shí)的設(shè)計(jì)結(jié)論開放型問題，引導(dǎo)學(xué)生擺脫數(shù)學(xué)是“答案唯一”的僵化思維模式，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)考慮可能出現(xiàn)的多種情況，根據(jù)不同的情況，求得不同的答案.這兩類問題又可分為歸納猜想型和探索發(fā)現(xiàn)型兩類.四、開放的設(shè)計(jì)2.結(jié)論開放型問題五、知識(shí)的交匯從學(xué)科整體的高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，以體現(xiàn)學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性．這些要求多年來一直是高考命題的基本原則．而尋求一些新的交匯自然就咸為了命制高考創(chuàng)新試題的重要途徑．為此，我們應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)之間的交叉、滲透與組合來解決問題．五、知識(shí)的交匯從學(xué)科整體的高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知近年數(shù)學(xué)高考新穎試題賞析及啟示ppt課件本題是在向量與三角的交匯處設(shè)計(jì)的問題．盡管這類交匯比較常見，但本題中的交匯卻并未外顯，而要通過分析才能發(fā)現(xiàn)．求解本題時(shí)，可先設(shè)出與點(diǎn)C相關(guān)的角，然后利用向量與三角知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．本題雖然素材平樸、形式淡和，但平中孕奇、淡中蓄秀，同時(shí)具有較好的區(qū)分功能．解題時(shí)，不同思維層次的同學(xué)對(duì)問題中所暗藏的數(shù)學(xué)關(guān)系將會(huì)有不同程度的理解，導(dǎo)致選擇不同的解題思路，從而產(chǎn)生不同的解題效率．本題可以建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示來求解，也可以直接利用向量的數(shù)量積來求解，此外，還有一些較為復(fù)雜的解題思路．本題是在向量與三角的交匯處設(shè)計(jì)的問題．盡管這類交匯比例14（2010安徽文數(shù)10）甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是對(duì)于幾何概率問題，關(guān)鍵是正確作出幾何圖形，分類得出基本事件數(shù)，然后得所求事件保護(hù)的基本事件數(shù)，進(jìn)而利用概率公式求解.解析：正方形四個(gè)頂點(diǎn)可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個(gè)基本事件．兩條直線相互垂直的情況有5種（4組鄰邊和對(duì)角線）包括10個(gè)基本事件，所以概率等于C.例14（2010安徽文數(shù)10）甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任小結(jié)：試題科學(xué)、試卷平穩(wěn)是高考命題的首要目標(biāo)，展露新意、閃現(xiàn)亮點(diǎn)是高考命題的第二追求，由此可以預(yù)測(cè)：新穎題、亮點(diǎn)題必將還會(huì)在高考中出現(xiàn)．一般說來，新穎題、亮點(diǎn)題除以上特色外，還具有以下一些特征：小結(jié)：試題科學(xué)、試卷平穩(wěn)是高考命題的首要目標(biāo)，展露新意、閃小結(jié)：第一，多屬新信息遷移題，在教學(xué)中既要適當(dāng)拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)視野，也要加強(qiáng)自主獲取知識(shí)能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)；第二，常規(guī)考點(diǎn)經(jīng)過適當(dāng)包裝，要求學(xué)生不為表象所惑，善于抓住問題本質(zhì)；第三，常規(guī)考點(diǎn)的組合聯(lián)袂，在解答時(shí)只需抓住基本知識(shí)，加以合適組合，問題便可迎刃而解；第四，屬于能力立意的，知識(shí)雖是新的，能力卻不超綱，在教學(xué)中除了強(qiáng)調(diào)知識(shí)的獲取，也要注意能力的培養(yǎng)．小結(jié)：第一，多屬新信息遷移題，在教學(xué)中既要適當(dāng)拓寬學(xué)生的數(shù)第二部分：教學(xué)啟示第二部分：教學(xué)啟示第二部分：教學(xué)啟示目前高三教學(xué)的個(gè)別現(xiàn)象：在應(yīng)試教育固化下，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)將近花一年的時(shí)間，課堂教學(xué)的主要工作是例題的講解與大量模擬題的訓(xùn)練，比較重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶與掌握，忽視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解感悟；重視學(xué)生對(duì)題型套路與解題方法的訓(xùn)練，忽視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的總結(jié)提煉；重視學(xué)生對(duì)具體問題的解決，忽視學(xué)生對(duì)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)．從學(xué)生的學(xué)習(xí)方式來看，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的基本方法是“教師講——學(xué)生聽——學(xué)生記”；“教師示范例題（問題）——學(xué)生模仿練習(xí)（問題）”，這是一種“單項(xiàng)”信息傳遞的教學(xué)模式，學(xué)生處于比較被動(dòng)的狀態(tài)，不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的主動(dòng)建構(gòu)，不利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).

第二部分：教學(xué)啟示目前高三教學(xué)的個(gè)別現(xiàn)象：一、精選數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)二、強(qiáng)化概念建構(gòu)，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)三、研究新穎試題，重視學(xué)習(xí)能力訓(xùn)練四、搞好三個(gè)優(yōu)化，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)第二部分：教學(xué)啟示一、精選數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)第二部分：教學(xué)啟示一、精選數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)近年的高考數(shù)學(xué)新穎試題都具有立意新，背景新、形式新等特點(diǎn)，解答這類試題學(xué)生可以按照“從新情境問題中獲取信息——分析處理信息——轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題——獲得原問題的解”的步驟進(jìn)行．一、精選數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)近年的高考數(shù)學(xué)新穎試題都具一、精選數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)．培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)應(yīng)從好的數(shù)學(xué)問題開始，因?yàn)閱栴}是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和問題解決，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，這里我們所說的問題應(yīng)該是數(shù)學(xué)中的好問題．我們?cè)谡{(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)，一些教師不能判斷一道數(shù)學(xué)試題好在哪里，不好在哪里，讓學(xué)生做了大量的劣質(zhì)試題，既浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間，又降低了學(xué)習(xí)效率．因此，我們建議，“在高三教學(xué)和復(fù)習(xí)中可以開展評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)的研究”．一、精選數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生創(chuàng)這是一道活用圓錐曲線定義的好題，以立幾為載體，把平幾和立幾巧妙結(jié)合．在理解題意，知道P的軌跡是圓柱的情況下，解答無須動(dòng)筆，就是平面斜截圓柱，截口是橢圓，這是教材章首圖的內(nèi)容．由此可見，題在書外，根還在書內(nèi)，復(fù)習(xí)還得抓課本這是一道活用圓錐曲線定義的好題，以立幾為載體，把平幾和立幾巧二、強(qiáng)化概念建構(gòu)，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)在邏輯學(xué)中，概念是思維形式的最基本組成單位，是構(gòu)成判斷和推理的要素．?dāng)?shù)學(xué)的概念或定義反映了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，這要求我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視基本概念的教學(xué)，應(yīng)盡可能地創(chuàng)設(shè)使學(xué)生理解概念的情境，讓學(xué)生充分理解概念，學(xué)會(huì)用概念解題．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要心理建構(gòu)，一般要經(jīng)過活動(dòng)階段、過程階段、對(duì)象階段和圖式階段等四個(gè)階段，它是一個(gè)比較復(fù)雜的心理過程，這正是很多學(xué)生感到數(shù)學(xué)概念難學(xué)的重要原因，因此，數(shù)學(xué)基本概念、重要概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，應(yīng)重視數(shù)學(xué)基本概念、重要概念的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)方法的研究，不斷培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力，這對(duì)學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有益的．二、強(qiáng)化概念建構(gòu)，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)在邏輯學(xué)中，概念是思維形式三、研究新穎試題，重視學(xué)習(xí)能力訓(xùn)練從近年高考新穎新穎試題的背景來看，試題展示給學(xué)生的是一個(gè)全新的問題，試題具有較大的自由度和思維空間，體現(xiàn)了自主學(xué)習(xí)和主動(dòng)探究精神，呈現(xiàn)出研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)．從試題的一些特點(diǎn)來看，大多試題屬于“學(xué)習(xí)型”試題，考生需要先自主學(xué)習(xí)題目給出的一些新定義、新性質(zhì)等，然后分別所給答案是否同時(shí)滿足新定義、性質(zhì)中的某些條件，滿足需要證明，不滿足則只需舉出一個(gè)反例即可．三、研究新穎試題，重視學(xué)習(xí)能力訓(xùn)練從近年高考新穎新穎試題的背在高考中，通過“學(xué)習(xí)型”試題的考查，能有效地測(cè)試學(xué)生創(chuàng)新能力和進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)潛質(zhì)．學(xué)習(xí)能力是指學(xué)生閱讀并理解數(shù)學(xué)新知識(shí)的能力，這里的新知識(shí)可以是新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的圖式、新的規(guī)則、新的問題等．學(xué)習(xí)能力包括會(huì)搜集提煉、加工信息，對(duì)閱讀的內(nèi)容進(jìn)行概括和理解，看清問題的本質(zhì)，然后運(yùn)用新的知識(shí)通過分析掐算、歸納猜想、類比或論證等方法解決一些新的數(shù)學(xué)問題．隨著高中數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)，考查學(xué)生獨(dú)立獲取新知識(shí)的“學(xué)習(xí)型”試題仍可能出現(xiàn)，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，這有利于學(xué)生的高考應(yīng)試，對(duì)學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)也是非常有益的．三、研究新穎試題，重視學(xué)習(xí)能力訓(xùn)練在高考中，通過“學(xué)習(xí)型”試題的考查，能有效地測(cè)試學(xué)生創(chuàng)新能力四、搞好三個(gè)優(yōu)化，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)基于人們的應(yīng)試心理，高考對(duì)中學(xué)教學(xué)所產(chǎn)生的至高無上的、極具權(quán)威的導(dǎo)向作用，但試卷的導(dǎo)向決非使課堂教學(xué)關(guān)注“惰性知識(shí)”量的積累，而勢(shì)必使我們把課堂教學(xué)的著力點(diǎn)從“題型教學(xué)”轉(zhuǎn)向三個(gè)優(yōu)化：第一，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，即學(xué)習(xí)中克服“只見樹木不見森林”的弊端，注重溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，完成知識(shí)重組，強(qiáng)化知識(shí)體系的功能；第二，優(yōu)化學(xué)習(xí)過程，即不僅熟練掌握知識(shí)的運(yùn)用過程，又洞悉知識(shí)的來龍去脈、產(chǎn)生過程，全面提升理解層次；第三，優(yōu)化思維品質(zhì)，即不斷改善解數(shù)學(xué)題過分依賴題型記憶、復(fù)制模仿的狀況，著意使學(xué)生面對(duì)嶄新的習(xí)題情境，提升捕捉隱含信息，具體問題具體分析，最終解決問題的能力.四、搞好三個(gè)優(yōu)化，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)基于人們的應(yīng)試心理，高考對(duì)第三部分：幾點(diǎn)思考建議第三部分：幾點(diǎn)思考建議一、高三復(fù)習(xí)中的一些現(xiàn)象和困惑負(fù)責(zé)任教師的一種心態(tài)2.課堂的容量偏大，可效果不佳．1．課堂中講過（反復(fù)）的問題，學(xué)生掌握得不好？

除非你告訴他，這是今年的高考題一、高三復(fù)習(xí)中的一些現(xiàn)象和困惑負(fù)責(zé)任教師的一種心態(tài)2.課堂3.學(xué)生模仿的機(jī)會(huì)要遠(yuǎn)大于自己獨(dú)立思考解決問題的機(jī)會(huì)．短期效應(yīng)好，有時(shí)也是教師的一種心理狀態(tài)4.通過大量的練習(xí)，反復(fù)操練、熟能生巧的教學(xué)，是否最為富有成效？學(xué)生被教懶了3.學(xué)生模仿的機(jī)會(huì)要遠(yuǎn)大于自己獨(dú)立思考解決問題的機(jī)會(huì)．短期效高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主陣地：提高課堂效率和達(dá)成度是關(guān)鍵！二、課堂是主陣地！高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主陣地：二、課堂是主陣地！課堂要注重互動(dòng)，在學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)中，提升達(dá)成度．課堂教學(xué)的目標(biāo)定位，特別是例題的選擇，要考慮學(xué)生的實(shí)際，這為學(xué)生主動(dòng)參與提供了可能．課堂教學(xué)要為學(xué)生的學(xué)提供時(shí)間保障，在問題提出后或講解例題前，要給學(xué)生留下思考的時(shí)間，并督促學(xué)生先嘗試著去做一做，這樣學(xué)生的想法就能得到展示．課堂要注重互動(dòng)，在學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)中，提升達(dá)成度．課堂教學(xué)課堂教學(xué)要注重引導(dǎo)學(xué)生反思，這樣學(xué)生就能看透問題的本質(zhì)，舉一反三；課堂教學(xué)要重視及時(shí)反饋，這樣學(xué)生對(duì)所復(fù)習(xí)的知識(shí)就能進(jìn)一步加深認(rèn)識(shí)，也為下一步的補(bǔ)償矯正做好準(zhǔn)備．課堂教學(xué)要有重點(diǎn)，圍繞你認(rèn)為的高考?？嫉囊粋€(gè)或兩個(gè)知識(shí)和方法，組織例題，反復(fù)滲透，這樣課堂才能有效．課堂教學(xué)要注重引導(dǎo)學(xué)生反思，這樣學(xué)生就能看透問題的本質(zhì)，舉一解題——反思

做題要注重反思，在反思中構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，夯實(shí)基礎(chǔ)．三、反思是提高解題效益的重要手段解題——反思三、反思是提高解題效益的重要手段怎樣重視基礎(chǔ)都不過分，但對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的訓(xùn)練不應(yīng)是簡(jiǎn)單重復(fù)和記憶，重要的是深化認(rèn)識(shí)，從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)知識(shí)之間的聯(lián)系，通過分類、整理、綜合，逐步形成一個(gè)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，以致在解題時(shí)，準(zhǔn)確依據(jù)信息，尋求解題途徑，優(yōu)化解題過程，最終在考場(chǎng)上對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的運(yùn)用胸有成竹．怎樣重視基礎(chǔ)都不過分，但對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的訓(xùn)練不應(yīng)是簡(jiǎn)單做題的目的是為了理解和掌握這些題背后的的知識(shí)和方法，并為這些知識(shí)和方法提供一個(gè)例證．做題必須從“模仿”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八伎肌?特別是題后反思.通過思考，明確這