河南省洛陽市新安縣實驗中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

河南省洛陽市新安縣實驗中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點(diǎn)x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，則關(guān)于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實根個數(shù)為(

)A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點(diǎn)x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有兩解且f（x）=x1或x2．再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得個數(shù)．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點(diǎn)x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有兩解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1個單位即可得到y(tǒng)=f（x）﹣x1的圖象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有兩解．②把y=f（x）向下平移x2個單位即可得到y(tǒng)=f（x）﹣x2的圖象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．綜上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3個實數(shù)解．即關(guān)于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同實根．故選：A．【點(diǎn)評】本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解得個數(shù)、平移變換等基礎(chǔ)知識，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力、分類討論的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．3.若等差數(shù)列滿足，則的最大值為

A．60

B．50

C．45

D．40參考答案：【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)D2B解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以而，可得，代入整理得由關(guān)于d的二次方程有實根可得化簡可得，解得，故選擇B.【思路點(diǎn)撥】設(shè)等差數(shù)列的公差為，易得由求和公式可得，代入整理可得關(guān)于的方程，由可得S的不等式，解不等式可得．4.已知函數(shù)f（x）＝,對任意m∈[－3，3]，不等式f（mx－1）＋f（2x）＜0恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為

（

）A．（－1，）

B．（－2，）

C．（－2，）

D．（－2，）參考答案：A5.已知參考答案：A略6.已知，則

(

)A.1＜n＜m

B.1＜m＜n

C.m＜n＜1

D.n＜m＜1參考答案：A略7.如圖21－7所示程序框圖，若輸出的結(jié)果y的值為1，則輸入的x的值的集合為()圖21－7A．{3}

B．{2,3}C．

D．參考答案：C8.函數(shù)的圖象向右平移個單位后，與函數(shù)的圖象重合，則的值為

(

)

A-.

B.

C.

D.參考答案：A略9.在△ABC中，cosA=，則tanA=____A．2

B．2

C．

D．參考答案：B略10.設(shè)是直線,a,β是兩個不同的平面（）A．若∥a,∥β,則a∥β

B．若∥a,⊥β,則a⊥βC．若a⊥β,⊥a,則⊥β

D．若a⊥β,∥a,則⊥β參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-1,1）若點(diǎn)為平面區(qū)域上的一個動點(diǎn)，則的取值范圍是

參考答案：12.如圖，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則+=

．參考答案：

213.三棱錐及其三視圖中的主視圖和左視圖如圖所示，則棱的長為_________.參考答案：取AC的中點(diǎn)，連結(jié)BE,DE由主視圖可知.且.所以，即。14.現(xiàn)有3本不同的語文書，2本不同的數(shù)學(xué)書，若從這5本書中一次任取2本，則取出的書都是語文書的概率為_________．參考答案：略15.已知三棱錐A﹣BCD中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=BD=，則三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為

．參考答案：77π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】三棱錐A﹣BCD的三條側(cè)棱兩兩相等，所以把它擴(kuò)展為長方體，它也外接于球，對角線的長為球的直徑，然后解答即可．【解答】解：三棱錐A﹣BCD的三條側(cè)棱兩兩相等，所以把它擴(kuò)展為長方體，它也外接于球，且此長方體的面對角線的長分別為：2，，，體對角線的長為球的直徑，d==，∴它的外接球半徑是，外接球的表面積是77π，故答案為：77π．16.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的值為_____________.參考答案：17.已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|=4|OF|，△MFO的面積為，則該拋物線的方程為．參考答案：y2=8x考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：計算題．分析：根據(jù)M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|=4|OF|，可確定M的坐標(biāo)，利用△MFO的面積為，即可求得拋物線的方程．解答：解：由題意，F(xiàn)（，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣∵|MF|=4|OF|，∴|MF|=2p∴M的橫坐標(biāo)為∴M的縱坐標(biāo)為∵△MFO的面積為，∴∴p=4∴拋物線的方程為y2=8x故答案為：y2=8x點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵是確定M的坐標(biāo)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}滿足：，，數(shù)列{bn}中，，且，，成等比數(shù)列.（1）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）若Sn是數(shù)列{bn}的前n項和，求數(shù)列的前n項和Tn.參考答案：(1)見解析.(2).【分析】（1）利用定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）先求出，再利用裂項相消法求數(shù)列的前項和.【詳解】（1），∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列；（2）由題意可得，即，所以，∴，∴，.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的證明，考查等差數(shù)列的前n項和的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.設(shè)函數(shù)的定義域是,其中常數(shù).(注:(1)若,求的過原點(diǎn)的切線方程.(2)證明當(dāng)時,對,恒有.(3)當(dāng)時,求最大實數(shù),使不等式對恒成立.

參考答案：解.(1).若切點(diǎn)為原點(diǎn),由知切線方程為;若切點(diǎn)不是原點(diǎn),設(shè)切點(diǎn)為,由于,故由切線過原點(diǎn)知,在內(nèi)有唯一的根.

又,故切線方程為.

綜上所述,所求切線有兩條,方程分別為和.(2)當(dāng)時,令,則,故當(dāng)時恒有,即在單調(diào)遞減,故對恒成立.又,故,即,此即(3)令,則,且,顯然有,且的導(dǎo)函數(shù)為

若,則,易知對恒成立,從而對恒有,即在單調(diào)增,從而對恒成立,從而在單調(diào)增,對恒成立.

若,則,存在,使得對恒成立,即對恒成立,再由知存在,使得對恒成立,再由便知不能對恒成立.

綜上所述,所求的最大值是6.

略20.已知函數(shù)f（x）=﹣1．（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）證明：?n∈N*，不等式ln（）e＜．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】計算題；綜合題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．【分析】（1）利用商的求導(dǎo)法則求出所給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定出函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)作為工具求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，注意分類討論思想的運(yùn)用；（3）利用導(dǎo)數(shù)作為工具完成該不等式的證明，注意應(yīng)用函數(shù)的最值性質(zhì)．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵當(dāng)0＜x＜e時，，當(dāng)x＞e時，∴函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減，（2）由（1）知函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減故①當(dāng)0＜2m≤e即時，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞增∴，②當(dāng)m≥e時，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞減∴，③當(dāng)m＜e＜2m，即時∴．（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時，，∴在（0，+∞）上恒有，即且當(dāng)x=e時“=”成立，∴對?x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即對?n∈N*，不等式恒成立．【點(diǎn)評】此題是個中檔題．本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用問題，考查函數(shù)的定義域思想，考查導(dǎo)數(shù)的計算，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和分類討論的思想，同時考查了學(xué)生的計算能力．21.(本小題滿分10分)如圖，圓O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長線交圓O于點(diǎn)N,過N點(diǎn)的切線交CA的延長線于P．（Ⅰ）求證：PM2=PA?PC；（Ⅱ）若⊙O的半徑為2，OA=OM，求MN的長．.參考答案：22.（本小題滿分12分）為了解某地區(qū)中學(xué)生的身體發(fā)育狀況，擬采用分層抽樣的方法從甲、乙、丙三所中學(xué)抽取6個教學(xué)班進(jìn)行調(diào)查.已知甲、乙、丙三所中學(xué)分別有12，6，18個教學(xué)班.（Ⅰ）求從甲、乙、丙三所中學(xué)中分別抽取的教學(xué)班的個數(shù)；（Ⅱ）若從抽取的6個教學(xué)班中隨機(jī)抽取2個進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對比，求這2個教學(xué)班中至少有1個來自甲學(xué)校的概率.參考答案：解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中學(xué)共有教學(xué)班的比是12:6:18=2:1:3，

……1分所以甲學(xué)校抽取教學(xué)班數(shù)為個，乙學(xué)校抽取教學(xué)班數(shù)為個，丙學(xué)校抽取教學(xué)班數(shù)為個，……4分所以分別抽取的教學(xué)班個數(shù)為2，1，3.

………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從甲、乙、丙三所中學(xué)分別