中等數(shù)學(xué)2008 2014奧林匹克問題

初263如圖 O的AC、BD交于點(diǎn)P,作PEAB,PFDC,垂足分E、F,B

高2632009k進(jìn)制中寫成三位.如果x+y+z=20+0+9,試確定xyzk.數(shù)學(xué)奧林匹克問題(王其安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院08普研,241003)數(shù)學(xué)奧林匹克問題高264k1函數(shù)fk=ksinx-sinkxak的值CE交于點(diǎn) 圖

證明: >

+4k-7.4k+k+ k+ 重慶市合川太和中學(xué),264ABCD已知ABD=CBD=45,ADB=30, CDB=15(黃全福 安徽省懷寧縣江鎮(zhèn)中學(xué),

武漢理工大學(xué)理學(xué)院工程力學(xué)系0801班,430070)初261整邊三角形的周長為75,分別,三個(gè)正方形的面積2009求這個(gè)三角形的最長邊與最短:由三個(gè)數(shù)的和為75此時(shí),只能是p|x,p|y. 不妨設(shè)x=qx1,y=qy1(x1y1都為整數(shù)).x2+y2 x2+y2 x2+故 2 2

x

=x+

= 1a+ a2+ m2+這種情況命題也成立 (4)a2b2pq2

2)pm2n2

y1pq2|x2y2)]q|x2y2

m2+q4t3q,x)=q,y) q- 綜上

x2+

可以表示成兩個(gè)整數(shù)的平將x≡-y(modq)兩邊2次方 a2+xq-1≡-yq-1(modq)

方和

故q|x且q| 與計(jì)算科學(xué)系2006級(jí),2009年第122009(25a2(25b2(25c2,abca2+b2+c2=知有以下四種情況:a2+b2+c2=134=121+9+a2+b2+c2=134=100+25+a2+b2+c2=134=81+49+a2+b2+c2=134=49+49+

又BE平分 FBC,故E必是△FBC的 BFC=1352所以 AEB=45如圖AAPBE3a9,b=-2,c

-7

P,聯(lián)結(jié)DPDE. 圖25+9=34,25-2=23,25-7=

34

18=

= a7,b2,c=-9可知三角形的三25+7=32,25+2=27,25-9=32-16124)這三種情況均無解差是16.

ABDP四點(diǎn)共圓注意 ABP=于是,在這個(gè)圓中有PA=PD. AEB=45,所以,PE=PA=PD. 黑龍江省綏化市教育學(xué)院,

ADE=2

APE=2

初262在△ABC中,BC為大邊,AD 故DE ADC的平分線BE是內(nèi)角平分線.AB

BEABC AEB=45

=AE=AD:必要性如圖2,BK∥ADCA于點(diǎn)K,CFBA于點(diǎn)F.

高261設(shè)ab (b2+bc+c2)(c2+ca+a2)(a2+ab+b2≥1(bc+ca+ab)2[2(a2+b2+c2)+(bc+ca+ab)證明構(gòu)造如圖因?yàn)锳B=AD,所以,KB=AB. DAC=K=BAK= BCK=

ABC,OA=OB=b,OC=c,=COA=AOB120.于是 圖b2+bcb2+bc+CA=c2+ca+a2,AB a2+ab+SS =OC+OOA120,=(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)(a2+ab+b2得(4R)=1(bc+ca+ab)

(y-z)2+(yo1)2+(zo1)2=yzx=±1舍去這種情況.3)當(dāng)xy+yz+zx=1,x2=2+3z2,y2=1+x2131z2,y2121+z2x2xyyzzx3z2xyyzzx,y2+xy+yz+zx2z2+xy+yz+zx), (x+y)(x+z)=3(x+z)(y+z)(y+x)(y+z)=2(x+z)(y+z)xyxzyz故可設(shè) sin12b2bcc2c2caa2)(a2abb2=3R2(bc+ca+ab)2. ABC由正弦定理及平凡三角形

x+y=6k,x+z=3k,y+z= x=2k,y=2k,z=-2 9

xyyzzx1得k=23sinAsinB+sinC4

9R2≥BC2+CA2+AB

,x

23,y=23,z=-=(b2+bc+c2)+(c2+ca+a2)+(a2+ab+b2

=2(a2+b2+c2)+(bc+ca+

或x=-

23,y=

23,z

23高262

,x,y,=(2,0,0),(-2,0,0)A={x2,1+2z2,xy+yz+zx} B={1,y,2+3z}

23

- ABxyz為實(shí)數(shù)xyz值:由題意分情況討論1)12z21,z0A={x2,1,xy},B={1,y2,x=2,y0滿足題意要求.2)當(dāng)x21即x=±1,A={1,1+2z2,±(y+z)+yz}B={1