山東省泰安市泰前辦事處黃山中學高三數(shù)學文期末試卷含解析

山東省泰安市泰前辦事處黃山中學高三數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是﹣3，則不等式組所確定的平面區(qū)域在x2+y2=4內(nèi)的面積為（）A． B． C．π D．2π參考答案：B【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域；導數(shù)的幾何意義．【專題】導數(shù)的綜合應用；不等式的解法及應用．【分析】根據(jù)條件求出a，b的值以及函數(shù)f（x）的表達式，結合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用圓的方程畫出圖形，最后利用扇形面積公式計算即可．【解答】解：因為函數(shù)f（x）的圖象過原點，所以f（0）=0，即b=2．則f（x）=x3﹣x2+ax，函數(shù)的導數(shù)f′（x）=x2﹣2x+a，因為原點處的切線斜率是﹣3，即f′（0）=﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，故a=﹣3，b=2，所以不等式組為則不等式組確定的平面區(qū)域在圓x2+y2=4內(nèi)的面積，如圖陰影部分表示，所以圓內(nèi)的陰影部分扇形即為所求．∵kOB=﹣，kOA=，∴tan∠BOA==1，∴∠BOA=，∴扇形的圓心角為，扇形的面積是圓的面積的八分之一，∴圓x2+y2=4在區(qū)域D內(nèi)的面積為×4×π=，故選：B【點評】本題主要考查導數(shù)的應用，以及線性規(guī)劃的應用，根據(jù)條件求出參數(shù)a，b的是值，然后借助不等式區(qū)域求解面積是解決本題的關鍵．2.在公差大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比數(shù)列，則數(shù)列{（﹣1）n﹣1an}的前21項和為（）A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441參考答案：A【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】設公差為d（d＞0），運用等差數(shù)列的通項公式，可得首項為1，再由等比數(shù)列的中項的性質，解方程可得公差d，進而得到等差數(shù)列{an}的通項，再由并項求和即可得到所求和．【解答】解：公差d大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7﹣a13=1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）=1，即a1=1，a1，a3﹣1，a6+5成等比數(shù)列，可得（a3﹣1）2=a1（a6+5），即為（1+2d﹣1）2=1+5d+5，解得d=2（負值舍去）則an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*，數(shù)列{（﹣1）n﹣1an}的前21項和為a1﹣a2+a3﹣a4+…+a19﹣a20+a21=1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41=﹣2×10+41=21．故選：A．3.由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為（）A． B．4 C． D．6參考答案：C【考點】定積分在求面積中的應用．【分析】利用定積分知識求解該區(qū)域面積是解決本題的關鍵，要確定出曲線y=，直線y=x﹣2的交點，確定出積分區(qū)間和被積函數(shù)，利用導數(shù)和積分的關系完成本題的求解．【解答】解：聯(lián)立方程得到兩曲線的交點（4，2），因此曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為：S=．故選C．4.下列四個結論：①在回歸分析模型中，殘差平方和越大，說明模型的擬合效果越好；②某學校有男教師60名、女教師40名，為了解教師的體育愛好情況，在全體教師中抽取20名調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣；③線性相關系數(shù)|r|越大，兩個變量的線性相關性越弱；反之，線性相關性越強；④在回歸方程中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量增加0.5個單位.其中正確的結論是（

）A.①② B.①④C.②③ D.②④參考答案：D【分析】根據(jù)殘差的意義可判斷①；根據(jù)分成抽樣特征，判斷②；根據(jù)相關系數(shù)的意義即可判斷③；由回歸方程的系數(shù)，可判斷④。【詳解】根據(jù)殘差的意義，可知當殘差的平方和越小，模擬效果越好，所以①錯誤；當個體差異明顯時，選用分層抽樣法抽樣，所以②正確；根據(jù)線性相關系數(shù)特征，當相關系數(shù)越大，兩個變量的線性相關性越強，所以③錯誤；根據(jù)回歸方程的系數(shù)為0.5，所以當解釋變量每增加一個單位時，預報變量增加0.5個單位.綜上，②④正確，故選D【點睛】本題考查了統(tǒng)計的概念和基本應用，抽樣方法、回歸方程和相關系數(shù)的概念和性質，屬于基礎題。5.已知為銳角，且，則

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略6.函數(shù)﹣sinx在區(qū)間[0，2π]上的零點個數(shù)為（） A．1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個參考答案：考點： 函數(shù)零點的判定定理．專題： 數(shù)形結合．分析： 解：令f（x）=0，則x=sinx，原問題在區(qū)間[0，2π]上的零點個數(shù)就轉化為兩個函數(shù)y=x和y=sinx的交點問題，分別畫出它們的圖象，由圖知交點個數(shù)．解答： 解：令f（x）=0，則x=sinx，上的零點個數(shù)就轉化為兩個函數(shù)y=x和y=sinx的交點問題，分別畫出它們的圖象：由圖知交點個數(shù)是2．故選B．點評： 利用函數(shù)的圖象可以加強直觀性，同時也便于問題的理解．本題先由已知條件轉化為確定f（x）的解析式，再利用數(shù)形結合的方法判斷方程根的個數(shù)．7.在復平面內(nèi)，復數(shù)z=i（1+2i）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點】復數(shù)的基本概念；復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】計算題．【分析】按多項式乘法運算法則展開，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可確定復數(shù)z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴復數(shù)z所對應的點為（﹣2，1），故選B【點評】本題主要考查復數(shù)在坐標系數(shù)內(nèi)復數(shù)與點的對應關系．屬于基礎知識的考查．8.（5分）（2013?河東區(qū)二模）函數(shù)圖象的一個對稱軸方程是（）A．B．C．D．x=π參考答案：考點：二倍角的正弦；正弦函數(shù)的對稱性．專題：三角函數(shù)的圖像與性質．分析：將函數(shù)解析式最后一個因式中的角變形后，利用誘導公式化簡，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，最后利用誘導公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的圖象與性質即可得出函數(shù)y的對稱軸方程，進而確定出正確的選項．解答：y=2sin（x+）cos（﹣x）=2sin（x+）cos[﹣（x+）]=2sin2（x+）=1﹣cos（2x+）=1+sin2x，令2x=2kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，則k=1時，x=為函數(shù)的一個對稱軸方程．故選A點評：此題考查了誘導公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的對稱性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．9.已知三棱錐P﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為，則球O的表面積為（）A．4π B．8π C．12π D．16π參考答案：A【考點】球內(nèi)接多面體．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離．【分析】根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質即可求出OO1，進而求出底面ABC上的高PD，即可計算出三棱錐的體積，從而建立關于r的方程，即可求出r，從而解決問題．【解答】解：根據(jù)題意作出圖形設球心為O，球的半徑r．過ABC三點的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長CO1交球于點D，則PD⊥平面ABC．∵CO1=，∴OO1=，∴高PD=2OO1=2，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱錐P﹣ABC=××2=，∴r=1．則球O的表面積為4π．故選：A．【點評】本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)接多面體，解題的關鍵是確定點P到面ABC的距離．10.已知函數(shù),其中a是實數(shù)。設,為該函數(shù)圖象上的兩點,且，若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合,則a的取值范圍為（

）A.

B.(－1,+∞)

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若集合，，則

.參考答案：12.已知△ABC是正三角形，若與向量的夾角大于90°，則實數(shù)λ的取值范圍是

．參考答案：（2，+∞）【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】平面向量及應用．【分析】由于與向量的夾角大于90°，可得0，利用數(shù)量積運算和正三角形的性質即可得出．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴=．∵與向量的夾角大于90°，∴==＜0，解得λ＞2．∴實數(shù)λ的取值范圍是λ＞2．故答案為（2，+∞）．【點評】本題考查了數(shù)量積運算和正三角形的性質等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．13.在△ABC中，A、B、C所對的邊為a、b、c，，則△ABC面積的最大值為

．參考答案：3∵∴由正弦定理可得∵∴由余弦定理可得.∴∴，當且僅當時取等號.∴面積的最大值為故答案為.

14.如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若，，則m+n的取值范圍為．參考答案：[2，+∞）【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】由三點共線時，以任意點為起點，這三點為終點的三向量，其中一向量可用另外兩向量線性表示，其系數(shù)和為1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，點O是BC的中點，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三點共線，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，當且僅當m=n=1時取等號，故m+n的取值范圍為[2，+∞），故答案為：[2，+∞）15.若函數(shù)在區(qū)間是偶函數(shù)，則________.參考答案：略16.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是邊長為2的正三角形,側視圖是直角三角形,則此幾何體的體積為

▲

.參考答案：17.已知函數(shù)（Ⅰ）當時，求函數(shù)取得最大值和最小值時的值；（Ⅱ）設銳角的內(nèi)角A、B、C的對應邊分別是，且，若向量與向量平行，求的值。參考答案：解：（1）………..3分，……..4分

所以當，取得最大值；當，取得最小值；………..6分（2）因為向量與向量平行，所以，…………….8分由余弦定理，，又，經(jīng)檢驗符合三角形要求………..12分

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，θ[0，]。（I）求C的參數(shù)方程；（II）設點D在C上，C在D處的切線與直線l：y=x+2垂直，根據(jù)（I）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標.參考答案：（I）

（II）（I）可得的參數(shù)方程為（II）設，由（I）知是以為圓心，1為半徑的上半圓，因為在點處的切線與垂直，所以直線與的斜率相同，故的直角坐標系為19.已知函數(shù)（I）若

在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；（II）在（I）的結論下，設函數(shù)的最小值；（III）設函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.參考答案：（I）依題意：在（0,+）上是增函數(shù)，對x∈（0,+）恒成立，

…………2分

…………4分

（II）設當t=1時，ymIn=b+1；

…………6分當t=2時，ymIn=4+2b

…………8分當?shù)淖钚≈禐?/p>

…………9分

（III）設點P、Q的坐標是則點M、N的橫坐標為C1在點M處的切線斜率為#k#s5uC2在點N處的切線斜率為

假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則

……………11分設

………………①

#k#s5u這與①矛盾，假設不成立.故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.

…………14分

20.已知函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值；（Ⅱ）設在(0,2)內(nèi)恰有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍.參考答案：（Ⅰ），恒成立所以在[1,2]單調(diào)遞增，

…………2分，，，使當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.

…………4分又，，在上的最大值為.…………6分（Ⅱ），，由題意知：在(0,2)有兩個變號零點，即在有兩個變號零點

..…………8分令，，令，且時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，..…………10分又，

..…………12分21.（12分）已知函數(shù)為常數(shù).（1）若當恒成立，求的取值范圍；（2）求的單調(diào)區(qū)間.參考答案：解析：（1）……………2分令當?shù)娜≈捣秶?…6分（2）①當是減函數(shù).是增函數(shù).……